A344. Carrément brésiliens Remarque 1 :
Si n=aaaa...ab (s'écrit avec une suite de a en base b ) alors :
n=a⋅(bn+bn−1+....+1) donc a divise n et b divise n a−1 Remarque 2 :
Si n=x⋅y avec x<y<n−1 alors, n=x⋅(y−1)+x=xxy−1
Q1 : Par la remarque 2 :
2014=19⋅106 donc a=19 et b=105 qui donne 2014=(19)(19)105
Les deux entiers les plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens sont : 2011 et 2017
Q2 : Tous sauf 0,2,4,6
car si n=2m alors, n = 2⋅(m−1)+2 = 22m−1 si m>3
et après quelques essais on s'aperçoit qu'il n'y a pas de solutions pour 0,2,4, et 6
Q3 : 7 et 13
Q4 : Les nombres de la forme n=m2 avec m composé sont brésilens (remarque 2) Exemple : 81=9⋅9=3⋅27=3326
Les carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont non brésiliens sont à chercher parmi les carrés de la forme n=p2 avec p premier .
Remarque 3 : Si un nombre de la forme n=p2 avec p premier est brésilien, alors il s'écrit n=aaaa...ab avec a = 1
car les valeurs possibles pour a sont : 1, p et n (par la remarque 1) et p et n ne peuvent convenir (trop grands)
Exemple : 121 = 111113
Finalement il reste (comme carrés impairs brésiliens) :
81 = 3326
121 = 111113
225 = 9924
441 = 9948
625 = 55124
729 = 9980
1089 = 33362 1225 = 55244 1521 = 33506
