A518 : Un peu d’Histoire de France
Exercice n°1
Les différents régimes politiques sont la Monarchie de Juillet (1836), les Troisième (1887), Quatrième (1954) et Cinquième (2005) Républiques.
2005-1887=1954-1836=118 et 2005-1954=1887-1836=51.
En=(2005n-1887n)-(1954n-1836n)=(2005n-1954n)-(1887n-1836n)
En vertu de l’identité an-bn=(a-b)(an-1+…+an-ibi-1+…bn-1), En est divisible par 118 et 51, et comme ces nombres sont premiers entre eux, par 118*51=6018=3*2006, donc par 2006.
Exercice n°2
1806 est l’année de la bataille d’Iéna.
1806=2*3*7*43, et l’on remarque que 1/3+1/4+1/6+1/7+1/12+1/43+1/1806=1.
D’une façon plus générale, si les ai sont des entiers tels que ∑1/ai=1, et si p>2 premier ne divise aucun des ai , aip-1-1 est multiple de p, donc aip-2-1/ai=pbi/ai et
∑aip-2 –1=p ∑bi/ai, qui est un entier multiple de p : Les seuls nombres premiers qui peuvent être premiers avec tous les termes de la suite sont donc 2, et les diviseurs des ai.
Revenons au cas présent : il est facile de voir que un est divisible par 2, et, puisque 3n=6n=12n=1806n=0 (mod3) et 4n=7n=43n=1 (mod 3), qu’un n’est jamais divisible par 3.
C’est un peu plus long pour voir qu’un n’est jamais divisible par 7 (il suffit de calculer les puissances de chacun des nombres modulo 7), mais que u9 est divisible par 43 . En résumé, les nombres qui sont premiers avec tous les termes de la suite sont composés à partir des facteurs premiers 3 et 7.
