D20428. Partage équitable
a) Montrer qu’étant donnée une figure plane (finie), il est possible de la couper en quatre parties de même aire par deux droites perpendiculaires.
b) Travaux pratiques : déterminer ces droites quand la figure est un triangle de côtés 3, 4 et 5.
Solution
a) Pour chaque direction (définie par un angleaàπprès), il existe une droite D(a) partageant la figure (d’aireA) en deux parties de même aireA/2. Les droites perpendiculaires D(a) et D(a+π/2) partagent le plan en quatre quadrants, et la figure en quatre parties d’aires A/4 +e(a) et A/4−e(a) alternativement. Mais quand a augmente progressivement de π/2, e(a) est transformé en son opposé de façon continue ; il traverse la valeur zéro pour une certaine position des deux droites.
b) Pour queCD partage bien (équitablement) OAB,AC.AD= 6.
Pour que EF G, perpendiculaire à CD, partage bien ACD, CD =CE√ 2.
Pour queEF Gpartage bien OAB,OE.OG= 10.
Toutes les longueurs s’expriment avec l’angle ACD=a: CE√
2 =CD =AC/cosa=AD/sina=p12/sin(2a) ; OE=OG(3 tana+ 4)/5 (loi des sinus) et =√
6 tana+ 8 ; l’équation OE+AC=CE+ 4 résolue numériquement donne
a= 0,501902 radian,OC= 0,693422,AD= 1,814566, OE= 3,360454.
