L’hologramme étant un masque de phase, dont l’étude de l’impact se fait pour un front d’onde supposé plan, nous allons nous intéresser à la description d’un champ dans un plan d’onde normal à un axe optique donné.
Définissons un vecteur-positionrassocié à un point de ce plan plutôt qu’à un point quelconque de l’espace. En supposant que l’axe optique etk(aveckkk= 2πλ etλla longueur d’onde) soient dirigés selonzen coordonnées cartésiennes, toutes les grandeurs fonctions derne seront donc plus fonctions que dexety(voir figure2.1). Cela reste néanmoins approximatif en l’absence d’informations sur la déformation du front d’onde.
L’onde lumineuse du laser est engendrée par le champ électriqueEet le vecteur induction magnétiqueH, reliés par les équations de Maxwell ; on peut donc se restreindre à l’étude deE, et en déduireHsi besoin est.
D’autre part, si la cohérence temporelle de cette onde est considérée comme suffisante, l’étude de la diffraction et de la déformation du front d’onde peut se faire indépendamment det. En effet, selon nos hypothèses, l’onde est plane et harmonique, et toute variation detn’entraînera qu’un déphasage, qui n’intervient pas dans le calcul de son intensité.
Afin de faciliter les calculs, nous pouvons, si la polarisation des champs est identique en tout point du chemin optique (caractéristique à obtenir au préalable expérimentalement), approximer les deux champs comme scalaires, de telle façon à ce que seules leurs amplitudes et phases respectives suffisent à leur description par un nombre complexe.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
Ainsi, l’équation du champ électrique s’écrit
E(r) =A(r)eiφ(r) (2.1)
avec|E(r)|2=A(r)2=I(r)son intensité.
2.2.1 Diffraction de Fraunhofer et transformée de Fourier
En ce qui concerne la diffraction, il s’agit un phénomène physique observé lorsqu’une onde (par exemple lumineuse) rencontre un obstacle dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la périodicité spatiale de l’onde (à l’instar d’un cheveu humain pour une onde lumineuse). Cet obstacle va répartir l’intensité de l’onde selon une distribution spatiale particulière appelée«figure de diffraction». Sa description part du principe de Huygens-Fresnel, selon lequel chaque point de la surface d’une source non ponctuelle d’une onde peut être considéré comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique. Autrement dit, les mêmes perturbations de l’espace sont obtenues en remplaçant cette surface par de telles sources, au biais, par exemple, d’un obstacle dont les caractéristiques géométriques engendrent des sources que l’on peut considérer comme ponctuelles [2]. Dans notre cas, cet obstacle est un hologramme de phase affiché par le SLM (voir section2.3.1 pour une description de son fonctionnement).
Une nouvelle hypothèse simplificatrice peut être faite en étudiant ladiffraction de Fraunhofer, ou diffraction en champ lointain. Elle permet de simplifier l’expression du champ électrique diffracté en une somme d’ondes planes au niveau du plan d’observation. À grande distance de l’obstacle (i.e. en champ lointain), la courbure des ondes diffractées devient négligeable devant la distance parcourue, si bien qu’elles peuvent être approximées par des ondes planes. Si l’on ne dispose pas de suffisamment d’espace pour la mise en place d’un montage permettant cette diffraction, il est toujours possible d’utiliser une lentille convergente entre l’obstacle et le plan d’observation, qui devra être confondu avec le plan focal de ladite lentille. L’une ou l’autre de ces configurations permet à l’ensemble des ondes diffractées d’avoir la même phase au plan d’observation, de façon à ce que les expressions des champsEoutau plan d’observation etEinau plan de l’obstacle (tels que représentés sur la figure2.1) soient reliés par unetransformée de Fourier.
Plan«in» Lentille Plan«out»
Axe optique Obstacle
FIGURE2.1 – Schéma d’un plan d’un obstacle quelconque et du plan d’observation dans le cas d’une diffraction de Fraunhofer permise par une lentille convergente de focale f. Les points des plans sont repérés parret parρ.
Plan«in»: plan de l’obstacle. Plan«out»: plan d’observation.
Dans le cas d’une diffraction avec lentille de focale f, cette relation [2] peut s’exprimer par
Eout(ρ) = 1
λf eiφlentille(ρ) Z Z
Obstacle
Ein(r)e−i2πλfr·ρdr≡ T F[Ein(r)] (2.2a)
Ein(r) = 1 λf
Z Z
Obstacle
Eout(ρ)e−iφlentille(ρ)e−i2πλf r·ρdρ≡ T F−1[Eout(ρ)]. (2.2b)
Le terme λ1f est un facteur de normalisation, qui traduit l’impact de la distance focale f et de la longueur d’ondeλsur l’amplitude du champ au plan d’observation. Le termeeiφlentille(ρ)traduit quant à lui le déphasage systématique induit par la lentille. Si une transformée de Fourier ne comporte pas ce dernier terme, celui-ci n’a d’impact ni sur la forme du front d’onde (à l’inverse de la vergence de la lentille) ni sur l’intensité du faisceau.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE
Compte tenu de la finalité du problème, nous pouvons donc négliger son impact, et c’est pourquoi nous pouvons exprimer une relation d’équivalence entre les doubles intégrales et les transformées des équations (2.2a) et (2.2b).
Enfin, si l’on considère un système d’obstacles identiques et pareillement orientés, on peut appliquer à la diffraction de Fraunhofer lethéorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon. Pour un obstacle correspondant à notre hologramme de phase, la distribution du champ résultant (en intensité et phase) correspondra au produit de la transformée de Fourier de la phase de l’hologramme et de la figure résultant d’un ensemble de sources ponctuelles dans la même configuration. Dans le cas d’un faisceau ne couvrant pas l’ensemble d’un système d’obstacles, il reste possible, si les obstacles sont régulièrement répartis, de retrouver une même figure de diffraction quelque soit la position du faisceau. Nous constaterons à cet effet une application de ce théorème dans les sections3.2.2et3.4.2.
2.2.2 Algorithme de création d’hologrammes
Les hologrammes peuvent être créés en utilisant la méthode dite de Gerchberg-Saxton [3]. Cette méthode consiste en un algorithme itératif, qui, après une initialisation, répètepfois une série d’instructions. Sous sa forme classique, il nécessite la connaissance du champ électriqueElaserinitial du laser entrant (en amont du SLM) tel que
Elaser(r) =Alaser(r)eiφlaser(r). (2.3) Comme présenté sur la figure2.2,eiφlaser(r)peut être remplacé par une phase uniforme aléatoireeiφrand(r)si l’on ne peut la mesurer en amont du SLM. La phase peut également être nulle, auquel casElaser(r) =Alaser(r).
Pourn = 0, ce champ est défini comme le champ incident déphasé par un terme de phase arbitraire ou aléatoireφ0in, et aura donc pour expression
Enin(r) =Elasern (r)eiφinn(r). (2.4) Quelle que soit la phase choisie initialement, la phase finale obtenue convergera, ce qui justifie ce choix arbitraire.
Ensuite, pour toutnsupérieur ou égal à 0 et strictement inférieur àp, le champ du plan«out»est défini par Eoutn (ρ) =T F[Einn(r)] = Aoutn (ρ)eiφoutn (ρ). (2.5) Eoutn et ses composantes sont désormais fonctions d’un nouveau vecteur positionρdont la relation avecr dépend des caractéristiques du montage optique. On y substitue l’amplitude du champ sortant obtenuAout parAoutf , l’amplitude du champ donnant la répartition de l’intensité recherchéeIfout. On obtient donc un nouveau champ d’expression
Enout(ρ) =Aoutf (ρ)eiφoutn (ρ) (2.6) auquel on applique la transformation de Fourier inverse, de sorte à ce que
Einn(r) =T F−1[Enout(ρ)] =Ainn(r)eiφinn(r), (2.7) champ que l’on va une fois encore modifier en substituant son amplitude parElaserde façon à ce que
Enin(r) =Elaser(r)eiφinn(r). (2.8) On réitère ensuite les étapes précédentes à partir de l’équation (2.5) jusqu’à ce que n = p. Cela fait, on peut ensuite intégrer l’hologramme de phase correspondant àφnin(r), puis mesurer l’intensité effectivement obtenueIcout(ρ)et la phase correspondanteφoutc (ρ), à laquelle on peut associer un front d’ondeWcout(ρ).
Au lieu de définir manuellement le nombre d’itérations p, on peut également utiliser un critère d’erreur qui déterminera l’arrêt (ou non) de la boucle. La méthode la plus simple pour ce faire consiste, pour toutn, à comparerInoutouIcoutavecIfoutà l’aide, par exemple, d’une moyenne quadratique de la différence entre ces intensités [4]. Dans ce cas, la boucle effectuera d’autres itérations tant que le critère d’erreur n’est pas satisfait, mais leur nombre ne sera pas connu à l’avance.
La boucle peut aussi débuter soit par une transformation de Fourier directe (initialisation A de ladite figure), soit par une transformée indirecte (initialisation B), bien que les deux méthodes soient équivalentes [5]. La figure2.2représente l’algorithme dans le cas de la définition manuelle de p, avec les deux possibilités d’initialisation de l’algorithme.
CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE