STE 3 2013/2014 - Examen MdF n°2
Durée : 1h30 (4 fois le temps mis par l'enseignant pour répondre aux questions).
Documents : aide-mémoire recto-verso à rendre en n de séance.
Barème : Deux points serviront à noter la qualité de la copie et de l'aide-mémoire.
Question Points Question Points Question Points
1.1 0,5 2.1 1 3.1 0,5
1.2 0,5 2.2a 1 3.2 1
1.3 3 2.2b 1 3.3 0,5
1.4 3,5 TOTAL 3 3.4 0,5
1.5 3 3.5 2
TOTAL 10,5 TOTAL 4,5
1 Hydroéjecteur
Un hydroéjecteur est un dispositif de pompage sans pièce mobile (Figure 1) utilisant l'eet Venturi. Une pompe délivre à l'entrée (point A) un débit d'injectionQAà une pressionpA. Au niveau du col (point C), la pression baisse, ce qui permet d'aspirer l'eau à partir du point D par une conduite latérale branchée directement sur le col. Le débit total est éjecté à la sortie du dispositif, en B.
Fig. 1: Hydroéjecteur. Schéma de principe.
On souhaite analyser le comportement du dispositif et estimer ses performances. On fait pour cela les hypothèses suivantes :
l'éjection (point B) et l'aspiration latérale (point D) sont à la pression atmosphérique (on conseille de prendre patm comme pression de référence dans la suite des calculs) ; le liquide injecté en A et le liquide aspiré en D sont les mêmes (par exemple de l'eau),
leur masse volumique est identique et constante ; le régime est permanent ;
dans chacune des sections A, B et C du Venturi, ainsi que dans la section d'aspiration en D, la vitesse est uniforme ;
la forme du dispositif a été optimisée de manière à ce que les pertes de charge soient négligeables ;
on suppose queSB> SD.
On note g l'acclération de la pesanteur, SA, SB, SC et SD les sections à l'injection, à la sortie, dans le col et dans la conduite d'aspiration,ρla masse volumique du uide et∆zla diérence d'altitude entre le plan d'eau où l'on pompe (point D) et l'axe du Venturi (points A, B et C).
1. Ecrire la relation liant les débitsQA,QB etQD (QD étant le débit aspiré en D etQB étant le débit éjecté en B).
1
Symbole Signication Valeur numérique
g Accélération de la pesanteur 9,81 m.s−2
QA Débit injecté en A 10 L.s−1
SA,SB Sections du Venturi en A et B 10−2m2 SD Section de la conduite d'aspiration 5.10−3m2
∆z Cote du Venturi au-dessus de la surface libre 2 m
ρ Masse volumique de l'eau 103kg.m−3
Tab. 1: Paramètres du problème.
2. Quelle est la pression maximale qui doit régner en C pour que le dispositif puisse eectivement aspirer de l'eau par la canalisation [DC] ?
3. En déduire une condition sur la valeur maximale admissible deSAen fonction de∆z, pA,SCet d'un certain nombre d'autres paramètres du problème.
4. En postulant la conservation de l'énergie sur la ligne de courant [DB], montrer que le débit pompéQDobéit à une équation du second degré, dont vous donnerez la solution.
5. Application numérique : pour les paramètres du Tableau 1, donner les valeurs numé- riques :
(a) du débit aspiréQD et du débit total éjectéQB, (b) de la pression en A,
(c) de la valeur maximale à donner à la sectionSCpour que l'aspiration puisse avoir lieu.
2 Champ d'écoulement
On considère un écoulement uide incompressible, dont le champ des vitesses est donné par :
−
→u =
az
0 0
(1)
oùaest une constante par rapport à l'espace et au temps.
1. Cet écoulement est-il compatible avec un modèle de uide Newtonien (justier votre réponse) ?
2. Si oui, donner les expressions
(a) de la pression en fonction de x, y, z;
(b) des composantes du tenseur des contraintes en fonction dex, y, z. Rappel : les équations de Navier-Stokes s'écrivent ∂u∂ti +P
juj∂u∂xi
j =−1ρ∂x∂p
i +ν∆ui−gδi3 car, pour un uide Newtonien incompressible,σij =−pδij+µ
∂ui
∂xj +∂u∂xj
i
.
3 Liquide dans une cuve en rotation
On place un liquide dans une cuve circulaire que l'on fait tourner autour de son axe à une vitesse de rotation angulaireω constante (Figure 2a). Lorsque le régime permanent est attient, la surface libre du liquide est incurvée, plus haute vers les bords qu'au centre de la cuve. Pour étudier le problème, on se place dans un système de coordonnées cylindriques (Figure 2b) en rotation à la même vitesse que la cuve. Dans ce système de coordonnées, le liquide est immobile.
On note −→n et −→τ les vecteurs unitaires normal et tangent à la surface libre du liquide, hc la profondeur du liquide au centre de la cuve et R le rayon de la cuve (Figure 2c). On rappelle les opérateurs diérentiels gradient et divergence en coordonnées cylindriques :
2
−−−→Gradf =∂f
∂r
−
→er+1 r
∂f
∂θ
−
→eθ+∂f
∂z
−
→ez (2)
Div−→v = 1 r
∂
∂r(rvr) +1 r
∂f
∂θ
−
→eθ+∂vz
∂z (3)
Fig. 2: Liquide dans une cuve en rotation. (a) vue en perspective. (b) vue en coupe et nota- tion.
1. Donner les composantes, dans le système de coordonnées(r, z)en rotation à la même vitesse que la cuve, du vecteur accélération de la pesanteur apparent−→
G (c'est-à-dire l'accélération de la pesanteur ressentie par un observateur immobile par rapport à la cuve). On rappelle que la norme de la force centrifuge exercée sur un objet de masse mest mω2r.
2. En utilisant des considérations de statique des uides, montrer qu'il existe une relation simple entre −→
G et −→τ (on remarquera que la surface libre est caractérisée par une pression constante, égale à la pression atmosphérique).
3. Un déplacement innitésimal le long de la surface libre a pour composantes −→
dM = dr
dh
. En utilisant la relation démontrée au 2), montrer que la surface libre obéit à l'équation diérentielle
dh dr =ω2r
g (4)
4. En déduire l'expression deh(r)en fonction deg, hC, ω.
5. Avant de mettre la cuve en rotation, on la remplit d'eau à une hauteurh0. (a) ExprimerhCen fonction deh0 et des autres paramètres du problème.
(b) Quelle est la valeur limite deω pour laquelle on assèche le fond de la cuve (hC= 0) ?
3
