STE 3 2013/2014 - Examen MdF n°1

STE 3 2013/2014 - Examen MdF n°1

1 Double pesée

La double pesée permet de déterminer en deux opérations la masse d'un corps et sa masse volumique.

Dans un premier temps, on pèse le corps dans les conditions habituelles (dans l'atmosphère ambiante), ce qui donne une massem(Figure 1, gauche). Dans un deuxième temps, on le pèse en l'immergeant dans l'eau, ce qui donne une masse apparente m1(Figure 1, droite).

Fig. 1: Principe de la double pesée.

Le chroniqueur romain Vitruve rapporte qu'Archimède aida le roi de Syracuse à prouver l'escroquerie d'un bijoutier. Le roi soupçonnait le bijoutier de n'avoir pas réalisé sa couronne en or massif, mais en alliage d'or et d'argent. Archimède pesa la couronne dans l'air et obtint une massem=1040 g. Il la pesa ensuite dans l'eau et obtint une masse apparentem₁=973 g. Quel était le pourcentage volumique d'or et d'argent contenus dans la couronne ?

N.B. On fera l'hypothèse que l'inuence de la masse volumique de l'air peut être négligée dans le processus de pesée.

Symbole Signication Valeur numérique

ρe Masse volumique de l'eau 10³kg.m⁻³ ρAg Masse volumique de l'Argent 10,5×10³kg.m⁻³ ρAu Masse volumique de l'Or 19,3×10³kg.m⁻³

Tab. 1: Données du problème 1.

2 Champ et force de pression

On considère une porte d'écluse rectangulaire de largeur L. Les profondeurs de l'eau en amont et en aval de l'écluse sont notées respectivement h1 et h2 (Figure 2a). L'eau étant chargée en sédiments, sa masse volumique n'est pas constante avec l'altitude. Elle est égale à ρe (masse volumique de l'eau douce) en surface et à ρf au fond. On suppose que la masse volumique évolue linéairement en fonction de l'altitude (Figure 2b pour le côté amont de la porte, Figure 2c pour le côté aval).

Fig. 2: Porte d'écluse. (a) : vue de prol. (b) : prol de masse volumique du côté amont de la porte. (c) : prol de masse volumique du côté aval.

1

3 Champ de vitesse et calculs de débits 2

1. Donner l'expression de la masse volumiqueρ₁(z)du côté amont de la porte. Même question pour le prol de masse volumiqueρ₂(z)du côté aval.

2. En déduire l'expression des prols de pressionp₁(z)et p₂(z) des côtés amont et aval de la porte.

On conseille de donner la pression en référence à la pression atmosphérique.

3. Donner l'expression de la force de poussée totale sur la porte d'écluse.

4. Faire l'application numérique pour les données du Tableau 2. Préciser en particulier les points suivants :

(a) la pression au fond de chacun des deux côtés de la porte, (b) la force de pression totale sur chaque face de la porte,

(c) la force de pression totale.

5. Quelle aurait été l'erreur commise sur le calcul de la force de pression si, pour simplier le calcul, on avait supposé une masse volumique uniforme, égale àρe, sur toute la profondeur ?

Symbole Signication Valeur numérique

g Accélération de la pesanteur 9,81 m.s⁻²

h1 Profondeur d'eau du côté amont de la porte 5 m h2 Profondeur d'eau du côté aval de la porte 3 m

L Largeur de la porte 5 m

ρ_e Masse volumique de l'eau douce 10³kg.m⁻³ ρ_f Masse volumique au niveau du fond du canal 1,5×10³kg.m⁻³

Tab. 2: Données du problème 1.

3 Champ de vitesse et calculs de débits

Un liquide (supposé incompressible) de masse volumiqueρconnue s'écoule entre deux parois parallèles.

On note L la distance entre les deux parois (Figure 3). On fait l'hypothèse que la vitesse est parallèle à l'axe desxen tout point du uide et qu'elle dépend uniquement de l'altitudez(l'origine dezest prise à mi-distance entre les deux plaques). Le prol de vitesse est parabolique, d'équation :

−

→u =



 u 0 0



, u=

"

1− 2z

L 2#

u_max (1)

oùu_maxest la vitesse maximale, obtenue àz= 0, c'est-à-dire à mi-distance des deux plaques (Figure 3).

On notel la largeur des plaques dans la direction orthogonale à la gure.

Fig. 3: Champ de vitesse entre deux plaques planes.

1. Donner l'expression du débit volumique circulant entre les plaques en fonction deL,l etu_max. 2. Donner l'expression du débit de quantité de mouvement en fonction deL,l ,u_max etρ.

3. Donner l'expression de la vitesse moyenne entre les deux plaques (par dénition, la vitesse moyenne est le débit divisé par la section de passage).

4. Application numérique :L= 5 cm,l= 10 cm,u_max= 1 m.s⁻¹,ρ= 10³kg.m⁻³.