A344. Carrément brésiliens
Un entier naturel n est appelé « brésilien»* s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q1 : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q2 : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Q3 : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q4 : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
*En souvenir du 2ème problème de la 9ème « Olympiada Iberoamericana de Matematica » de Fortaleza en 1994.
Solution proposée par Paul Voyer
Un outil de changement de base en ligne est disponible ici : http://www.dcode.fr/conversion-base-n
Les nombres brésiliens sont décrits dans OEIS A125134,
et la table de 1 à 4000 est donnée dans http://oeis.org/A125134/b125134.txt
Une étude détaillée en français est donnée dans : http://oeis.org/A125134/a125134.pdf Les citations ci-dessous en italique en proviennent.
Q1
2014 = [38][38]52
Les deux entiers non brésiliens les plus proches de 2014 sont 2011 et 2017.
(Ces nombres sont premiers).
Si n > 7 n’est pas brésilien, alors n est un nombre premier ou le carré d’un nombre premier Q2
Ainsi, tout nombre pair supérieur ou égal à 8 est brésilien.
Il y a 1004 nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens.
Q3
Les deux plus petits nombres premiers brésiliens sont : 7 = 1112
13 = 1113
(3 = 112 n'en fait pas partie car l'énoncé précise b < n-1) Q4
Il y a 9 carrés impairs < 2014 qui sont brésiliens : 81 = 9² = 3326
121 = 11² = 111113
225 = 15² = 9924 = 5544
441 = 21² = 9948 = 7762
625 = 25² = 55124
729 = 27² = 9980
1089 = 33² = [11][11]98
1225 = 35² = [25][25]48
1521 = 39² = 33322
