M. E YTAN
Logique modale propositionnelle : une vue cavalière
Mathématiques et sciences humaines, tome 57 (1977), p. 27-42
<http://www.numdam.org/item?id=MSH_1977__57__27_0>
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LOGIQUE
MODALE PROPOSITIONNELLE : UNE VUE CAVALIEREM.
EYTAN
0. INTRODUCTION
Cet
article
est une vuecavalière,
à tous les sens de ceterme ;
$ enparticulier
il ne
comporte
aucunedémonstration**.
Ilreprésente
unetentative
deprésentation
de lalogique
modalepropositionnelle
auniveau d’abstraction
leplus
baspossible,
doncaccessible
auplus large public possible.
Il neprétend
donc àl’originalité
ni pour lecontenu,
ni pour laforme,
nimême
pour la
présentation.
_
Son auteur
s’estimera
heureux si les lecteurs seront en mesured’aborder ensuite l’article
deFitting [2] :
:c’est
son butquasi-exclusif.
1.
HISTORIQUE
Il est de tradition
d’évoquer
le nomd’Aristote lorsque l’on
veut marquerl’ancienneté
et lavénérabilité
de lalogique
modale. Nous nousabstiendrons
soigneusement d’entrer
dans les détails à propos de cesujet difficile
et controversé.
Plus
près
de nous et del’avis
commun, lapremière formulation
sérieused’un système
delogique
modalepropositionnelle
est due àLewis (à partir
de1914)
etculminera
avec le livre deLewis
andLangford [7].
Elle a pourorigine
laprofonde
insatisfactionqu’aurait éprouvé
Lewis devantl’implication dite matérielle (remarque qui attirerait
desérieux ennuis
à un étudiantcontemporain)
et son désir de laremplacer
parl’implication
* U.E.R.
Mathématiques,
Logique Formelle et Informatique, Université René Descartes. Ce texte est la rédaction d’exposés faits en 1974 pour un groupe de linguistes ayant déjà des notions élémentaires de logique.** Se référer à Fitting
[2]
ou Hughes and Creswell[3]
qu’il appela
stricte. Lestyle
del’époque
étantcelui
desPrincipia
Mathematica,
Lewis etLangford
donnentplusieurs systèmes
formulés en termesexclusivement syntaxiques.
Le lecteur saura se montrercompréhensif
en serappelant
quec’était
avant que Tarski nousintroduisît
auparadis
de lasémantique .
A la date de
parution
du livre onconnaissait
la méthode des tables devérité.
Onpeut raisonnablement
penser que les tentatives en ce sens nemanquèrent
pas,jusqu’à
ce queDugundji démontrât,
en1940,
que lesopérateurs
modaux
n’étaient
pasexprimables
par une table de vérité. Dès lors seposait
laquestion :
quefaire ?
La
première
voie couronnée de succès fut lavoie algébrique
de McKinsey
and Tarski
[8], applicable
auxsystèmes
S4 et S5. Unedizaine d’années plus
tard
Kripke [5]
donna unesémantique
pour S5 avecquantification qu’il
étenditpar la suite à
d’autres systèmes
delogique
modale du ler ordre.A peu
près
à lamême époque,
avec uneterminologie
et unpoint
de vuelégèrement différents,
~ Hintikka donnait unesémantique équivalente.
2. LES SYSTEMES DE LEWIS
2.0. Le
langage (commun
à tous lessystèmes formels)
. Variables
(lettres
deproposition) :
p,q,r,... en infinité dénombrable. Connecteurs
unaires -i (négation)
0
(possibilité)
binaires :
A(conjonction)
. Parenthèses :
(, ).
.
Règles
de formation(RI)
unevariable
est une formule(R2) si
A est uneformule,
il en est demême
pour’1A,
OA.(R3) si
A et B sont desformules,
il en est demême
pour(A A B).
. Abréviations ,
(disjonction)
(implication stricte) (équivalence stricte)
parenthèses extérieures
omises(nécessité)
(implication ’matêrielle’)
Désormais
on convientd’omettre
lesparenthèses extérieures.
2.1. Le
système SI
. Axiomes
.
Règles
(Sub)
A et Bformules,
x variableoù
sub§
Asignifie
la formule obtenue ensubstituant
B à toutes Bles occurrences de x dans A.
(Adj) (Remp)
A,B
formulesA,C,D
formulesC,D
sous-formules de AA’,A"
sous-mots de Aoù
signifie
la formule obtenue en substituant C à Ddans le contexte
A’-A"
i.e. àl’occurrence
de Dqui correspond
àA =
A’
DA"
et donnant doncA’C A".
A,B
formulesLes
thèses
sont les formules-obtenues
àpartir
des axiomes enappliquant
lesrègles (un
nombre fini defois).
PROPOSITION 1. Toute
thèse du calcul des propositions (classique)
est unethèse de
81.PROPOSITION 2.
Si A
est unethèse
est unethèse de
S1.Ce
système n’est
passatisfaisant
àplusieurs points
de vue.Tout
d’abord
larègle :
n’y
est pas valide.Ensuite
il y a des"paradoxes
del’implication stricte" qui
sont des thèsesmais par contre
d’autres n’en
sontpas De
même
aucune thèse de SIn’est
de la forme 00 A.
2.2. Le
système
S2Obtenu en
ajoutant
à SI le seulaxiome
tout le reste étant
inchangé.
La
règle (Nec) n’y
esttoujours
pasvalide,
p.ex.(p +p) 4 (p ~ p)
n’est
pas une thèse de S2.Cependant
on a larègle suivante :
qui n’est
pasvalide
dans SI. Cetterègle permet
de démontrer dans S2 les formulesdu §
2.1.qui n’étaient
pas des thèses de SI.Il est
surprenant
de constaterqu’avec
tout cequi précède
la formule(p q) 4 (0 p ~
0q) n’est
pas une thèse de S2.2.3. Le
système
S3Obtenu en
ajoutant
à SI le seul axiomequi permet
de démontrer dans S3 la formule en findu §
2.2.Ce
système n’est toujours
pas suffisant pour que larègle (Nec)
y soitvalide, bien qu’il
soitplus
fort que S2 au senssuivant.
PROPOSITION 3. Toute
thèse de
S2 est unethèse de
S3.2.4. Le
système
S4Obtenu en
ajoutant
à SI le seulaxiome
PROPOSITION 4. Toute
thèse de
S3(et donc de S2)
est unethèse de
S4 PROPOSITION 5. Larègle (Nec)
estvalide dans
S4.Il est bien connu
(cf. plus loin § 5)
que toutemodalité (i.e.
tout motsur
l’alphabet
constitué dessymboles i,o , 0)
se réduit dans S4 à uneparmi
14
possibilités.
2.5. Le
système
S5Obtenu en
ajoutant
à SI le seul axiomequi n’est
pas, bienentendu,
une thèse de S4.PROPOSITION 6. Toute
thèse de
S4(et donc de S3.,S2)
est unethèse de
S5.Ce
système
ne contient que lesmodalités -1,
D , 0 avec leursnégations (les
autres seréduisent).
PROPOSITION 7. Les
systèmes
51à
S5 sont tousdistincts.
L’on
passera sous silence lesdivers bricolages
donnant dessystèmes
intermédiaires du genre S3.1415 etc. En
fait,
pour desraisons qui apparaitront
par la
suite ,
lessystèmes mathématiquement
intéressants sont S4 et S5(ce
dernier dans une moindremesure).
3. LE SYSTEME T DE FEYS
(ou
M DE VONWRIGHT)
Ce
système formel,
introduit parFeys
en1937,
est lesystème
minimalqui réponde
auxexigences
suivantes :(1)
Lesopérateurs
0 et 0 sont reliés par lesconditions
(où
A eq Babrège (A ~ B)
A(B A) ) .
(2) (p ~ q) eq 0 (p ~ q)
est une thèse. Cequi signifie
que(p ~ q) ~
o(p ~ q) (ou
encore"l’implication
stricteentraîne
lanécessité
del’implication matérielle")
étantintuitivement valide,
ouexige
que sa conversesoit aussi
une thèse.(3) L’opérateur
iln’est
pas définissable en termes de connecteursclassiques (cf. §4.1.)
(4)
a p ~ p est une thèse.(5)
Larègle (Nec)
est valide.(6) (o
p A(p 4 q)) ~ 0
q est une thèse.Avec le
langage
du§2,
lesystème
T est alors défini par lesaxiomes
etrègles qui suivent.
.
Axiomes
On remarque que les axiomes 1 à 4 sont ceux des
Principia.
.
Règles (Sub)
(MP)
(Nec)
A,B formules,
xvariable
A,B
formulesA formule
Les
règles (Sub)
etMP)
étant valables pour les formules sansmodalités,
la remarque
qui
suit laliste
des axiomesentraîne immédiatement
PROPOSITION 8. Toutethèse classique
est unethèse de
T.On
peut aussi
montrerPROPOSITION 9. Le
système
T estdistinct des systèmes 81 à
S5.4.
SEMANTIQUE
DES SYSTEMEST, S4,
S54.1. Les
systèmes
formelsdéfinis jusqu’à présent
sontsuffisamment pénibles
à
manipuler
pour quependant
de nombreuses années les articles les concernantse bornassent à
établir
des listes de thèses. Lasignification intuitive
desopérateurs
demodalité était délibérément ignorée.
Par ailleurs aucune"table
de
vérité"
finie nepeut suffire
à définir lesopérateurs modaux, d’où
lacondition (3)
du§3.
Laissant
decôté l’approche
de McKinsey
and Tarski[8] (cf. plus loin)
on exposera
brièvement
dans ceparagraphe
la méthode deKripke [6]
faisantsuite
àKripke [5], originellement définie
pourS5,
étendueensuite
à T etS4 (et puis
à S2 etS3,
mais onn’en parlera
pasici).
Cette méthode a pour baseintuitive
lanotion (attribuée
àLeibniz) qu’une proposition
estnécessaire si et seulement
si
elle estvraie
de tous les"mondes possibles",
du
moins
pour lesystème
S5(cf. plus loin).
4.2. Voici plus précisément
comment onprocède.
Onappelle modèle de Kripke
le
triplet (~, R, 1= ) d’un ensemble ) (d’univers), d’une relation binaire
Rsur ~
etd’une relation 1=
entreunivers
et formules(r 1=
A selit
’r
donneA’) vérifiant
pour un R-successeurr*
de r(i.e.
tel que F Rr*) :
Le modèle de
Kripke ( î,, R, ~-)
est unT-modèle si
R estréflexive,
un54-modèle
si R est enplus transitive,
unS5-modèle si
R est enplus symétrique.
Une formule est
(où
’Je =T,
S4 ouS5) dans
deKripke ( Q., R, 1=)
si pour toutunivers
r~ ~ , r 1=
A. Aest 2L-Valide
tout court si elle est valide dans tout 2E -modèle deKripke.
Revenons à la
signification intuitive
de cettedéfinition : )
estl’ensemble
desunivers (mondes possibles),
F RF* signifie
quer*
est ununivers
possible
relativement à r(ou
encoreaccessible
àpartir
der).
Lacondition
(M5) signifie
alors que A estnécessairement
vraie dansl’univers
r si et seulement si A est vraie dans tout univers r* accessible àpartir
de F.Le lecteur
explicitera
pourlui-même
lasignification intuitive
de(M6).
Pour les
S5-modèles,
larelation
R est unerelation d’équivalence,
lepréordre s’aplatit
et on retrouvel’idée intuitive
de la fin du§4.1.
Pour les T-modèles la
condition
sur Rsignifie
quechaque
univers estaccessible
àpartir
delui-même ;
pour les S4-modèles que sir’
estaccessible à
partir
de r etr"
àpartir
der’
alorsr"
estaccessible
àpartir
de r .
4.3.
Ayant
défini les notionsde % -validité (~= T,
S4 ouS5),
onpeut
se poser la
question
de déterminer lesformules ~ -valides
et se demander sice sont les thèses des
systèmes
formelscorrespondants.
Laréponse
estpositive,
comme on le verra ci-dessous. ’5. ALGEBRE ET SYSTEMES
T, S4,
S55.1. Dans le calcul des
propositions classique
unetechnique
très utile pourl’étude algébrique
est de passer àl’algèbre
de Lindenbaum(quotient
del’ensemble
des formules par la relationeq).
Cettetechnique
estparfaitement applicable
auxsystèmes T, S4, S5 ;
elle est due à McKinsey
and Tarski[8]
pourl’essentiel.
5.2.
T-Algèbre
C’est
la donnéed’une structure l$$
=B,
A, V,’, 0 , 0,
1 > oùB,
A, v,’, 0,
1 > est unealgèbre
de Boole surl’ensemble
B et 0 est unopérateur
unaire sur Bvérifiant (avec
la convention habituelle que x y dans?
ssi x A y =x ).
Bien entendu le
quotient ~(T) /eq
des formules dusystème
T par larelation
"A
eq Bssi
A b B est une thèse dusystème T"
est uneT-algèbre qui
vérifie [A] =
1ssi
A est une thèse dusystème T, [A]
étant la classe de Adans .
Un
morphisme de T-algèbres
étant défini comme uneapplication
conservantles
opérations
desT-algèbres (y compris
les0-aires i.e.
lesconstantes)
onappellera modèle T-algébrique d’un système
T lecouple ( ~,h) d’une
T-algèbre M
etd’un morphisme de T-algèbres h leq dans n .
° Ondira
que A
E 5 (T)
estT-algébriquement valide
dans le modèle( 03 h)
si h[A] =
1.A est
T-algébriquement valide
si ellel’est
dans tout modèleT-algébrique.
PROPOSITION 10. Une
formule
Adu système
T esvT-valide (au
sensde Kripke)
ssi A
estT-algébriquement valide.
5.3.
S4-algèbre
-C’est
uneT-algèbre vérifiant
enplus l’axiome
Un instant
d’attention
auxaxiomes
1 à 4 montre quel’opération
0 dans une54-algèbre
est une fermeture au sens de Kuratowski etqu’elle
munit donc la54-algèbre d’une
structured’espace topologique. C’est pourquoi l’on peut considérer
lesystème
S4 commemathématiquement
leplus intéressant.
Ceci était àprévoir
dès le moment oùl’on avait défini
des 54-modèles au sensde
Kripke
comme étant des ensemblesmunis d’une relation
depréordre.
Paranalogie
avecle §
5.2. ondéfinit
lesmorphismes de S4-algèbres.,
lesmodèles S4-algébriques,
lavalidité S4-algébrique.
PROPOSITION 11. Une
forrmule
Adu système
S4 estS4-vaZi,de (au
sensde Kripke)
ssi
A estS4-algébriquement valide.
Sans entrer dans les
détails,
quel’on
trouvera dansFitting [1], signalons
une très
importante propriété
dusystème
S4 : ilexiste
unecorrespondance
Mqui
à toute formule du calculpropositionnel intuitionniste associe
uneformule de S4. Elle est
définie
récursivement commesuit
La
propriété intéressante
de cettecorrespondance (moins
trivialequ’elle
n’en
al’air
car àgauche
ils’agit
des connecteursintuitionnistes)
est lasuivante.
PROPOSITION 12. Une
formule
Adu calcul des propositions intuitionniste
est(au
sensintuitionniste) ssi M(A)
estS4-valide.
5.4.
S5-algèbre
C’est
uneS4-algèbre
vérifiant enplus l’axiome
On voit donc que la
topologie
estpassablement "aplatie"
dansS5,
cequi
rendce
système
moinsintéressant
que S4. On avaitd’ailleurs
vu unphénomène analogue
avec les S5-modèles au sens deKripke.
On
définira
encore paranalogie
avec lesparagraphes précédents
lesmorphismes de 85-algèbres,
lesmodèles S5-algébriques,
lavalidité
S5-algébrique..
,PROPOSITION 13. Une
formule
Adu système
S5 estS5-valide (au
sensde Kripke)
ssi A
estS5-algébriquement valide.
1
Désormais
ons’en
tiendra pourl’essentiel
à S4.6. DEDUCTION NATURELLE POUR S4
Il
s’agit
dedéduction
naturelle à laSmullyan [9].
6.1.
Règles
pour les arbres("tableaux"
deSmullyan)
Une
formule signée
est pardéfinition
TX ouFX,
X étant une formule deS4.
~
étant un ensemble de formulessignées,
ondésignera
par1,A l’ensemble :Y U {A}
pour toute formulesignée
A. Enfinpar
on entendl’ensemble
Voici les
règles :
tétant
un ensemble de formulessignées,
on dira que larègle (R) (ce symbole
est une
variable qui prend
ses valeursparmi
lesrègles
écritesci-dessus)
s’applique à u. si
par un choix convenablede 1 , X,
Yl’ensemble
des formulessignées
au-dessus de laligne
dans larègle (R)
devient’U .
Une
appZ2cat2on
de larègle (R)
à ~t, est lasubstitution
àtL
de111
(resp. ’tL 1
1 etU 2
si(R)
est(MFA), (MTv)
ou(mu=»)
où Lt, estl’ensemble
des formules au-dessus de laligne
dans larègle (R) (après substitution
convenable
pour 1 , X, Y)
et1~
1(resp. tll
1 et estl’ensemble
des formulessous la
ligne.
Cequi précède
supposeimplicitement
que(R) s’applique
àU.
Si
cen’est
pas le cas, parconvention
le résultat est de nouveautL.
Une
configuration
est un ensemblefini { -i l’ -:f 2’ ... , n} d’ensembles
1 2 n
de formules
signées.
_Une
application
de larègle (R)
à laconfiguration 19
1 , ... , 2 nconsiste à
remplacer
cetteconfiguration
par cellequi
résulte en yremplaçant chaque f. 1
par le résultat(resp.
lesrésultats)
del’application
de(R)
à
J..
1
Un
arbre (ou "tableau")
est une suitefinie Ci. C2,..., Cm
deconfigurations,
danslaquelle chaque configuration,
sauf lapremière,
est lerésultat de
l’application d’une
desrègles ci-dessus
à laconfiguration précédente.
Un
ensemble 4
de formulessignées
estclos s’il contient
à lafois
TX et FX pour une formule X. Uneconfiguration { ~ , ~ ,..., ~ ~
estclose
si
chacun desJi
est clos. Un arbreCI’ C 2 ,..., C m
est clossi l’un
desC. est clos.
J
Un
arbre pour
unensemble S
de formuïessignées
est un arbreC 1 ,C , 2 ... ,C’ m
avecC
1 =1 4 }.
Un ensemble
fini -3
de formulessignées
estinconsistant s’il
y a un arbrepour ~ qui
est clos.Sinon, ri
estconsistant.
X est unethèse
de S4 si{FX}
estinconsistant,
et un arbre clos pour{FX}
est unedémonstration
de X.184
X est unenotation
pour’X
est une thèse deS4’.
6.2. Motivation et
interprétation intuitive
Supprimons
lesrègles (MTo)
et(MFa)
du§6.1.,
etinterprétons
TX commesignifiant ’X
estvraie’,
FX commesignifiant
’X estfausse’. (R) peut
alorsêtre interprétée
comme suit : sil’ensemble
des formules au-dessus de laligne
estconstituée
de formulesvraies,
alors celui(resp. ceux)
en-dessousde la
ligne
aussi. Onpeut
alorsremplacer
TX parX,
FX par 1 X et unedémonstration
au sens définici-dessus
devient unprocédé
deréfutation.
En
effet,
supposons X fausse(commencer l’arbre
par{FX}) ;
on enconclut, puisqu’on
aboutit à uneconfiguration close, qu’une
formule doit êtresimultanément
vraie et fausse. Ceciétant impossible,
X estvraie.
Dans le
système S4, l’interprétation
est différente. TXsignifie
queX est vraie dans un monde
possible r,
FX que X y est fausse. Larègle (R) signifie maintenant
que si lasituation
au-dessus de laligne
alieu,
alorsla
situation
au-dessous de laligne
estaccessible (i.e.
a lieu dans un mondepossible r* accessible
àpartir
der).
Soit parexemple
larègle (MFo),
laseule
quelque
peudélicate
àinterpréter. Puisque
lasituation ~,
F 0 X alieu dans
r,
donc 0 X est fausse dansr,
il y a unr*
accessible àpartir
der où X est
fausse,
et il faut donc inscrire FX sous laligne.
Pour cequi
estdes formules
(signées) de ~ ,
on nepeut
affirmerqu’elles
sont vraies dansr*
que si elles sont de la forme T o
Y,
car alors Y estvraie
dans tout mondeaccessible
àpartir
de r et doncaussi
dansr* ainsi
que dans tout mondeaccessible
àpartir
der* ;
on nepeut
doncinscrire
sous laligne
quel’ensemble 1 o
Lesdémonstrations
se font encore parréfutation :
supposons que Xsoit
fausse dans un monde r(commencer l’arbre
par
{FX}).
On en conclutqu’une
formule est à la fois vraie et fausse dansun monde
r* (accessible
àpartir
der).
Ceci étantimpossible
X est vraidans
r,
et ceci pour tout r.6.3.
Adéquation
des arbresOn
dira qu’un
ensemble de formulessignées (TXj,... ,TX
est
réalisable s’il
y a un 54-modèle deKripke ( ~, R, 1= )
et un mondepossible
telsqu’on
ait :on dit que F
si ( f 1 ,..., 4 p 1
est uneconfiguration
on ladit réalisable si l’un
des à . 1
de cetteconfiguration l’est.
PROPOSITION 14.
Soit CI’...’ Cn
unarbre. Si
Ci
estréalisable alors Ci+1
1(i = 1,..., n-1) l’est aussi.
PROPOSITION 15. Les
règles du §
6.1. sontadéquates, -1,*.e. si
Xalors
X est6.4. Collections de
Hintikka
Par
analogie
avec le casclassique,
et bien que sasignification intuitive soit
moins évidente,
onappelle collection de Hintikka
toutecollection d’ensembles
consistants
de formulessignées vérifiant
pourchaque
rE
:Soit )
unecollection
deHintikka.
On dira que 1 est unmodèle
de
est un S4-modèle au sens de
Kripke.
alors alors
THEOREME 1. Toute
collection de Hintikka admet
unmodéZe.
SCHOLIE. Pour
démontrer la complétude de la méthode, il suffit de
démontrer que si 14
Xalors il y
a unecollection de
Hintikka C
S4 y
telle
que pour un rE on ait
FX E r .PROPOSITION 16. La
méthode des arbres
estcomplète.
REMARQUE
1. En vertu de la prop. 12 onaurait
pu démontrer cespropriétés
àpartir
decelles, analogues,
du calcul despropositions intuitionnistes.
C’est
cequi
est fait dansFitting [1].
REMARQUE
2. Laméthode,
que nous avonsappelé
méthode des arbres est en fait celle desconfigurations.
Le lecteuravisé associera
àchaque configuration
unarbre et inversement.
7. LA VARIANTE DE FITTING
[2]
Partant
d’une
idée deFitch, il s’agit d’utiliser
la méthode des arbres du§6,
mais
enincorporant
ausystème
formel dessymboles représentant
des mondespossibles (au
sens deKripke).
Ici on neprésentera
que laversion abrégée
valable pour le
système
S4.7.1. Arbres et formules
préfixées
On se donne le
couple oi 1 R ) d’un univers ù
0 etd’une relation
R0
réflexive
o
oet
transitive sur 10’ fixés
unefois
pour toutes. Xétant
une formule(de S4)
0
et P
E o,
on dira que PX est uneformule préfixée.
S étant un ensemble de formules
préfixées, (
,R, 1=)
unS4-modèle
au sens de
Kripke,
1 uneapplication d’une partie
deÇ o dans ,
ondira
queI est une
interprétation
del’ensemble
F despréfixes
des formules X dans S si1)
ledomaine
de I est F2)
pour toutP,Q
E Fsi
PRo Q
alorsI(P)
RI(Q)
Si
deplus
PX E Xentraine I(P) 1= X,
onappellera « 7f’ R, 1=), I)
une(S4-) réalisation
deS ;
dans ce cas S est dit(S4-)
réalisable.Soit maintenant
q) uneapplication de 0 x f ( 0 ) dans e ( 0) , oÙ
est
l’opérateur
ensemble desparties.
Ondira
que w est unefonction de
sélection
pour( 9~ n, R )
si pourchaque partie finie
Fde (!,,
et pourchaque
u -
entraîne
PRo Q.
Soit
alors w
une fonction desélection
pour09
oR ) ;
o on dira que(( 0, R ), (p)
est une structurede tableau (pour S4) si
o o
1)
est une(S4-)
structure dénombrable.o o
2) Si
S est un ensemble finiquelconque
de formulespréfixées qui
est(S4-)
réalisable et si F estl’ensemble
despréfixes
des formules deS,
alors(2.1.)
si P a X E S ou PO X E S etQ
E alorsS,QX
est(S4-)
réalisable.(2.2.) s i P 1 o X E S
ou P 10 X E S etQ E p(P,F)
alorsS, Q 1 X
estréalisable.
Voici comment
construire
un arbre pour une structure de tableau.Soit
(( Q. Ro), (p)
une structure de tableau fixe. Ondéfinit
lescomposantes
o ode formules
préfixées a, S
comme suitOn définit aussi les formules
préfixées v (nécessaire)
et a(possible)
parSoit PX une formule
préfixée quelconque.
Un(S4-) arbre pour
PX estconstruit
comme suit :
(i) inscrire
au sommmetPX ;
(ii) si
une formule detype
a seprésente
sur unebranche, prolonger
cettebranche en y inscrivant
al
1 eta2 successivement ;
(iii)
si une formule detype 8
seprésente, bifurquer
eninscrivant 8)
1 àgauche,
SZ
àdroite ;
(iv)
si une formule detypé a
seprésente,
avecpréfixe P, prolonger
laditebranche en y
rajoutant 7(Q)
avecQ
Ecp(P,F),
F étantl’ensemble
despréfixes ayant
une occurrence dans les formules situées sur la branche examinée. Onconçoit w
commeopérant
une sélection depréfixes qui
sontdans la
relation Ro
avecP, mais qui
sont non-restreintes par les autrespréfixes
de la branche.Brièvement :
onpeut rajouter 7r(Q)
à une branchecontenant a pour tout
Q relié, non-restreint ;
(v)
si une formule detype v
seprésente,
avecpréfixe P, prolonger
la brancheen y
rajoutant v(Q)
soit pour lesQ
E Fétant l’ensemble
despréfixes
ayant
une occurrence sur labranche,
soit pour lesQ
E F tels que PRo Q.
Brièvement :
onpeut rajouter v(Q)
à une branche contenant v pour toutQ relié qui
estsoit non-restreint soit
utiliséauparavant.
On
peut représenter graphiquement
ces cas :Q relié,
non-restreint ouutilisé
Q relié,
non-restreintUne branche est
close si,elle contient
à la fois PY et PIY pour une formule Yet un
préfixe
P. Un arbre estclos
si toutes ses branches sont closes. X est une(S4-) thèse s’il
y a un arbre clos pour P ’1X,
pour unpréfixe
P.Interprétation intuitive :
PXsignifie P ~
X.7.2.
Adéquation
PROPOSITION 17.
Soit
S unensemble de formules préfixées:
(a) si S, a
estréalisable alors S,
(b) si
estréalisablé,, alors S, 8]S1
ouS, l’est
PROPOSITION 18.
Soit S, v
unensemble fini de formules préfixées,
Fl’ensemble
des préfixes de
cetensemble,
Ple préfixe de
v,Q
EF,
PRo Q.
AlorsS,
vréalisable entraene S, v _, v (Q) réalisable.
On dira
qu’une
branche est(S4-) réalisable
sil’ensemble
des formules yinscrites l’est ;
un arbre est(S4-) réalisable
si l’une des ses branchesl’est.
THEOREME 2. un
arbre réalisable
etsi ~’
estobtenu à partir d’une
des règles
enfin du § ?.1., alors ~’ aussi
estréalisable.
COROLLAIRE.
Si X
estdémontrable par la méthode des arbres alors
X estvalide dans
tousles S4-modèles de Kripke.
7.3.(S4-)
ensembles de HintikkaUn ensemble S de formules
préfixées
est un(S4-) ensemble de H2rtt2kka
si :(0)
pour aucune formuleatomique
et aucunpréfixe
P onn’a
simultanémentPA,
(3)
si v E S alorsv(Q)
E S pour toutQ
E F dans la relationRo
avec lepréfixe
de v, et il y a desQ
E F dans la relationRo
avec lepréfixe
de v.(4) si
1r E S alors E S pour unQ
E F dans la relationRo
avec lepréfixe
de a.
THEOREME 3. Tout
(S4-) ensemble de Hintikka
est(S4-) réalisable.
7.4.
Complétude
THEOREME 4.
Si X
estS4-valide alors
X estdémontpable
parla méthode des arbres.
On ne
traitera
pasl’extension
de la méthode au calcul desprédicats
modal du1er ordre. Le lecteur trouvera facilement dans les ouvrages
indiqués
enbibliographie
les indications nécessaires.BIBLIOGRAPHIE
[1]
FITTINGM., Intuitionnistic Logic, Model Theory and Forcing, Amsterdam, North-Holland,
1969.[2]
FITTINGM., "Tableau
Methods of Proof for ModalLogics",
Notre DameJr.,
XIII
(1972), 237-247.
[3]
HUGUES C.E. & CRESWELLM.J.,
Anintroduction
toModal Logic, London, Methuen,
1968.[4] SCHÜTTE K., Vollständige Systeme Modaler und Intuitionistischer Logik, Berlin, Springer,
1968.[5]
KRIPKES., "A Completeness
Theorem in ModalLogic",
Jr.Symb. Log.,
24
(1959),
1-14.[6]
KRIPKES., "Semantic Analysis
of ModalLogic I", Zeitschr. für
Mat.Log.,
8