Chapitre 1
Dérivation
A Rappels
Le nombre dérivéf0(a)est le coecient directeur de la tangente à la courbe def au point d'abscissea. Dessin
Proposition Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. Sif0(x)est positive surI, alorsf est croissante surI; Sif0(x)est négative surI, alorsf est décroissante surI; Sif0(x)est nulle surI, alorsf est constante surI.
Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée def s'annule en changeant de signe, alors la fonction admet un extremum.
Deux tableaux de variation
→Exercices QCM 38,39p26, 41,42p26
B Dérivée d'une composée
Activité 2p11
Proposition Soituetgdeux fonctions dérivables telles que leur composéeg◦uexiste sur un intervalle I. Alorsg◦uest dérivable surIet :
(g◦u)0(x) =u0(x)×g0(u(x))
Exemple Soitf(x) =√
2x+ 5. On peut écrire f =g◦uavecg(x) =√
xetu(x) = 2x+ 5.f est dénie sur[−5
2; +∞[et dérivable sur]−5
2; +∞[(la racine carrée n'étant pas dérivable en 0).g0(x) = 1 2√
x et u0(x) = 2. Alors
f0(x) =u0(x)×g0(u(x)) = 2×g0(2x+ 5) = 2× 1 2√
2x+ 5 = 1
√2x+ 5
1
2 CHAPITRE 1. DÉRIVATION Proposition Les formules de dérivation suivantes proviennent de la propriété précédente :
(un)0=n×u0×un−1
1
u 0
=−u0 u2 (√
u)0 = u0 2√ u
1
un 0
=− u0 un+1
Exemple Soit f(x) = (3x2 + 2)5. On pose u(x) = 3x2+ 2. On a alors f = u5. u0(x) = 6x, dont f0(x) = 5×u0(x)×u(x)5−1= 5×(6x)×(3x2+ 2)4= 30x(3x2+ 2)4.
→Exercices 63,64p30
Proposition Soitget udeux fonctions monotones qui se composent eng◦u. Sig etuont le même sens de variation, alorsg◦uest croissante.
Sig etuont des sens de variation opposés, alorsg◦uest décroissante.
→Exercices 59p29
