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122 Asie juin 2002

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122 Asie juin 2002

On considère les suites (xn) et (yn) définies parx0=1, y0=8 et





xn+1 = 7 3xn+1

3yn+1 yn+1 = 20

3 xn+8

3yn+5 ,n∈N

1.

Montrer, par récurrence, que les pointsMn de coordonnées¡

xn, yn¢

sont sur la droite (∆) dont une équation est 5x−y+3=0. En déduire quexn+1=4xn+2.

2.

Montrer, par récurrence, que tous lesxnsont des entiers naturels. En déduire que tous lesynsont aussi des entiers naturels.

3.

Montrer que :

1. xnest divisible par 3 si et seulement siynest divisible par 3.

2. Sixnetynne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.

4.

1. Montrer, par récurrence, quex n=1

3(4n×5−2).

2. En déduire que 4n×5−2 est un multiple de 3, pour tout entier natureln.

TS ARITHMETIQUE feuille 44

christophe navarri www.maths-paris.com

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