A518 Un peu d’histoire de France [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
1/ Pour la culture historique, 1836 (La Monarchie de Juillet), 1887 (IIIè Répulique), 1954 (IVè République) , 2005 (Vè République)
Voir par exemple : http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/regimes_politiques.asp En = 2005^n – 1887^n – 1954^n + 1836^n
Année 2005 1887 1954 1836 Modulo
2 1 1 0 0
17 -1 0 -1 0
59 -1 -1 7 7
Sachant que 2006 = 2*17*59, le tableau nous permet d’en déduire que : En = 1^n – 1^n = 0 modulo 2
En = (-1)^n - (-1)^n = 0 modulo 17
En = (-1)^n - (-1)^n – 7^n + 7^n = 0 modulo 59 D'où En = 0 modulo 2006
2/ Pour la culture historique, 1806 (victoire de Napoléon sur les Prussiens lors de la bataille d'Iéna)
Voir par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/1806, http://fr.wikipedia.org/wiki/Bataille_d'Iéna
Pour n>0, un = 3^n + 4^n + 6^n + 7^n + 12^n + 43^n + 1806^n – 1.
Rappelons l’énoncé du petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et PGDC(a, p) = 1, alors a^(p-1) = 1 modulo p
En particulier si p est un nombre premier différent de 2, 3, 7 et 43, alors :
3^(p-1) = 4^(p-1) = 6^(p-1) = 7^(p-1) = 12^(p-1) = 43^(p-1) = 1806^(p-1) = 1 modulo p
Remarquons que :
* PPMC(3, 4, 6, 7, 12, 43, 1806) = 3*4*7*43 = 3612
* 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/43 + 1/1806 – 1 = 0
D’où 3612 * up-2 = 3612*(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/43 + 1/1806 – 1) = 0 modulo p Nous venons de montrer que pour tout p premier différent de 2, 3, 7 et 43, p divise up-2.
Pour tout n>0, un = 3*1^n – 1 = 0 modulo 2 Pour tout n>0, un = 3*1^n – 1 = -1 =/= 0 modulo 3
un = 3^n + (-3)^n + (-1)^n + (-2)^n + 1^n – 1 = 3^n + (-3)^n + (-1)^n + (-2)^n modulo 7
n 0 1 2 3 4 5 6 un mod 7 4 4 2 5 4 2 4
Du tableau nous déduisons que un =/= 0 modulo 7 pour n=0..6 et par conséquent pour tout n.
u9 = 3^9 + 4^9 + 6^9 + 7^9 + 12^9 – 1 = -11 + 16 + 1 + -1 + -4 – 1 = 0 modulo 43.
Remarque : on peut montrer que pour tout pour n = 9 ou 19 modulo 42, un = 0 modulo 43 Pour conclure, les entiers premiers avec tous les termes un, sont de la forme 3^p*7^q, p et q entiers.
