MPSI B 2011-2012 DS 4 29 juin 2019

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Dans l'évaluation de votre copie, une attention particulière sera portée à la rédaction.

Vous devez veiller en particulier à écrire les quanticateurs dans le bon ordre, à citer avec précision les théorèmes de cours ainsi qu'à utiliser correctement les accolades dénissant les ensembles.

Problème.

Et si j'en achète plusieurs ? Combien pour chaque ?

I. Suites sous-additives

On dira qu'une suite (u n ) _n∈

N de nombres réels est sous-additive ¹ si et seulement si :

∀(m, n) ∈ N ² : u m+n ≤ u m + u n

1. Quel est le rapport entre les suites sous-additives et la phrase citée au début de l'énoncé ?

2. Montrer que l'ensemble des valeurs d'une suite qui converge ou qui diverge vers +∞

est minoré.

3. Soit (a _n ) _n∈

N une suite sous additive. On note A = n a _n

n , n ∈ N ^∗ o

a. Soit n , q , r trois éléments de N, montrer que a _qn+r ≤ qa _n + a _r .

b. Soit N ∈ N ^∗ xé. Pour tout n ∈ N, notons q _n le quotient de la division entière de n par N . Justier la convergence des suites

max(a ₀ , a ₁ , · · · , a _N ) n

n∈ N

,

q _n N n

n∈ N

et préciser les limites.

c. On suppose que A n'est pas minoré.

Montrer que, pour tout réel E , il existe un entier n E tel que a n

n E

< E − 1

Montrer que ^a _n

n∈ N

diverge vers −∞ .

1

D'après Problems and Theorems in Analysis. Pólya Szeg® Chapt 3 n 98-99

d. (lemme de Feteke) On suppose que A est minoré, on note α sa borne inférieure.

Montrer que, pour tout ε > 0 , il existe un entier n ε tel que a _n

n ε

< α + ε 2 Montrer que ^a _n

n∈N

converge vers α . 4. Soit (a n ) _n∈

N une suite de nombres réels strictement positifs telle que

∀(m, n) ∈ N ² , a m+n ≤ a m a n

Montrer que a

1

n

n∈N est convergente. Préciser sa limite.

II. Pentes de A'Campo

Pour toute fonction λ de N dans N, on dénit une fonction d λ de N ² dans Z par :

∀(m, n) ∈ N ² , d λ (m, n) = λ(m + n) − λ(m) − λ(n)

On appelle pente ² toute fonction λ de N dans N telle que l'ensemble D(λ) = d λ ( N ² ) des images par d λ soit ni.

1. Montrer qu'une fonction λ de N dans N est une pente si et seulement si d λ est une fonction bornée.

2. Soit j ∈ N, on dénit une fonction j de N dans N par j(n) = jn pour tout n de N.

Montrer que j est une pente. Que vaut D(j) ?

3. Pour tout réel y > 0 , on dénit de manière unique dye ∈ N par dye − 1 < y ≤ dye . Pour tout réel x > 0 , on dénit la fonction x de N dans N par :

∀n ∈ N , x(n) = dnxe

Montrer que D(x) est inclus dans un ensemble ni très simple à préciser. En déduire que x est une pente et que (x(n)) _n∈

N est sous-additive.

4. On dénit la fonction ρ de N dans N par :

∀n ∈ N , ρ(n) = min

k ∈ N tq 2n ² ≤ k ² Montrer que ρ est une pente.

2

d'après A natural construction for the real numbers A'Campo

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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5. On dénit la fonction polynomiale p dans R par p(x) = x ⁵ + x − 3 et la fonction α de N dans N par

∀n ∈ N , α(n) = min

k ∈ N tq p( k n ) ≥ 0

Montrer que α est une pente.

III. Opérations et limites

1. Soit (u n ) _n∈

N une suite de nombres réels pour laquelle il existe des réels A et B tels que

∀(m, n) ∈ N ² : A ≤ u m+n − u m − u n ≤ B On note

U = n u n

n , n ∈ N ^∗ o

U ₋ =

− A + u n

n , n ∈ N ^∗

U + =

B + u n

n , n ∈ N ^∗

a. Montrer que les suites (B + u n ) _n∈

N et (−A − u n ) _n∈

N sont sous-additives.

b. Montrer que U ₊ est minoré. On note u = inf U ₊ . c. Montrer que ^u _n

n∈ N

converge vers u . 2. Soient λ une pente.

a. Montrer que _λ(n)

n

n∈ N

converge. On note l(λ) sa limite.

b. Montrer que l(λ) ≥ 0 , montrer que si l(λ) > 0 alors (λ(n)) _n∈N diverge vers +∞ . 3. Soient λ et µ deux pentes. Montrer que λ + µ est une pente. Préciser l(λ + µ) . 4. Soient λ et µ deux pentes.

a. Pour (m, n) ∈ N ² , exprimer d _λ◦µ (m, n) à l'aide de trois termes : chacun étant une image par d _λ ou une image par λ .

En déduire que λ ◦ µ est une pente.

b. Préciser l(λ ◦ µ) .

Exercice 1.

1. Soit k ∈ {0, . . . , 16} et ϕ k le nombre d'éléments de

E k = {(i, j) ∈ {0, . . . , 8} ² , i + j = k}

Calculer ϕ ₀ , ϕ ₁ , . . . , ϕ ₁₆ .

2. En utilisant l'expression de

a = 111 111 111

comme somme de puissances de 10, trouver sans utiliser de machine l'écriture décimale de a ² .

Exercice 2.

Soient k , m , n trois entiers naturels non nuls avec k ≤ m et k ≤ n . On note m ^k le produit de k entiers consécutifs décroissants à partir de m

m ^k = m(m − 1) · · ·

| {z }

k facteurs

= m(m − 1) · · · (m − k + 1)

On dira que m ^k est une puissance descendante de m . On note

n k

le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments en k parties non vides.

Par exemple 3

2

= 3 car les partitions de {a, b, c} en deux parties non vides sont {{a, b}, {c}} , {{b, c}, {a}} , {{c, a}, {b}}

1. En précisant dans chaque cas l'ensemble des partitions à considérer, calculer 4

1

, 4

2

, 4

3

, 4

4

2. Soit A et X deux ensembles, respectivement de cardinal n et m , soit k entier entre 1 et min(m, n) . On note

Π k : l'ensemble des partitions de A en k parties non vides.

F k : l'ensemble des fonctions de A dans X telles que ](f(A)) = k . a. Soit f ∈ F k et f (A) = {y 1 , y ₂ , · · · , y _k } . On note

π(f ) =

f ⁻¹ ({y i }), i ∈ {1, · · · , k}

Montrer que π(f) ∈ Π _k c'est à dire une partition de A en k parties non vides.

b. Soit f ∈ F k . Quel est le cardinal de l'ensemble des g ∈ F k telles que π(g) = π(f) ? 3. Montrer que

m ⁿ =

min(m,n)

X

k=1

n k

m ^k

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