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Topologie et logique propositionnelle modale

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Texte intégral

(1)

M ATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

M. E YTAN

Topologie et logique propositionnelle modale

Mathématiques et sciences humaines, tome 12 (1965), p. 29-30

<http://www.numdam.org/item?id=MSH_1965__12__29_0>

© Centre d’analyse et de mathématiques sociales de l’EHESS, 1965, tous droits réservés.

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http://www.numdam.org/

(2)

29.

TOPOLOGIE ET LOGIQUE PROPOSITIONNELLE MODALE M. EYTAN

Si l’on considère Aristote comme le

premier logicien (formel)

à

qui

nous

sommes redevables de tous les

développements ultérieurs,

on sait en revanche

assez peu que c’est encore lui

qui

a

introduit,

en

plus

des assertions

usuelles,

des "assertions fortes" du

type

"cela est

nécessairement

vrai" et des assertions fc.ibles du

type

"cela est

possiblement

vrai". Une

logique qui incorpore

ces deux

types supplémentaires

d’assertions est

appelée

modale.

Il faudra attendre

jusqu’à

Lewis

(cf

Lewis -

Langford (1))

pour voir à nou- veau un

logicien s’intéresser

à la

logique

modale. Celui-ci ne proposera pas un seul

système,

mais toute une série

de systèmes,

et

parmi

eux un,

qu’il appela S4,

retiendra notre attention. Nous ne retiendrons pas, y pour des raisons de commodi-

té,

y les notations de Lewis.

Convenons de

représenter

les

propositions (et

dans tout ce

qui

suit tous les

objets logiques

seront des

propositions)

de notre

système

par des minuscules la- tine s x, y, z, ...

On

peut

définir les

opérations logiques

de

conjonction

x A y

("x

et

y"),

de

disjonction

x v y

" ( "x

ou y, ou les

deux" ) ,

y et de

négation

x’

("non-x")

sur l’en-

semble des

propositions considérées. Distinguons

de

plus,

dans l’ensemble B des

propositions,

y la

proposition

fausse 0 et la

proposition

vraie 1. L’ensemble

B,

muni des

opérations A , v, 1

, et des

éléments distingués 0, 1

constitue une

algè-

bre

booléenne. Définissons

encore

l’élément

x-y de B

(x- y

n’est pas une im-

plication,

mais une

proposition)

comme une

abréviation

de x’ v y, x 4 y comme une

abréviation

de

"(x-y)

est un théorème"

(on

montre que la relation x y est une

relation

d’ordre,

y

réflexive, anti-symétrique

et

transitive),

c’est-à-dire "non-x

ou y est un

théorème".

. Utilisant Nx pour l’assertion forte

("x

est

nécessaire")

et

Px pour l’assertion faible

("x

est

possible"))

les axiomes du

système

S4 de Lewis

s’écrivent :

1) 2) 3)

4)

xy x A x

5)

N

(x -+y )

JB N

(y

n

z)

N

(x -+ z) 6) x Px

7) P.Px - 4

Px

8 )

Nx =

(Px’)’

° -

auxquels

il faut

adjoindre

les diverses

règles primitives (de formation,

de substi-

tution, d’adjonction,

de

détachement) qui

nous

importent

peu

ici,

n’intervenant que dans les

questions

de

déduction.

(3)

30.

Mac

Kinsey (2)

démontre

quelque temps plus

tard que ce

système

de

postulats

équivaut

au suivant : ~ -e

0)

B est une

algèbre booléenne

par

rapport

aux

opérations A, v,’

1 et aux élé-

ments

distingués 0,1 ;

quels

que soient x et y dans B. ,

Opérons

maintenant le

changement

de notation suivant :

L’axiome

0)

ci-dessus

signifie

que

2 E

est une

algèbre booléenne,

y ce

qui

est

trivial. Les ’axiomes

1 ), 2), 3), 4),

deviennent les formules

(0), (2), (3), (4)

du

paragraphe précédent.

Toute

logique propositionnelle

modale

(vérifiant

les axiomes S4 de

Lewis) peut

donc

être représentée

comme un espace

topologique,

P est la fermeture

(et

par suite N est

l’intérieur).

En

particulier

tout ce que l’on sait sur les espaces

topologiques peut être interprété

en termes

logiques (et inversement):

ainsi

l’algèbre

de Kuratowski y est la

même,

et NPNP = NP.

Bibl iograph ie :

1 - LEWIS - LANGFORD :

Symbolic Logic (Dover, New-York, 1959).

2 - Mac KINSEY : A solution of the décision

problem

for the Lewis

system

S2 and

S4 with an

application

to

topology,

Journal of

Symbolic Logic

6

(1941)

pp.

117-134.

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