Problème proposé par Raymond Bloch
On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9 (4 ≤ r ≤ 9). Pour quelle(s) valeur(s) de r de telles progressions existent-elles? Justifiez vos réponses.
Réduisons les trois fractions au même dénominateur d2 : les trois entiers a, b, c, premiers entre eux dans leur ensemble, sont tels que b2-a2=c2-b2=rd2 , donc a2, b2, c2 forment une progression arithmétique de raison rd2 et a2+c2=2b2 ; a et c sont de même parité, donc on peut construire les entiers premiers entre eux e=(c+a)/2 et f=(c-a)/2 tels que le triplet (e, f, b) soit pythagoricien e2+f2=b2 : il existe alors deux entiers u > v, premiers entre eux et de parité différente, tels que b=u2+v2, et que a=u2-2uv-v2 et c=u2+2uv-v2, donc rd2=b2-a2=4uv(u2-v2) ; or u, v, u+v et u-v sont premiers entre eux deux à deux et un seul d’entre eux (u ou v) est pair : chacun d’entre eux est donc le produit d’un carré par un diviseur de r (éventuellement 1).
Les seules possibilités trouvées sont :
- pour u=2, v=1, 4uv(u2-v2)=24, avec r=6, d=2, a=-1, b=5, c=7 soit les fractions 1/4, 25/4 et 49/4
- pour u=5, v=4, 4uv(u2-v2)=720, avec r=5, d=12, a=-31, b=41, c=49, soit les fractions 961/144, 1681/144 et 2401/144
