A518 Un peu d’histoire de France [*** à la main] Solution Exercice n°1 D’abord un peu d’histoire de France chronologique : 1836 : Monarchie de Louis-Philippe, 1887 : 3

A518 Un peu d’histoire de France [*** à la main]

Solution

Exercice n°1

D’abord un peu d’histoire de France chronologique :

1836 : Monarchie de Louis-Philippe, 1887 : 3^ème République, 1954 : 4^ème République, 2005 : 5^ème République

Posons A = 2005, B = 1954, C = 1887 et D = 1836. On observe que A – B = C – D = X = 51 d’une part et A – C = B – D = Y =118 d’autre part.

Or E_n AⁿBⁿ(CⁿDⁿ) et il est possible de mettre X en facteur sous la forme D)]

(C, g - B) (A, X.[f

E_n  _{1 1} .

On peut aussi écrire E_n AⁿCⁿ(BⁿDⁿ) et Y se met en facteur, ce qui donne D)]

(B, g - C) (A, Y.[f

E_n  _{2 2}

E est donc divisible par 51=3*17 et par 118= 2*59. n E est alors divisible par 2*17*59 = _n 2006

Exercice n°2

1806 : victoire napoléonienne à Iéna.

On observe par ailleurs que 1806 = 42*43.

Soit u_n 3ⁿ4ⁿ6ⁿ7ⁿ12ⁿ43ⁿ1806ⁿ1

On va utiliser le petit théorème de Fermat selon lequel si p est un nombre premier, alors pour tout entier a non divisible par p, a^p-11 [p] avec [p] abréviation de modulo p. En d’autres termes p divise a^p-11 .

Soit p un nombre premier > 43, alors 3^p-24^p-26^p-27^p-212^p-243^p-21806^p-21 [p]. En effet multiplions les deux membres par 3612.Il s’agit de démontrer

que1204.3^p-1903.4^p-1602.6^p-1516.7^p-1301.12^p-184.43^p-12.1806^p-1 3612 [p]

C’est bien le cas car d’après le petit théorème de Fermat, on a [p]

1

3^p-1  ,4^p-1 1 [p],6^p-1 1 [p],7^p-1 1 [p],12^p-1 1 [p],43^p-1 1 [p],1806^p-1 1 [p]et par ailleurs 1204 + 903 + 602 + 516 + 301 + 84 + 2 = 3612.

Il n’existe donc aucun nombre premier > 43 qui soit premier avec un terme quelconque de la suite u . _n

Qu’en est il pour les nombres premiers 43, à savoir 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41 et 43 ?

u est pair pour tout n., d’où divisibilité par 2.tandis que n u = 1880 est divisible par 5. ₁ Par ailleurs on peut vérifier aisément à l’aide d’un tableur que u est divisible par : _n

- 11 pour n = 9 - 13 pour n = 5 - 17 pour n = 4 - 19 pour n = 6 - 23 pour n = 4 - 29 pour n = 27 - 31 pour n = 29 - 37 pour n = 6 - 41 pour n = 36 - 43 pour n = 9

A l’inverse pour tout n, u_n 2 [3] et les restes de la division de u par 7 sont _n respectivement égaux 4, 2, 5, 4, 2, 4 pour n=1,2,3,4,5,6 avec un cycle de période 6.

En conclusion tous les termes de la forme 3^a.7^bavec a et b entiers positifs ou nuls sont premiers avec tous les termes de la suite.