Feuille d’exercices n°6 Logique

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Feuille d’exercices n°6 Logique

Exercice 36

SoitIun intervalle deR. Soitf:I→Rune fonction.

1. Exprimer l’assertion «f est constante surI» à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

2. Exprimer l’assertion «f n’est pas constante surI» à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

3. Exprimer l’assertion «f s’annule surI» à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

4. Exprimer l’assertion «f est identiquement nulle surI» à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

Exercice 37

1. Soitnun entier relatif.

(a) Exprimer l’assertion «nest un entier pair » à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

(b) Exprimer l’assertion «nest un entier impair » à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

2. Démontrer

∀n∈Z, n²est pair⇒nest pair.

Exercice 38 Démontrer

∀x∈R≥0, ∀y∈R≥0, x+y=0⇒¡

x=0 ety=0¢ .

Exercice 39 Démontrer

∀x∈R≥0, (∀ε∈R>0, x≤ε)⇒x=0.

Exercice 40 Démontrer

∀x∈R\ {3}, ∀y∈R\ {3}, x6=y ⇒ 1−2x

x−3 6=1−2y y−3 .

Exercice 41

Soitf:R→Rune fonction. SoitPla proposition logique quantifiée

∀ε∈R>0, ∃A∈R, ∀x∈R, x≥A⇒ −ε≤f(x)≤ε. 1. On fixe un repère (O;→−

i ,−→

j ) du planP.

(a) Rappeler la définition de la courbe représentativeC_f de la fonctionf. (b) Soitε∈R>0et soitA∈R. Representer la partieR(ε,A) du planP définie par

R(ε,A)=©

M(x,y)∈P :x≥Aet−ε≤y≤εª .

(c) Interpréter graphiquement la propriété logique quantifiéeP au moyen de la courbeC_f et des en- semblesR(ε,A), oùε∈R>0etA∈R.

2. D’après l’étude faite en 1., quel sens semble avoir la proposition logique quantifiéeP?

Exercice 42 Soit le prédicat

P(n) : 2ⁿ≥n² en la variablen∈N.

1. Démontrer

∀n∈N≥3, P(n)⇒P(n+1).

2. Pour quelles valeurs den∈N, le prédicatP(n) est-il vrai ? Justifier la réponse.

Exercice 43 1. Démontrer

∀n∈N^∗,

n

X

k=1

k=n(n+1) 2 au moyen d’un raisonnement par récurrence.

2. Démontrer

∀n∈N^∗, Xn k=1

k²=n(n+1)(2n+1) 6 au moyen d’un raisonnement par récurrence.

3. Démontrer

∀n∈N^∗,

n

X

k=1

k³= Ã n

X

k=1

k

!2

au moyen d’un raisonnement par récurrence.

Exercice 44

Pour toutn∈N^∗, on pose

Sn=

n

X

k=1

k (k+1)!.

1. CalculerS1,S2,S3etS4, puis conjecturer une expression deSnpour toutn∈N^∗. 2. Démontrer la conjecture précédente.

Exercice 45

1. Soitp:R→Rune fonction. Exprimer l’assertion «pest une fonction paire » à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

2. Soiti:R→Rune fonction. Exprimer l’assertion «iest une fonction impaire » à l’aide d’une proposition logique quantifiée.

3. Soitf:R→Rune fonction. Démontrer qu’il existe une unique fonctionp:R→Rpaire et une unique fonctioni:R→Rimpaire telles que

∀x∈R, f(x)=p(x)+i(x) au moyen d’un raisonnement par analyse-synthèse.

Exercice 46

Déterminer toutes les fonctionsf:R→Rtelles que

∀x∈R, ∀y∈R, f(x)f(y)−f(x y)=x+y.

au moyen d’un raisonnement par analyse-synthèse.

Exercice 47

Déterminer l’ensemble des réelsxtels que

px²−x−6≤x+2.