A20248. Points entiers à trouver
Quels sont les points à coordonnées entières de la courbe d’équation x(x+ 1)(x+ 7)(x+ 8) =y2?
Solution
Si y 6= 0, y2 est un carré parfait produit de deux facteurs différant de 7 : x2+ 8x etx2+ 8x+ 7. Si ces facteurs ont un diviseur commun, c’est 7 et les quotients sont des entiers consécutifs, dont le produit ne peut être un carré.
Ainsi les facteurs, dont le produit est un carré, sont premiers entre eux et leurs diviseurs premiers y ont des exposants pairs ; leur différence 7 est la différence de deux carrés, a2−b2 = (a+b)(a−b). Si a > b >0, et 7 étant un nombre premier, on aa+b= 7,a−b= 1,a= 4,b= 3 et les facteurs de différence 7 peuvent être (9,16) ou (−16,−9).
Cela fournit les points (1,±12) (−9,±12) et (−4,±12). S’y ajoutent les points deOx: (−8,0), (−7,0), (−1,0) et (0,0).
L’équation étant inchangée quand on remplace x par−x−8, ouy par−y, l’ensemble de points admet les droites x+ 4 = 0 et y = 0 pour axes de symétrie.
