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A4904. Carrément irréductibles

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Academic year: 2022

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A4904. Carrément irréductibles

On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9

(4 ≤ r ≤ 9). Pour quelle(s) valeur(s) de r de telles progressions existent-elles? Justifiez vos réponses.

La définition la plus simple d'un nombre congruent est que c'est la raison d'une progression arithmétique entre trois carrés de nombres rationnels, autrement dit que n est congruent s'il existe trois rationnels x, y et z tels que :

( z

2

– y

2

) = ( y

2

– x

2

) = n

Autrement dit, n ne peut être égal qu'à 5, 6 ou 7 .

4, 8 et 9 n'étant pas congruents. ( Un carré parfait ne peut d'ailleurs jamais l'être ) Exemples :

n = 5 : 31/12 , 41/12 et 49/12 n = 6 : 1/2 , 5/2 et 7/2

n=7 : 113/120 , 337/120 et 463/120

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