Master 1 de Math´ ematiques

Universit´ e Lille 1 Sciences et Technologies Ann´ ee 2016–2017 – Semestre 2

Master 1 de Math´ ematiques

UE 112916 – M411

Alg` ebre et G´ eom´ etrie

DS1 du 15 mars 2017 – dur´ ee 2 heures

Aucun document ni outil ´electronique n’est autoris´e Le sujet est long et le bar`eme sera adapt´e en cons´equence Le terme repr´esentation sous-entend une repr´esentation lin´eaire

d’un groupe de dimension finie sur le corps de base K

Exercice 1 (6 points) Dans cet exercice,K =C.

1. (2 points) Enum´erer, `a isomorphisme pr`es, toutes les repr´esentations irr´eductibles du groupe altern´e A₄. (Une justification est demand´ee mais peut ˆetre report´ee au point 2.)

2. (2 points) Faire la table des caract`eres pour A₄. On peut utiliser ce r´esultat pour justifier la r´eponse au point 1.

3. (2 points) Calculer la d´ecomposition en irr´eductibles du carr´e tensoriel d’une repr´esentation irr´eductible de A₄ de dimension 3. (Indication.D´ecomposer son ca- ract`ere dans la base orthonorm´ee deZC[A<sub>4</sub>] form´ee des caract`eres des repr´esentations irr´eductibles.)

Exercice 2 (16 points) Dans cet exercice C_n d´esigne un groupe cyclique d’ordre n≥2, de g´en´erateurc, et le corps de base K =F₅ est un corps fini de cardinalit´e 5.

1. (1 point) Montrer que la dimension de toute repr´esentation irr´eductible de C_n est strictement inf´erieure `an.

2. (1 point) Pour quelles valeurs de m, ntoute repr´esentation deCn de dimension m est semi-simple ? Faire r´ef´erence au(x) r´esultat(s) et/ou d´efinition(s) de cours qui permet(tent) de l’affirmer.

3. Soient ρ:C_n →GL_K(V) une repr´esentation deC_n etC =ρ(c). Pour un polynˆome P =X^d+ad−1X^d−1+. . .+a₁X+a₀ ∈K[X], on note

P(C) =C^d+ad−1C^d−1+. . .+a₁C+a₀id_V ∈End_K(V).

On rappelle que le polynˆome unitaire P de plus petit degr´e tel que P(C) = 0 est appel´e polynˆome minimal de C. Le polynˆome minimal de C dans K[X] sera not´e MC, ou M tout court.

(3.a) (1 point) Montrer queρposs`ede un sous-espace stable de dimension ≤degM. (Indication.En n’oubliant pas de justifier les ´etapes, on peut construire un tel sous-espace comme suit : on choisit un vecteur v ∈ V \ {0} quelconque et on consid`ere le sous-espace engendr´e par des vecteurs de la forme Cⁱv pour des valeurs de i∈Nconvenables.)

1

(3.b) (1 point) Montrer que si P ∈ K[X] divise M et si 0 <degP < degM, alors le sous-espace vectoriel W = ker(P(C)) est ρ-stable et {0}$W $V.

(3.c) (1 point) Montrer que siρest irr´eductible, alorsM est irr´eductible dansK[X]

et degM = dimV.

(3.d) (1,5 points) Montrer que si M =P Q et pgcd (P, Q) = 1, alors ρ=ρ^kerP(C)⊕ ρ^kerQ(C). (Indication. On utilisera le th´eor`eme de B´ezout sur l’existence de F, G∈K[X] tels queF P +GQ= pgcd(P, Q), et on montrera que kerP(C) = imQ(C), kerQ(C) = imP(C).)

(3.e) (0,5 points) Montrer que M diviseXⁿ−1 dans K[X].

4. (3 points) Montrer que pour tout polynˆome irr´eductible unitaire P = X^d + ad−1X^d−1 +. . .+a₁X +a₀ ∈ K[X] de degr´e d ≥ 1 qui divise Xⁿ − 1, l’appli- cation Cn →GL(d, K), d´efinie par la formule

∀k ∈ {0, . . . , n−1}, c^k 7→A^k, o`u A=











0 . . . 0 −a₀ 1 . . . 0 −a₁ ... . .. ... ... 0 . . . 1 −ad−1









 ,

est une repr´esentation irr´eductible deC_n, que l’on notera ρ_P dans la suite.

5. (1 point) Supposons que Xⁿ − 1 poss`ede la factorisation en irr´eductibles uni- taires dans K[X] de la forme X<sup>n</sup>−1 =P<sub>1</sub>(X). . . P<sub>k</sub>(X), dans laquelle les facteurs P<sub>1</sub>(X), . . . , P<sub>k</sub>(X) sont distincts. Montrer que les repr´esentations irr´eductibles de C<sub>n</sub>, `a isomorphisme pr`es, sont lesk repr´esentations ρ<sub>P1</sub>, . . . , ρ<sub>Pk</sub> d´efinies comme au point 4 avec P<sub>i</sub> `a la place de P.

6. (1 point) Classifier les repr´esentations irr´eductibles de Cn pour n ∈ {2,3,4,6,8}.

Pour chaque classe d’isomorphisme des repr´esentations irr´eductibles de C_n, donner explicitement une repr´esentation matricielleρ appartenant `a cette classe (indiquer la matrice ρ(c)).

7. On classifiera maintenant les repr´esentations irr´eductibles deC₇.

(7.1) (1 point) Montrer que siC₇ poss`ede une repr´esentation irr´eductible de dimen- sionm >1, alors 7 divise 5^m−1. (Indication.Regarder la partition deK^m\ {0}

en orbites.)

(7.2) (1 point) En ´evaluant les restes de la division de 5^m−1 par 7 pour les valeurs pertinentes de m, montrer que les dimensions des repr´esentations irr´eductibles de C₇ appartiennent `a{1,6}.

(7.3) (1 point) Montrer que le polynˆome X⁶ +X⁵ +X⁴ +X³ +X² +X + 1 est irr´eductible dansK[X] et en d´eduire la liste des repr´esentation irr´eductibles de C₇ `a isomorphisme pr`es.

8. (1 point) Dans le cas n= 5, montrer qu’il existe une et une seule, `a isomorphisme pr`es, repr´esentation irr´eductible de C5. Identifier cette repr´esentation.

2