17 Produit scalaire dans l’espace et applications
C H A P I T R E
Le produit scalaire de deux vecteurs est une op´eration qui `a eux vecteurs associe un r´eel, un scalaire. On utilise le terme produit car il poss`ede certains proprietes analogues au produit des r´eels. Le produit scalaire est aussi utilis´e en m´ecanique, le travail d’une force est le produit scalaire de cette force et du vecteur d´eplacement.
Produit scalaire dans l’espace
1
Soit−→u et−→v deux vecteurs de l’espace, le produit scalaire de−→u et−→v est :
• −→u · −→v = 0 si−→u =−→
0 et/ou−→v =−→ 0
• −→u· −→v =k−→uk × k−→vkcos(−→u,−→v) sinon, (−→u,−→v) est l’angle entre les vecteurs dans un plan contenant deux de leurs repr´esentants.
D´efinition 1
Toutes les r`egles de calculs vues dans le plan s’´etendent `a l’esapace.
Soit−→u,−→v et−→w deux vecteurs de l’espace etλun r´eel.
• −→u · −→u =k−→uk2
• Communtativit´e :−→u · −→v =−→v · −→u
• Distributivit´e par rapport `a l’addition :−→u ·(−→v +−→w) =−→u · −→v +−→u · −→w
• associativit´e (λ−→u)· −→v =−→u ·(λ−→v) =λ(−→u · −→v) Propri´et´e 1
Lorsqu’on munit l’espace d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→ı ,−→ ,−→
k), on a −→u(x, y, z) et
−
→u(x0, y0, z0) c’est-`a-dire−→u =x−→ı +y−→ +z−→
k et −→v =x0−→ı +y0−→ +z0−→ k.
En appliquant les r`egles de caluls du produit scalaire et en exploitant le fait que le rep`ere orthonorm´e soit :
k−→ık=k−→k=k−→
kk= 1 et−→ı · −→ = 0 ;−→ı ·−→
k = 0 et−→ ·−→ k = 0 on obtient une expression analityque du produit scalaire.
Dans l’espace muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→ı ,−→ ,−→
k),soit les vecteurs
−
→u(x, y, z) et−→u(x0, y0, z0) on a :
−
→u · −→v =xx0+yy0+zz0 Propri´et´e 2
Applications : Vecteur Normal et ´ equation cart´ esienne de
2 plan
2 1 Vecteur Normal
soitP un plan de l’espace et−→n un vecteur non nul de l’espace.
Dire que−→n est un vecteur normal au planP signifie que−→n est orthogonal `a tout vecteur admettant un repr´esentant dansP.
C’est-`a-dire pour tout vecteur −→u admettant un rep´eseentant dansP :
−
→u · −→n = 0 D´efinition 2
3 Chapitre 17. Produit scalaire dans l’espace et applications
Le vecteur−→n est orthogonal au planP, s’il orthogonal au moins `a deux vecteurs non colin´eaires deP
Th´eor`eme 1
D´emonstration.On note −→u,−→v deux vecteurs non colin´eaires deP, on sait que−→n
`
a−→u et −→v c’est-`a-dire :
−
→n · −→u = 0 et−→n · −→v = 0.
Soit−→w un vecteur deP, comme−→u,−→v sont deux vecteurs non colin´eaires il existe αetβ tels que −→w =α−→u +β−→v.
On calcule donc
−
→n · −→w =−→n ·(α−→u +β−→v)
−
→n · −→w =α−→n · −→u +β−→n · −→v
−
→n · −→w = 0
.
On en d´eduit que −→n est orthogonal `a n’importe quel vecteur−→w de P, donc −→n est
orthogonal au planP
Remarque.Une droiteDest orthogonal `a un planPsi l’un de ses vecteurs directeurs est normal au planP.
2 2 ´Equation cart´esienne de plan
On munit l’espace d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→ı ,−→ ,−→
k). Soit A un point, un vecteur−→n(a, b, c) non nul etP le plan passant parAde vecteur normal−→n. Le planP admet une ´equation cart´esienne de la formeax+by+cz+d= 0, avec dun r´eel `a d´eterminer.
Th´eor`eme 2
D´emonstration.
Un pointM(x, y, z)∈P si et seulement si−−→
AM· −→n = 0 d’o`u a(x−xA) +b(y−yA) +c(z−zA) = 0
ax+by+cz−(axA+byA+czA) = 0
avecd=−(axA+byA+czA) on a une ´equation cart´esienne de la forme
ax+by+cz+d= 0
Exemple.Dans l’espace muni d’un rep`ere orthonorm´e, d´eterminer une ´equation cart´esienne du planQpassant par A(1,0,1) de vecteur normal−→n(−2,0,3)
On aQ : −2x+ 3z−1 = 0
Pour tous r´eelsa,b,c etdnon tous nul, l’ensemble des pointsM(x, y, z) tels que ax+by+cz+d= 0 est un plan admettant le vecteur−→n(a, b, c) comme vecteur normal.
Propri´et´e 3
3
2 3 Parrall´elisme Orthogonalit´e
• Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur de l’un est orthogonal `a deux vecteurs non colin´eaires de l’autre.
• Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal de l’un est orthogonal `a un vecteur orthogonal de l’autre.
Propri´et´e 4
Deux plans sont parall´eles si leurs vecteurs normaux respectifs sont colin´eaires.
Propri´et´e 5
