E448 – L’art de composer [** à la main]
Zig et Puce écrivent à tour de rôle en partant de la gauche les chiffres a,b,c,d,e,f d’un nombre entier n = abcdef avec a ≥ 1. Les chiffres sont tous distincts. Zig est le vainqueur si n est un nombre composé. Qui a une stratégie gagnante ?
Solution proposée par Daniel Collignon
Zig est certain de gagner car il possède une stratégie gagnante.
Si Puce commence, voici deux exemples de stratégie :
- après 5 chiffres placés, le choix de f parmi les 6 chiffres {0, 2, 4, 5, 6, 8} garantit que le nombre est composé (pair ou multiple de 5).
- en répondant par le complément à 9 au choix précédent de Puce, le nombre sera un multiple de 9
Si Zig commence, alors une stratégie est de jouer {a,c}={3,9} dans l'espoir de forcer le choix de f vers 1 ou 7. Zig choisit alors e tel
que a+b+c+d+e congru à 2 mod 3, d'où e congru à 2-(b+d) modulo 3. Le choix de e est toujours possible car s'il est congru à :
* 0, alors e est parmi {0, 6} (si b+d=0+6, alors e serait congru à 2)
* 1, alors e est parmi {1, 4, 7}
* 2, alors e est parmi {2, 5, 8}
Comme précédemment si f=0, 2, 4, 5, 6 ou 8, alors le nombre est composé (pair ou multiple de 5)
Sinon f sera parmi {1, 7}, mais alors le nombre est composé (multiple de 3)
