Exercices 15 : La logique modale
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre lundi 3 juin 2019, avant 16h15
Nom(s) :
Points obtenus (dans 3 questions avec un total de 20 points) :
1. (5 points) Prouvez que les formules suivantes sont des théorèmes de K (vous avez le droit d’utiliser n’importe quel théorème de la logique propositionnelle comme axiome) :
(a) «(□p∧□q)→□(p∧q)» (b) «(□p∨□q)→□(p∨q)» (c) «(♢p∨♢q)↔♢(p∨q)» (d) «♢(p∧q)→(♢p∧♢q)» (e) «♢(p→q)↔(□p→♢q)»
2. (6 points) Prouvez les affirmations suivantes (vous avez le droit d’utiliser n’importe quel théorème de la logique propositionnelle comme axiome) :
(a) «D⊢♢(p→p)» (b) «T⊢♢(p→□p)» (c) «S4⊢□p↔□□p» (d) «S4⊢♢♢p↔♢p»
(e) «S5⊢□(p∨□q)↔(□p∨□q)» (f) «S5⊢□(p∨♢q)↔(□p∨♢q)»
3. (9 points) Donnez des arguments informels en faveur des affirmations suivantes : (a) «K|=□(ϕ→ψ)→(□ϕ→□ψ)»
(b) «D|=□ϕ→♢ϕ)» (c) «T|=□ϕ→ϕ (d) «S4|=□ϕ→□□ϕ» (e) «S5|=♢ϕ→□♢ϕ»
(f) «K̸|=□ϕ→♢ϕ» (g) «D̸|=□ϕ→ϕ» (h) «S4̸|=ϕ→□♢ϕ»
(i) «S4̸|=♢ϕ→□♢ϕ»
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