On consid`ere le probl`eme de Dirichlet : (P

Facult´e des Sciences et Techniques - TOURS Ann´ee 2006-2007 Module UEL1/O1 : Analyse Num´erique des EDP’S (I).

EXAMEN FINAL (Dur´ee 3h) I. Equations elliptiques.

On consid`ere le probl`eme de Dirichlet : (P)







−u⁰⁰(x) + (1 +x²)u(x) = f(x) dans (0,1) u(0) =u(1) = 0,

o`uf ∈C([0,1]).

1.Montrer que, si ¯u∈C²([0,1]) est une solution de (P) alors ¯uest solution du probl`eme :

(P’)











Trouver ¯u∈H₀¹(]0,1[) tel que : J(u) = min

v∈H₀¹(]0,1[)J(v), o`u :

J(v) = 1 2

Z 1 0

[v⁰(t)]²dt+ 1 2

Z 1 0

(1 +t²)[v(t)]²dt−

Z 1 0

f(t)v(t)dt .

2.R´eciproquement, prouver que le probl`eme (P’) admet une unique solutionu∈H₀¹(]0,1[) qui satisfait :

∀v ∈H₀¹(]0,1[),

Z 1 0

u⁰(t)v⁰(t)dt+

Z 1 0

(1 +t²)u(t)v(t)dt =

Z 1 0

f(t)v(t)dt . [NB : on utilisera au maximum les r´esultats du cours.]

3. Pourx∈[0,1], on pose :

w(x) = u⁰(x)−

Z x 0

(1 +t²)u(t)dt+

Z x 0

f(t)dt .

Montrer que :

(*) ∀v ∈H₀¹(]0,1[),

Z 1 0

w(t)v⁰(t)dt= 0 .

4.En d´eduire que la fonctionw est constante sur [0,1]. (On pourra poser ¯w=

Z 1 0

w(t)dt et prouver que w−w¯ satisfait ´egalement (*).)

5.Rappeler pourquoiu est une fonction continue et en d´eduire en utilisant la question 4.

que u∈C¹([0,1]) puis que u∈C²([0,1]).

6. D´emontrer que le probl`eme (P) admet une unique solution dans C²([0,1]) et que u∈C⁴([0,1]) si f ∈C²([0,1])

7. Prouver que :

||u||_L^∞_(0,1) ≤ ||f||_L^∞_(0,1) .

1

On consid`ere le sch´ema d’approximation num´erique :

−(u_j+1+uj−1−2u_j)

(∆x)² +1 +x²_ju_j =f_j ,

pour 1 ≤ j ≤ N, o`u x_j = j∆x, ∆x = _N+1¹ , u_j est une approximation de u(x_j) et f_j =f(x_j).

8. Montrer que ce sch´ema est consistant et d´eterminer son ordre.

9. Prouver que ce sch´ema s’´ecrit sous la forme : AU =F ,

o`u U = (u_j)_j et F = (f_j)_j, ´evaluer la plus petite valeur propre de A et en d´eduire une estimation de la norme euclidienne standard de U en fonction de celle de F.

10. Montrer que siV ∈IR^N satisfait :

(AV)_j ≤G_j pour 1≤j ≤N , o`uG= (G_j)_j ∈IR^N, alors :

1≤j≤Nmax V_j ≤ max

1≤j≤N G⁺_j , o`uG⁺_j = max(G_j,0) pour 1≤j ≤N.

11. En d´eduire que ||U||∞≤ ||F||∞ et que le sch´ema est convergent si f ∈C²([0,1]) (on admettra que l’on a :

||u||_C⁴_([0,1]) ≤K||f||_C²_([0,1]) pour une certaine constante K >0.)

II. Equation de transport Pour l’´equation de transport :

∂u

∂t +c∂u

∂x = 0 dans IR×(0, T), on consid`ere les sch´emas d’approximation num´erique :

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j +λ

2(uⁿ_j+1−uⁿ_j−1) +µ(∆t,∆x)(uⁿ_j+1+uⁿ_j−1−2uⁿ_j), o`u λ= ∆t

∆x etµ(∆t,∆x) est un param`etre d´ependant du sch´ema choisi.

(i) Donner des conditions surµ(∆t,∆x) pour que ce sch´ema soit consistant et pr´eciser son ordre.

(ii) D´eterminer les conditions de stabilit´e que doivent satisfaire λ etµ(∆t,∆x).

(Indication : on pourra tout exprimer en fonction de θ= sin²(k∆x 2 )) 2