Feuille d’exercices n

L3 Int´egration

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Le but de l’exercice est de montrer que R n’est pas d´enombrable, de trois fa¸cons diff´erentes.

(1) 1`ere m´ethode : segments emboit´es.

(a) Soit (x_n)n∈N une suite de nombres r´eels. Montrer qu’on peut construire par r´ecurrence une suite d´ecroissante (I_n)n∈Nd’intervalles compacts non- triviaux telle que ∀n ∈N : x_n6∈I_n.

(b) En d´eduire le r´esultat.

(2) 2`e m´ethode : d´eveloppement d´ecimal. On rappelle que tout nombre r´eel x∈ [0,1[ admet un unique d´eveloppement d´ecimal “propre”, autrement dit, xpeut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme

x=

∞

X

k=1

a_k(x) 10^−k,

o`u les a<sub>k</sub>(x) sont des entiers compris entre 0 et 9 et ne sont pas tous ´egaux `a 9 `a partir d’un certain rang. Utiliser ce fait pour montrer que si (x_n) est une suite d’´el´ements de [0,1[ alors on peut construire un r´eel x ∈ [0,1[ diff´erent de tous les xn, et conclure.

(3) 3`e m´ethode : utilisation de{0,1}^N. Soit J :{0,1}^N →Rl’application d´efinie comme suit : si ε= (ε_i)i≥0 ∈ {0,1}^N, alors

J(ε) =

∞

X

i=0

ε_i 3ⁱ · Montrer que J est injective, et conclure.

Exercice 2. (nombres transcendants)

Un nombre r´eel x est dit alg´ebrique s’il est racine d’une ´equation de la forme P(x) = 0, o`u P est un polynˆome non nul `a coefficients rationnels. Un nombre transcendant est un nombre qui n’est pas alg´ebrique. Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe des nombres transcendants.

(1) Montrer que l’ensemble des polynˆomes `a coefficients rationnels est d´enombrable.

(2) En d´eduire que l’ensemble des nombres alg´ebriques est d´enombrable, et con- clure.

Exercice 3. En utilisant la densit´e deQdansR, montrer que toute famille d’ouverts deR deux `a deux disjoints est d´enombrable.

1

2

Exercice 4. Montrer que tout ouvert de R est r´eunion d´enombrable d’intervalles ouverts deux `a deux disjoints.

Exercice 5. Soit f :R→R une fonction croissante.

(1) Soit ε > 0. On pose D_ε = {x∈ R; f(x⁺)−f(x⁻) ≥ ε}, o`u f(x<sup>−</sup>) et f(x<sup>+</sup>) sont les limites `a gauche et `a droite def au point x.

(a) Montrer que si x₁, . . . , x_N sont des points de D_ε avec x₁ < · · · < x_N, alors

N ≤ 1 ε

N

X

i=1

(f(x⁺_i )−f(x⁻_i ))≤ 1

ε(f(x⁺_N)−f(x⁻₁)). (b) Montrer que pour n∈N, l’ensemble D_ε∩[−n, n] est fini.

(c) Conclure que D_ε est d´enombrable.

(2) Montrer que l’ensemble des points de discontinuit´e de f est d´enombrable.

Exercice 6. Soit D ⊂ R un ensemble d´enombrable. On ´ecrit D ={a_n; n ∈ N} et on d´efinit f :R→R par

f(x) =

∞

X

n=0

2⁻ⁿ1_[an,∞[(x).

Montrer que la fonction f est croissante, et que l’ensemble de ses points de disconti- nuit´e est exactement ´egal `aD.

Exercice 7. Soit (X, d) un espace m´etrique. Montrer que tout ouvert de X est r´eunion d´enombrable de ferm´es.

Exercice 8. Soient (u_n) et (v_n) deux suites de nombres positifs. ´Etablir les in´egalit´es suivantes :

limu_n+ limv_n ≤lim (u_n+v_n)≤limu_n+ limv_n≤lim (u_n+v_n)≤limu_n+ limv_n.

Exercice 9. Soit (x_n) une suite de nombres positifs. On suppose quex_n+¹₂x_2n tend vers 1 quand n→ ∞.

(1) On pose L = limx_n et l = limx_n. En utilisant l’exercice 8, montrer qu’on a 1≤l+¹₂L et 1 ≥L+ ¹₂l.

(2) Montrer que la suite (x_n) converge et trouver sa limite.

Exercice 10. Soit Λ un ensemble, et soit (Λ_k)k∈K une partition de Λ. Montrer que si (a_λ)λ∈Λ est une famille de nombres positifs, alors

X

λ∈Λ

a_λ = X

k∈K

X

λ∈Λ_k

a_λ.

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Exercice 11. Soit (aij)(i,j)∈I×J une famille de nombres positifs index´ee par un en- semble produit I×J. Montrer `a l’aide de l’exercice 10 qu’on a

X

i∈I

X

j∈J

a_ij = X

(i,j)∈I×J

a_ij =X

j∈J

X

i∈I

a_ij.

Exercice 12. (s´erie produit)

Soient (u_k)k∈N et (v_l)l∈N deux suites de nombres positifs de sommes

U =

∞

X

k=0

u_k et V =

∞

X

l=0

v_l.

Soit (w_n) la suite d´efinie par

w_n=

n

X

k=0

u_kvn−k.

Enfin, soit Λ ={(k, n)∈N×N; k ≤n}. Montrer `a l’aide de l’exercice 10 qu’on a

∞

X

n=0

w_n = X

(k,n)∈Λ

u_kvn−k=U V.

Exercice 13. (th´eor`eme de convergence domin´ee pour les s´eries)

Soit (f_n) une suite de fonctions `a valeurs complexes d´efinies surN, et soitf :N→C. On fait les hypoth`eses suivantes :

(a) f_n(i)→f(i) pour tout i∈Nquand n → ∞;

(b) Il existe une fonction g : I → R⁺ telle que P

i∈Ng(i) < ∞ et |f_n(i)| ≤ g(i) pour tout n et pour tout i∈N.

(1) Montrer que la s´erie P

f(i) est absolument convergente.

(2) Montrer que pour toutN ∈N, on a

∀n≥0 :

∞

X

i=0

f_n(i)−

∞

X

i=0

f(i)

≤

N

X

i=0

|f_n(i)−f(i)|+ 2X

i>N

g(i).

(3) Montrer que

∞

X

i=0

f(i) = lim

n→∞

∞

X

i=0

fn(i).

Exercice 14. En utilisant la formule du binˆome et l’exercice 13, montrer que

∀z ∈C : e^z = lim

n→∞

1 + z

n n

.

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Exercice 15. Le but de l’exercice est de montrer que {0,1}^N n’est pas d´enombrable par une m´ethode “diff´erente” de celle vue en cours.

(1) Soit I un ensemble quelconque, et soit Φ : I → P(I) une application de I dans P(I). On pose E = {i ∈ I; i 6∈ Φ(i)}. On suppose qu’il existe i₀ ∈ I tel que E = Φ(i₀). Le point i₀ appartient-il `aE, ou bien `aI\E?

(2) Montrer qu’il ne peut jamais exister de surjection d’un ensembleI surP(I), et en d´eduire le r´esultat souhait´e.

(3) Cette d´emonstration est-elle r´eellement diff´erente de celle vue en cours?

Exercice 16. Soit I un ensemble. Montrer que pour tous A, B ⊂I, on a 1A∩B =1_A1_B et 1A∪B =1_A+1_B−1_A1_B.

Exercice 17. Soit Ω un ensemble. Si A et B sont des parties de Ω, on d´efinit leur diff´erence sym´etrique A∆B par A∆B = (A∪B)\(A∩B).

(1) Montrer que pour tousA, B ∈ P(Ω), on a

1_A∆B =|1_A−1_B|=1_A+1_B (mod 2).

(2) Montrer que (P(Ω),∆) est un groupe commutatif. Pr´eciser l’´el´ement neutre, et le sym´etrique d’un ´el´ement A∈ P(Ω).

(3) Montrer que (P(Ω),∆,∩) est un anneau commutatif. Pr´eciser l’´el´ement unit´e.

Exercice 18. Soit Ω un ensemble, et soit (A_n) une suite de parties de Ω. On note limA_n l’ensemble des x ∈Ω qui appartiennent `a une infinit´e de A<sub>n</sub>, et limA<sub>n</sub> l’ensemble des x ∈ Ω qui appartiennent `a tous les A_n `a partir d’un certain rang.

V´erifier qu’on a

limA_n= \

N∈N

[

n≥N

A_n et limA_n= [

N∈N

\

n≥N

A_n.

Exercice 19. Soit Ω un ensemble, et soit (A_n) une suite de parties de Ω. Montrer qu’on a

1_limA

n = lim1_An et 1_limAn = lim1_An.

Exercice 20. Soit Ω un ensemble. On dit qu’une suite (A_n) de parties de Ω est convergente si on a lim_nA_n= lim_nA_n, et on note alors lim_nA_n cet ensemble.

(1) Comment se traduit la convergence d’une suite d’ensembles en termes de fonctions indicatrices?

(2) Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si la suite (A_n) est convergente; et si c’est le cas, trouver sa limite.

(a) La suite (A_n) est croissante.

(b) La suite (A_n) est d´ecroissante.

(c) Les ensembles A_n sont deux `a deux disjoints.