Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr
Développement en série entière d’une fonction avec une équation différentielle
Introduction
L’objectif de ce problème est d’étudier les propriétés de la fonctionϕ:R→Rdéfinie par
∀x∈R, ϕ(x)=exp µx2
2
¶ Z x
0
exp µ
−t2 2
¶ dt.
Nous démontrerons notamment que la fonctionϕest développable en série entière et de calculer ce développement. Dans la suite du problème, on désigne par (E) l’équation différentielley0=x y+1.
I. Généralités
Dans cette partie, on étudie quelques propriétés de la fonctionϕ. 1. Montrer que la fonctionϕest impaire.
2. Montrer queϕ(0)=0 et queϕest solution de l’équation différentielle (E) surR.
II. Solutions développables en série entière de (E )
Dans cette partie, nous allons déterminer les solutions impaires et développables en série entière de l’équation différentielle (E). On considère une suite (an)n∈N∈RNtelle que le rayon de convergence de la série entièreX
anx2n+1vérifieR∈]0,+∞]. On notef :]−R,R[→Rla somme associée qui est définie par
∀x∈]−R,R[, f(x)=
+∞X
n=0
anx2n+1.
1. Justifier que la fonction f est de classeC1et que la fonction f0est développable en série entière.
Exprimer avec la suite (an)n∈Nle développement en série entière de la fonctionf0en précisant son rayon de convergence.
2. Montrer que pour toutx∈]−R,R[, on a
f0(x)−x f(x)−1=(a0−1)+
+∞X
n=1
£(2n+1)an−an−1¤ x2n. 3. En déduire que f est solution de (E) sur ]−R,R[ si et seulement si
a0=1 et ∀n∈N∗, an= an−1 2n+1. 4. En déduire que sif est solution de (E) sur ]−R,R[, alors
∀n∈N, an= 2nn!
(2n+1)!.
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5. Déterminer le rayon de convergence de la série entière X
n>0
2nn!
(2n+1)!x2n+1.
6. Conclure que l’équation différentielle (E) admet une unique solution impaire développable en série entièreg :R→Ret que
∀x∈R, g(x)=
+∞X
n=0
2nn!
(2n+1)!x2n+1.
7. Déduire des questions précédentes que la fonctionϕest développable en série entière et que
∀x∈R, ϕ(x)=
+∞X
n=0
2nn!
(2n+1)!x2n+1.
Fin
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