ECE2 TD n ◦ 7 : Compl´ ements sur l’´ etude de fonctions r´ eelles
Exercice 1. Calculs de limites
D´eterminer la limite des fonctions suivantes au point demand´e : 1. |x2−x|
x−1 en 1.
2. e2x−3ex+6+ 12
ex/2 en +∞.
3. 1−x
1−ln(x) en +∞.
4. (ln(x))ln(x) en 1+. 5. x2−1
x2−2x+ 1 en 1.
6. √ xln
x2 1 +x
en 0+.
7. x4e2x en−∞.
8. √
x+ 1−√
x−1 en +∞.
9. ln(x)
x en 0+.
10. (x−1) ln 1−x2
en 1−. 11.
√
x2+ 1−√ 2
x−1 en 1.
12. 1−x12
1−1x en 0.
13. 1 x
√x+ 1−x−1
en +∞.
14. ln(x+ 1)−x en +∞.
Exercice 2. Fonctions d´efinies par intervalles
1. ´Etudier la continuit´e des fonctions suivantes au point demand´e : (a) f(x) =
( x2+ 5 six≤2
1 +x3 six >2 (en 2). (b) f(x) =
( e(x+1)/2 six <−1
√x+ 2 six≥ −1 (en−1).
2. Ces fonctions sont-elles d´erivables sur leur domaine de d´efinition ? Exercice 3. Calculs de limites `a l’aide des ´equivalents
D´eterminer la limite des fonctions suivantes au point demand´e : 1. xln
1 + 1
x
en +∞.
2.
√1 +x−1
e2x−1 en 0.
3. ln 2−x2
x−1 en 1.
4. xn−1
x−1 en 1.
Exercice 4. Calcul d’une limite 1. Soitt >0. D´eterminer la limite de
t1/x+ 1 2
x
lorsquex→+∞.
2. Soientα >0 etβ >0. D´eterminer la limite de
α1/x+β1/x 2
x
lorsquex→+∞.
Exercice 5. D´etermination d’´equivalents simples
Trouver un ´equivalent simple de chacune des fonctions suivantes : 1. f(x) = 5x5+ 2x3−4x2 au voisinage de−∞, +∞, 0 et 1.
2. f(x) = ln (ex−1) au voisinage de +∞, ln(2) et 0+. 3. f(x) = 1
x− 1
x2 +x+ ln(x) au voisinage de +∞, 1 et 0+. Exercice 6. ´Etude locale au voisinage de 0
1. ´Etudier la continuit´e en 0 des fonctions suivantes :
(a) f(x) =
ex−1
xx−1 six∈]0,1[
0 six= 0
(b) f(x) =
ln 1 +e1/x
e1/x six∈R∗
0 six= 0
2. Ces fonctions sont-elles d´erivables en 0 ?
1
Exercice 7. ´Etude locale au voisinage de 1 On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]0,+∞[ par :
f(x) = xlnx
x2−1 six∈]0,1[∪]1,+∞[
f(1) = 1/2 1. D´eterminer le d´eveloppement limit´e dex7→lnx`a l’ordre 2 en 1.
2. En d´eduire quef est continue et d´erivable en 1.
3. f est-elle prolongeable par continuit´e en 0 ? Le cas ´ech´eant, ce prolongement est-il d´erivable en 0 ? Exercice 8. ´Etude compl`ete d’une fonction (Edhec 2009)
On consid`ere la fonction f d´efinie comme suit :
f(x) = −x
(1−x) ln(1−x) six∈]− ∞,0[∪]0,1[
f(0) = 1 1. Montrer quef est continue sur ]− ∞,1[.
2. (a) D´eterminer le d´eveloppement limit´e de ln(1−x) `a l’ordre 2 lorsquexest au voisinage de 0.
(b) En d´eduire quef est d´erivable en 0, puis v´erifier quef0(0) = 1/2.
3. (a) Montrer quef est d´erivable sur ]− ∞,0[ et sur ]0,1[, puis calculerf0(x) pour tout r´eelxde ]− ∞,0[∪]0,1[.
(b) D´eterminer le signe de la quantit´e ln(1−x) +x, lorsquexappartient `a ]− ∞,1[, puis en d´eduire les variations def.
(c) D´eterminer les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition, puis dresser son tableau de variation.
4. (a) ´Etablir que, pour tout ndeN∗, il existe un seul r´eel de [0,1[, not´eun, tel quef(un) =net donner la valeur de u1.
(b) Montrer que :
∀n≥3, 1−1
n ≤un≤1 (c) Montrer que la suite (un) converge et que lim
n→+∞un= 1.
Exercice 9. Utilisation des d´eveloppements limit´es pour trouver des asymptotes obliques Soitf la fonction d´efinie par :
f(x) =x 2 −
√x2−1 x On noteCf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.
2. `A l’aide du d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en 0 de√
1 +t, montrer que Cf admet des asymptotes obliques au voisinage de +∞et de−∞et ´etudier la position locale deCf par rapport `a ses asymptotes.
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