A357. Composé oblige
Q1 Trouver le plus petit entier pas nécessairement composé tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 1, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé Q2 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 3 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 3, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q3 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 7 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 7, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q4 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 3 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 9, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q5 Le chiffre x étant un élément quelconque de l’ensemble E des quatre chiffres: {1, 3, 7, 9}, trouver au moins un entier qui donne toujours un nombre composé lorsqu’on ajoute sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres x.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Solutions : Les valeurs 37, 4070, 891, 10175, 6930 respectent la condition de non-primalité des extensions demandées respectivement en Q1, Q2, Q3, Q4 et Q5. Pour ce qui concerne la non-
primalité on peut être plus précis : chaque ajout est divisible par un au moins des facteurs 3, 7, 11, 13 et 37 ; dans ces conditions les solutions indiquées pour Q1 et Q3 sont optimales.
Discussion
La difficulté principale concerne le fait de ramener un « problème infini » à un problème où le nombre de cas à discuter est fini. Pour ce faire, on pose , et on remplace partout la requête « nombre composé » par « nombre divisible par un au moins des éléments de F ». La raison est simple : ces cinq facteurs sont les diviseurs du nombre 111111 ; ceci entraine que, pour tout nombre et tout facteur , le nombre est aussi multiple de ; mieux encore : pour tout chiffre sera multiple de ainsi que le nombre . En particulier, pour chacun des cinq problèmes, la requête « ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque » peut être remplacée par « ajoutant sur sa droite une suite de longueur au plus 6 ». Pour ce qui concerne la nouvelle formulation les réponses qu’on a données ci-haut ont été obtenues à l’aide d’un ordinateur.
On remarque que pour obtenir ces résultats le programme doit être soigneusement écrit : les usuels langages de programmation (Basic, Pascal, …) admettant comme maximum des valeurs entières, le contrôle de ce qui se passe pour risque de fournir des résultats inexacts dès que .
Pour surmonter cette difficulté on peut se borner à l’ajout de chaines de longueur au plus 5 en imposant que est multiple de 11 ou de 37. Dans le premier cas seront multiples de 11 aussi les nombres ; dans l’autre seront multiples de 37 les nombres ; bien entendu, à l’exception des problèmes Q2 et Q4 (où ne doit pas être divisible par 3) on pourrait remplacer la valeur 37 par la valeur 3. En tout cas le nombre sera composé et on
pourra donc se borner à contrôler l’ajout de chaines de longueur au plus 5, ce qui pousse la vieille limite à la nouvelle valeur ; et tous les résultats proposés respectent une telle limite.
Remarque Naturellement cette stratégie peut détruire l’optimalité aussi dans le sens faible précisé plus haut ; mais ça n’arrive pas pour les problèmes Q1 et Q3 pour lesquels on a trouvé une solution respectant la
limite . Pour ce qui concerne Q1, où la vraie optimalité était demandée, il faut remarquer que l’ordinateur est en mesure d’éliminer plusieurs valeurs inférieures à la solution 37 ; les seuls cas où la précision n’a pas pu donner une réponse correspondent aux quatre nombres et (mais.
toutefois la valeur 11 n’est pas une solution car (voir par exemple ici) le nombre composé par 19 chiffres un est premier. Par rapport à Q3, par ailleurs, les cas à contrôler seraient en nombre de 112…
On termine en remarquant que, pour ce qui concerne Q5, toujours sans se préoccuper de
l’optimalité, on peut se borner à chercher une solution parmi les multiples de 7*9*11 ; on n'aura pas besoin de contrôles lorsqu’on ajoute des 3, des 7, ou des 9 ; tandis que, pour ce qui concerne l’ajout de chiffres 1, la présence du facteur 3 sera garantie dans et la présence du facteur 11 sera garantie dans . On peut donc se borner à chercher la divisibilité des nombres par un entier compris entre 13 et 37.
