M ATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES
M. E YTAN
Topologie et logique propositionnelle modale
Mathématiques et sciences humaines, tome 12 (1965), p. 29-30
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29.
TOPOLOGIE ET LOGIQUE PROPOSITIONNELLE MODALE M. EYTAN
Si l’on considère Aristote comme le
premier logicien (formel)
àqui
noussommes redevables de tous les
développements ultérieurs,
on sait en revancheassez peu que c’est encore lui
qui
aintroduit,
enplus
des assertionsusuelles,
des "assertions fortes" du
type
"cela estnécessairement
vrai" et des assertions fc.ibles dutype
"cela estpossiblement
vrai". Unelogique qui incorpore
ces deuxtypes supplémentaires
d’assertions estappelée
modale.Il faudra attendre
jusqu’à
Lewis(cf
Lewis -Langford (1))
pour voir à nou- veau unlogicien s’intéresser
à lalogique
modale. Celui-ci ne proposera pas un seulsystème,
mais toute une sériede systèmes,
etparmi
eux un,qu’il appela S4,
retiendra notre attention. Nous ne retiendrons pas, y pour des raisons de commodi-
té,
y les notations de Lewis.Convenons de
représenter
lespropositions (et
dans tout cequi
suit tous lesobjets logiques
seront despropositions)
de notresystème
par des minuscules la- tine s x, y, z, ...On
peut
définir lesopérations logiques
deconjonction
x A y("x
ety"),
dedisjonction
x v y" ( "x
ou y, ou lesdeux" ) ,
y et denégation
x’("non-x")
sur l’en-semble des
propositions considérées. Distinguons
deplus,
dans l’ensemble B despropositions,
y laproposition
fausse 0 et laproposition
vraie 1. L’ensembleB,
muni des
opérations A , v, 1
, et deséléments distingués 0, 1
constitue unealgè-
bre
booléenne. Définissons
encorel’élément
x-y de B(x- y
n’est pas une im-plication,
mais uneproposition)
comme uneabréviation
de x’ v y, x 4 y comme uneabréviation
de"(x-y)
est un théorème"(on
montre que la relation x y est unerelation
d’ordre,
yréflexive, anti-symétrique
ettransitive),
c’est-à-dire "non-xou y est un
théorème".
. Utilisant Nx pour l’assertion forte("x
estnécessaire")
etPx pour l’assertion faible
("x
estpossible"))
les axiomes dusystème
S4 de Lewiss’écrivent :
’1) 2) 3)
4)
xy x A x5)
N(x -+y )
JB N(y
nz)
N(x -+ z) 6) x Px
7) P.Px - 4
Px8 )
Nx =(Px’)’
° -auxquels
il fautadjoindre
les diversesrègles primitives (de formation,
de substi-tution, d’adjonction,
dedétachement) qui
nousimportent
peuici,
n’intervenant que dans lesquestions
dedéduction.
’
30.
Mac
Kinsey (2)
démontrequelque temps plus
tard que cesystème
depostulats
équivaut
au suivant : ~ -e0)
B est unealgèbre booléenne
parrapport
auxopérations A, v,’
1 et aux élé-ments
distingués 0,1 ;
quels
que soient x et y dans B. ,Opérons
maintenant lechangement
de notation suivant :L’axiome
0)
ci-dessussignifie
que2 E
est unealgèbre booléenne,
y cequi
esttrivial. Les ’axiomes
1 ), 2), 3), 4),
deviennent les formules(0), (2), (3), (4)
du
paragraphe précédent.
Toute
logique propositionnelle
modale(vérifiant
les axiomes S4 deLewis) peut
doncêtre représentée
comme un espacetopologique,
où P est la fermeture(et
par suite N est
l’intérieur).
En
particulier
tout ce que l’on sait sur les espacestopologiques peut être interprété
en termeslogiques (et inversement):
ainsil’algèbre
de Kuratowski y est lamême,
et NPNP = NP.Bibl iograph ie :
1 - LEWIS - LANGFORD :
Symbolic Logic (Dover, New-York, 1959).
2 - Mac KINSEY : A solution of the décision
problem
for the Lewissystem
S2 andS4 with an