î&Â)RTS Çtriles

(1)

î&Â)RTS Çtriles

Ëxerütp t

I est l'intervalle [0 ; ^1].^On^considère^la^fonction

f

.

3x+2

sur I Daf I{X) ₌

x+4

1. Étudier les variations de f et en déduire que, pour x élément de l, f (x) appartient à l.

2.

On

considère

la

suite

u

définie

par

uo = 0 ur*., _{= f}(ur).

Montrer que, pour tout h, u, appartient à l.

On se propose d'étudier la suite u par deux diflérentes.

Première méthode

3.

a)

Représenter graphiquement

f

dans un orthonormal d'unité graphique 10 cm.

b) ^En^utilisant^legraphique pr,écédent placer les

À,

Âr,Â,êtA, d'ordonnée nulle et d'abscisses tives uo, u1, u2et

t\,

Que ^suggère

le

^graphiqueconcernant

le

^sens

variation de u et sa convergence ?

c;

Établir la relation un+t-un =

(1-u,)(u,+2)

Ltr+ 4 eç déduire le sens de variation de la suite u.

d) Démontrer que la suite u est convergente.

e) Prouver que la limite { de la suite u vérifie 4 = ^f((

calculer {.

\rlta-Lti-Q- d ^

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&\ _-IIr' ₌ ^rÉ+v\-

4,1 lI^ _-- ³ ⁺ Lt)"

e-) JIn : _-3ru+?, nl+a

y-}.rL

u

.rl) -ru.^ ^-- t-l\h

{l

) ^F"r

Deuxième méthode

On considère la suite v définie par v, 4.

a)

^Prouver^que

v

est une suite

ra§on

.2 g.

un- ¹

= ^_--_=.

_un+_z

géométrique

b) Calculer vo et exprimer v, en fonction de n.

c) Exprimer u, en fonction de v,. puis en fonction

d) ^Endéduire la convergence de la suite u et sa

(2)

1.

2.

3.

On considère la suite

(,u,)

définie pour

tout

entier

n

^par^:

I,o:,

Ir,, ^:1fit11-2

Démontrer par récurrence que, pour

tout

entier

n,

0

(

u,r,

{

^4.

Prouver par récurrence que la suite (r.r,,) est croissante.

En déduire que la suite

(u,,)

_converge_etcalculer sa limite

l.

Exercice

4

^:

Soit les deux suites u, et u définies par

Ifi :

2 et uo

:

10 et les relations de récurrence :

Un*l: ^2u,n

*

^tsn

et

l)n+t

:

(5 points)

(6 points)

'tLr,

*

^3un

4

Partie A

On considère l'algorithme suivant ^:

Variables

:

^'n^et

k

sont des entiers 'tl,u et ?, sont des ^réels lnitialisation

: ^k

prend la valeur 0

u

prend la valeur ²

u

prend la valeur ¹⁰ Saisir la valeur de

n

Traitement: ^Tantque ^k ^<nFaire k

prend la valeur de k

+

¹

'u

prend la valeur de

z

T^r prend la valeur

d" a#

'u prend la valeur

d" *

Fin Tant ^que

Sortie

:

^Afficher^lesvaleurs de

u el

tt

On exécute cet algorithme ^ensaisissant

'n.:3.

^Recopieret compléter ^letableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de ^l'a ithme.

Partie B

L.

Prouver que la suite u

-'tt,

est une suite géométrique de raison

q: _h

2.

En déduire que

u, {

^{un, poul'}

^tout

^entierⁿ^'

3.

Montrer que la suite (t.1,) est croissante, et que la suitd

(u,)

est décroissante.

4. a.

Prouver que pour

tout entieln,'un {

⁷⁰^et

^un)

^2.

b.

En déduire que les suites (u"*)

et (t,)

convergent vers la même limite.

5.Montrerquelasuite(f,)définiepourtoutentiernpart,n:3u,n*4u,-estconstante, 6.

Calculer la limite commune aux suites

(u,) et (u.)

:,e.

(3)

O,n q- _§

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(7)

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