A357. Composé oblige
Q1Trouver le plus petit entier pas nécessairement composé tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 1, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q2 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 3 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 3, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q3 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 7 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 7, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q4 Trouver l'entier, si possible le plus petit, non divisible par 3 tel qu'en lui ajoutant sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres 9, l'entier ainsi obtenu est toujours un nombre composé.
Q5 Le chiffre x étant un élément quelconque de l’ensemble E des quatre chiffres: {1,3,7,9}, trouver au moins un entier qui donne toujours un nombre composé lorsqu’on ajoute sur sa droite une suite de longueur quelconque de chiffres x.
Solution de Paul Voyer
Q1
En appelant a l'entier recherché, a111… et a1111111… ont un facteur en commun, ce facteur divise 1111…
Il faut donc chercher a dans les multiples des facteurs des repunits.
On remarque que 111111=3*7*11*13*37.
Les facteurs premiers 3, 7, 11, 13, 37 ont la même propriété : S'ils divisent n quelconque,
3, 7, 11, 13, 37 divisent aussi n111111, 11 divise aussi n11 et n1111,
3 et 37 divisent aussi n111.
Il suffit de mettre en phase ces diviseurs, l'un divisant 10a+1, un autre divisant 100a+1, l'un divisant 1000a+1, etc... pour obtenir une périodicité 6.
Un tableau EXCEL donne les résultats.
La plus petite valeur de a est 37 (premier)
37= 37* 1 (suite de "1" de longueur nulle)
371= 7* 53
3711= 3* 1237
37111= 37* 1003 371111= 13* 28547 3711111= 3* 1237037
Tous sont multiples d'un des facteurs premiers de 111111.
Il y a donc périodicité.
Q2
La plus petite valeur de a est 4070 =11*370 4070= 11* 370
40703= 13* 3131 407033= 11* 37003 4070333= 37* 110009 40703333= 11* 3700303 407033333= 7* 58147619
Tous sont multiples d'un des facteurs premiers de 111111.
Q3
La plus petite valeur de a est 891 .
891= 3* 297
8917= 37* 241
89177= 11* 11*11*67
891777= 3* 31*43*223 8917777= 11* 37*21911 89177777= 13* 263*26083
Tous sont multiples d'un des facteurs premiers de 111111.
Q4
La plus petite valeur est 10 175 .
10175= 11* 37*25
101759= 7* 14 537
1017599= 11* 92 509 10175999= 37* 275 027 101759999= 11* 9 250 909 1017599999= 13* 8 276 923
Tous sont multiples d'un des facteurs premiers de 111111.
Q5
La plus petite valeur est 6930 .
6930= 3* 2310
69301= 37* 1873
693011= 11* 63001 6930111= 3* 2310037 69301111= 11* 6300101 693011111= 13* 53308547
69303…= 3* …
69307…= 7* …
69309…= 3* …
