CHAPITRE 4 : LES TRIANGLES
Démonstration d'une propriété :
On construit un triangle quelconque ABC. On place les points I et J, milieux respectifs des côtés [AC] et [AB]. Puis on construit le point B' symétrique du point B par rapport à I, et C' symétrique de C par rapport à J.
Comme J est le milieu de [AB] alors A est le symétrique de B par rapport à J.
Comme C' est le symétrique de C par rapport à J, alors les droites (BC) et (AC') sont symétriques par rapport à J donc elles sont parallèles.
De la même façon, en considérant la symétrie de centre I, les droites (BC) et (AB') sont symétriques donc parallèles.
(AC') et (AB') sont parallèles à la même droite (BC), donc parallèles entre elles. Comme par ailleurs elles ont un point en commun A, elles sont donc confondues. Donc les points C', A et B' sont alignés et par suite l'angle ̂B' AC ' mesure 180°.
Les angles ̂ABC et ̂BAC ' sont symétriques par rapport à J, donc ̂ABC = ̂BAC ' . Les angles ̂ACB et ̂CAB ' sont symétriques par rapport à J, donc ̂ACB = ̂CAB ' . Comme les points C', A et B' sont alignés, alors ̂BAC + ̂BAC ' + ̂CAB ' =180°
Comme par ailleurs, ̂ABC = ̂BAC ' et ̂ACB = ̂CAB ' , alors on a bien :
̂BAC + ̂ABC + ̂ACB =180°
On a démontré que dans tous les triangles, la somme des angles est égale à 180°.
