Ecole Normale Sup´erieure Paris Ann´ee 2013-2014 Alg`ebre 1
Feuille d’exercices 11
Exercice 1 Soit G=S3 et V un C-espace vectoriel poss´edant une base index´ee par les
´
el´ements deG. On consid`ere l’application :
T :G −→ GL(V) g → T(g) o`uT(g)eτ =egτ g−1.
1. Montrer que T est une repr´esentation de G.
2. Soit j une racine 3-i`eme primitive de 1. Soit W le sous-espace de V dont une base est :
α=e(1,2)+je(1,3)+j2e(2,3), β =e(1,2)+j2e(1,3)+je(2,3). Montrer que W est un sous-G-module de V. Est W irr´eductible ?
3. D´eterminer la d´ecomposition deV en sous-espaces irr´eductibles et expliciter l’action deG sur chacun de ces sous-espaces.
Exercice 2 Soit V un C-espace vectoriel, soit G un groupe et (V, ρ) une repr´esentation de G. On suppose qu’il existe v ∈ V tel que {ρ(g)v | g ∈ G} forme une base de V. Montrer que (V, ρ) est isomorphe `a la repr´esentation r´eguli`ere deG.
Exercice 3 Soient Gun groupe fini, H un sous-groupe distingu´e dans G, π:G→G/H la projection canonique et ρ une repr´esentation de G/H.
1. Montrer que ρ◦π est une repr´esentation de G.
2. Montrer que ρ est irr´eductible si et seulement siρ◦π est irr´eductible.
Exercice 4 Soient p un nombre premier et k un corps alg´ebriquement clos de car- act´eristique diff´erente dep. SoitGunp-groupe. Montrer queGposs`ede une repr´esentation non triviale de dimension 1 sur k.
Exercice 5 Soit Gun groupe fini et χun caract`ere deG v´erifiant :
∀g ∈G, g6= 1 ⇒χ(g) = 0.
Montrer que χ est un multiple entier du caract`ere de la repr´esentation r´eguli`ere deG.
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Exercice 6 1. Soit A un groupe fini ab´elien et χ un caract`ere de A sur C. Montrer que
X
a∈A
|χ(a)|2 ≥Card(A)χ(1A).
2. Soit G un groupe fini et A un sous-groupe ab´elien de G d’indice n ≥ 1. Montrer que si χ est un caract`ere irr´eductible de G, on a χ(1A) ≤ n. Que peut-on dire si χ(1A) = 1 ?
Exercice 7 Soient G un groupe fini et φ, ψ deux caract`eres de Gdans C.
1. Montrer que si ψ est de degr´e 1, alors φψ est irr´eductible si et seulement si φ est irr´eductible.
2. Montrer que si ψ est de degr´e strictement sup´erieur `a 1, alors le caract`ere ψψ¯n’est pas irr´eductible.
3. Soit φ un caract`ere irr´eductible de G. On suppose que φ est le seul caract`ere irr´eductible de son degr´e. Montrer que s’il existe un caract`ereψ de degr´e 1 etg ∈G tel que ψ(g)6= 1, alors φ(g) = 0.
Exercice 8 1. Dresser la table des caract`eres deZ/nZ, pour tout entier n≥1.
2. Dresser la table des caract`eres deS3.
Exercice 9 1. En consid´erant la repr´esentation naturelle deS4 sur unC-espace vecto- riel de dimension 4, construire une (sous-)repr´esentation irr´eductible de dimension 3, de caract`ere valant (3,1,0,−1,−1) sur les diff´erentes classes de conjugaisons.
2. Dresser la table des caract`eres deA4.
Exercice 10 Soient p un nombre premier, f ≥ 1 un entier et q = pf. Soit G le groupe {x7→ax+b | a∈F×q, b∈Fq}.
1. D´eterminer la table des caract`eres de Gsur C.
2. D´eterminer les repr´esentations irr´eductibles deG surC.
Exercice 11 Soient Gun groupe fini et X un ensemble fini sur lequel Gagit transitive- ment. Soientρ la repr´esentation de permutation sur C obtenue et χ son caract`ere.
1. Montrer la d´ecomposition ρ= 1⊕θ, o`u θ ne contient pas la repr´esentation triviale 1.
On fait op´erer diagonalement Gsur le produitX×X: g(x, y) = (gx, gy) pour tousg ∈G etx, y ∈X.
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1. Montrer que le caract`ere de la repr´esentation de permutation sur X×X est ´egal `a χ2.
2. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes:
(i) l’action de G surX est doublement transitive;
(ii) on a l’´egalit´e hχ2,1i= 2;
(iii) la repr´esentation θ est irr´eductible.
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