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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
1/20 E2
1/8 E1 19/20 1/8 E2
7/8
E1
9/20 11/20
E2 E2 7/8
E1
Asie, 2002 Sujet
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’évènement : « Amélie est arrêtée par le nième feu rouge ou orange » et En
l’évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit pn la probabilité de En et qn celle de En
. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1 8 . On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- la probabilité que le (n+1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1 20 . - la probabilité que le (n+1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9
20 . 1. On s’intéresse tout d’abord aux deux premiers feux tricolores.
a. Faire un arbre pondéré associé à cette situation.
b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces 2 feux tricolores.
Déterminer la loi de probabilité de X.
2. On se place maintenant dans le cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles pEn(En+1) et pEn(En+1).
b. En remarquant que En+1 = (En+1 ∩ En) ∪ (En+1 ∩ En
), montrer que pour tout n ≥ 1 : pn+1 = 1 20 pn + 9
20 qn. c. En déduire l’expression de pn+1 en fonction de pn.
3. Soit (un) la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel non nul par un = 28pn − 9.
a. Montrer que cette suite est géométrique et déterminer sa raison k.
b. Exprimer un puis pn en fonction de n.
c. Déterminer la limite, si elle existe, de pn. Donner une interprétation de ce résultat.
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Lecture de l’énoncé :
→ n est un entier naturel non nul
→ En est l’évènement : « Amélie est arrêtée par le nième feu rouge ou orange » et En
l’évènement contraire.
→ pn = p(En) et qn = p(En
) donc qn = 1 −−−− pn
→ La probabilité que le premier feu soit rouge ou orange vaut 1
8 donc p1 = p(E1) = 1/8.
→ La probabilité que le (n+1)ième feu soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1 20 signifie que pEn(En+1) = 1/20
→ La probabilité que le (n+1)ième feu soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9 20 signifie que pEn(En+1) = 9/20
1. On s’intéresse tout d’abord aux deux premiers feux tricolores.
1a. Les données du problème permettent de construire l’arbre ci−contre :
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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
1b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces 2 feux tricolores.
Pour déterminer la loi de probabilité de X, nous devons déterminer la probabilité de réalisation de chaque issu de X : X étant le nombre de feux verts obtenus pour 2 feux tricolores : X ∈ {0 ; 1 ; 2}
Par ailleurs : p(X = 0) = p(E1
∩ E2
) = p(E1
) × pE1(E2
) = 7/8 × 11/20 = 77/160 (≈ 48 %) p(X = 1) = p(E1
∩ E2) + p(E1 ∩ E2
) = p(E1
) × pE1(E2) + p(E1) × pE1(E2
) = 7/8 × 9/20 + 1/8 × 19/20 = 82/160 (≈ 51 %)
p(X = 2) = p(E1 ∩ E2) = p(E1) × pE1(E2) = 1/8 × 1/20 = 1/160 (≈ 1%) 2. On se place maintenant dans le cas général.
2a. Donnons les probabilités conditionnelles pEn(En+1) et pEn(En+1) : ces probabilités sont données dans l’énoncé ! pEn(En+1) = 1/20 et pEn(En+1) = 9/20.
2b. Les événements En et En
forment une partition de l’univers à l’étape n+1 donc d’après la formule des probabilités totales : p(En+1) = p(En+1 ∩ En) + p(En+1 ∩ En
) = p(En) × pEn(En+1) + p(En
) × pEn(En+1) = pn × 1/20 + qn × 9/20
D’où finalement : p(En+1) = pn+1 = 1 20 pn + 9
20 qn. 2c. Comme qn = 1 − pn on en déduit que pn+1 = 1
20 pn + 9
20 (1 − pn) c’est à dire pn+1 = -8 20 pn + 9
20 . 3. Soit (un) la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel non nul par un = 28pn − 9.
3a. Montrons que cette suite est géométrique et déterminons sa raison k.
Pour montrer que (un) est géométrique de raison k on montre que un+1 = k un ou un+1/un = k un+1 = 28pn+1 − 9 = 28(-8
20 pn + 9
20 ) − 9 = -8×28
20 pn + 9×28 - 9×20
20 = -8×28 20 pn + 72
20 = -8×28
20 pn + 9×8 20 donc un+1 = -8
20 (28pn − 9) = -8 20 un
Ainsi (un) est géométrique de raison k = −8/20 et de premier terme u1 = 28p1−9 = −11/2.
3b. Exprimons un puis pn en fonction de n.
D’après a. pour tout n non nul, un = −(11/2)× (−8/20)n−1 et puisque un = 28pn − 9, pn = 1
28 (un + 9), on a pn = 1
28 (−(11/2)× (−8/20)n−1 + 9).
3c. Déterminons la limite, si elle existe, de pn.
Quand n → +∞, (−8/20)n−1 → 0 car −1 < −8/20 < 0 donc limx→+∞ pn = 9/28 (≈ 1/3)
Ainsi, à partir d’un grand nombre de feux tricolores, Amélie aura une chance sur trois d’en avoir un rouge ou orange.
