PanaMaths Mai 2014
Calculer l’intégrale définie :
( )
4 0
I ln 1 tan t dt
π
= ∫ + .
On remarquera que l’on a : cos sin 2 cos
t t
⎛π 4 t
⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ = − .
Analyse
La réécriture de la somme cost+sint est un grand classique (remarque : on a aussi l’égalité cos sin 2 sin
t+ t= ⎛⎜⎝π4 +t⎞⎟⎠ qui peut être utile dans bien d’autres situations). Elle permet ici de transformer l’expression de la fonction à intégrer. Un changement de variable permet de conclure …
Résolution
On a, en tenant compte de l’indication de l’énoncé :
( )
4 4 4 4
0 0 0 0
2 cos
sin cost sin 4
I ln 1 tan ln 1 ln ln
cos cos cos
t t t
t dt dt dt dt
t t t
π π ⎛ ⎞ π ⎛ + ⎞ π ⎛⎜⎜ ⎛⎜⎝π − ⎞⎟⎠⎞⎟⎟
= + = ⎜⎝ + ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
Comme 0 ; t ⎡ π4⎤
∈ ⎢⎣ ⎥⎦, on a 0 ;
4 t 4
π ⎡ π⎤
− ∈ ⎢⎣ ⎥⎦ et donc cost>0 et cos 0 4 t
⎛π − >⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Il vient alors :
( )
4 4 4 4
0 0 0 0
2 cos
I ln 4 ln 2 ln cos ln cos
cos 4
t
dt dt t dt t dt
t
π π π π π
π
⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ = × + ⎜⎝ ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠ −
∫ ∫ ∫ ∫
On a immédiatement : 4
0
1 ln 2
ln 2 ln 2
2 4 8
dt
π π π
×
∫
= × = .PanaMaths Mai 2014
Dans l’intégrale 4
0 ln cos
4 t dt
π ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝π − ⎞⎟⎠⎞⎟⎠
∫
, on peut effectuer le changement de variable de classeC
1 de 0 ;4
⎡ π⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ dans 0 ; 4
⎡ π⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ :
u6t= −π4 u qui donne immédiatement : dt= −du et u= −π4 t
.
On a alors : 04 0
( ) ( )
04( )
4
ln cos ln cos ln cos
4 t dt u du u du
π π
π π
⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟⎞ = × − =
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
.Il vient alors :
( )
( ) ( )
4 4 4
0 0 0
4 4
0 0
0
I ln 2 ln cos ln cos
4
ln 2 ln cos ln cos
8 ln 2
8
dt t dt t dt
u du t dt
π π π
π π
π π
π
=
⎛ ⎛ ⎞⎞
= × + ⎜⎝ ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠ −
= + −
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Résultat final
( )
4 0
I ln 1 tan ln 2 t dt 8
π π
=
