Sur les permutations avec répétition

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

R ^ENÉ L ^AGRANGE

Sur les permutations avec répétition

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 79, n^o1 (1962), p. 23-70

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3^e série, t. 79, 1962, p. 23 à 70.

SUR LES PERMUTATIONS

AVEC RÉPÉTITION.

PAR M. RENÉ LAGRANGE.

INTRODUCTION

Les permutations avec répétition de n objets, soit a objets a, ^ objets b, . . ., X objets /, sont les groupements distincts de ces n objets, alignés dans un sens donné. Nous désignerons leur nombre par la parenthèse

^ i

(a, (3, . . . . /):==——^———.-,.

On peut supposer, par exemple, qu'il s'agit de segments de droite^ de couleurs différentes, soit a de couleur a, ? de couleur b, etc,, avec lesquels on construit une ligne brisée coloriée, orientée.

Si l'on fait abstraction de l'orientation, on considère comme équivalentes deux lignes brisées dont les côtés présentent la même suite de couleurs lorsqu'on les parcourt dans des sens convenables. Le nombre des permutations distinctes est inférieur au nombre précédent, et nous le désignerons par D ( a , P , . . . , X ) .

Ceci suppose qu'on construit des lignes brisées ouvertes. Mais si l'on fait des polygones, deux tels polygones coloriés sont considérés comme équivalents s'ils fournissent la même suite de couleurs lorsqu'on les parcourt dans des sens convenables, à partir de sommets convenables. Le nombre des permutations est encore réduit, et nous le désignerons par P(a, p, . . ., X).

L'objet de cet article est la détermination de D(a, [i, . . ., X), ainsi que des nombres P(a, (î) lorsque, pour ces derniers, l'un des deux arguments est inférieur à 7, car la recherche de l'expression de P(a, p, . . ., À) devient vite très difficile.

Observons qu'avec des segments de même longueur /, ( a , ? , . . . , A ) représente le nombre des vecteurs coloriés de la droite, de longueur ni, non

équipollents, que permettent de construire ces n segments. D(a, p, . . ., A) est le nombre des segments coloriés du plan, de longueur ni, non superpo- sables par déplacement, et P(a, [3, . . . , X ) est le nombre des polygones convexes, réguliers, coloriés, non superposables par déplacement, ayant n côtés de longueur /.

Avant d'aborder cette étude, énonçons quelques identités concernant les permutations orientées :

(!) (a!. ^ . . . , a,0== ^ (ai-£i, a,-.,, . . . , a,-£„),

£i-f-£2-+-.. .-+-£,(=1

où les £/ sont des symboles ne prenant que les valeurs o ou i. (I) est bien connu, et traduit la décomposition de l'ensemble des permutations en les sous- ensembles formés par celles qui ont un même premier élément.

a

(H) ^(s, r,, r^ . . ., ^)=(ri, r.,, . . . , r^) (a, r, +/',-)-... 4- /^ -4-- i ).

S = 0

(II) se ramène tout de suite à la forme particulière où p= i

a

^(s, r ) = = ( a , r + i ) ;

celle-ci est évidente pour r=o ou a = o ; elle se démontre alors par récurrence, portant sur a et sur r, à l'aide de (I) qui donne

a a a a a - 1

^ ( ^ r)=^(s, r - i ) 4 - ^ ( . ^ - i , r ) = ^ ( ^ ,.-i)+^(,', r).

a

(m) ^('ç' r^ r-^ • • ^ ^ K ^ ^ — - ^ ^^ ^^ • • •. ^/)

== (n, /^, . . ., rp)(r\, r\, . . ., r^)(a, /•i +. . .4-r/,4-- ^ +- ...-+• /^ + i ).

(III) se ramène tout de suite à la forme où p=q=i, soit

a

^(•^ ^ ) ( a — 5 , r!) = ( Œ , / • - 4 - / ^ + i ) ;

celle-ci est évidente pour a = o , ou si r ou r ' est n u l ; elle se démontre aisément par récurrence portant sur a et r, à l'aide de (I).

a»

(I v) ^ ( / > ç 1 5 ^ • • '7 lç/" rn • • •1 ^ ^ ( ^ — ^ r • • • • > ^n—Srn r\, . . . , ^) Si=o

i-=i,2,..,n

==(r.^ r^ . . ., ^ ) ( r , , r^ . . ., ^ ) ( a i , a.^, . . ., a^, n -4-. . +/>-+-^i-4-. . .-^+i).

II n'y a qu'à appliquer (III) aux différentes sommes relatives aux s,, ou, plus simplement, à l'utiliser pour la somme relative à s,^ en admettant sa validité pour n — i arguments s/.

( V ) ^ (ri, a-i— r i ) ( r ^ a.^— r^) . . . (/^ a,,— r,,)==(p, ai 4- a.^+. . .4-a^—/?).

/'1-+-/'2+. ..-+-f;t=p

Ce n'est rien d'autre que la formule classique relative aux coefficients du développement du binôme, obtenue en écrivant que la puissance d'ordre

^-i + a^ +. . . + a,, est le produit des puissances d'ordres a^, 03, . . ., a,,.

/?- a ^ — i

( V I ) V V (r.i, . . . a_i, a^-— i , r^i, . . ., /•„)

i=\,2,1... n;i /• ^~

x ( a i — r i , . . ., a / , _ i — a . _ , , a/:4_i — r^.i, . . ., a / , — r / , ) = ( a , , as, . . . , a / , ) .

C'est une évidence pour n=ï. Admettons sa validité pour moins de n arguments. Grâce à (I),

(ai — r i , . . . , a^_i — /^_i, a^-i — r^i, . . . . a,,— r,,)

7?,

= Y ( a i — /•i, . . ., a / — i — r/, . . ., a,,— /•„).

/ / - k/=i

Dans la somme multiple, l'ensemble des termes pour lesquels / a une même valeur, par exemple / = i , donne

n o ^ — l

^ , ^, ( n ^ • • - 7 rk-\, a^— i , r^i, . . . . r/,)

<==1,'2, ...,n;i /-- k

X ( ai — i — ri, a^ — r.^ . . ., a^-_i — /\._i, a^.+i — r^+i, . . ., a/, — r/J ;

la somme relative à ï\, effectuée à l'aide de (III), réduit ceci à

//. 0 ^ — 1

V, ^ (r-,, . . . , r/:_i, a ^ — i , ^+1, . . ., r/,)

À-==2 ^==0

< = = 2 , 3 , . . . , r t ; Z A X :

X (a.^— r.^ . . ., a^-_i — r^_i, 0^4-1— 7^4 i î • • • •> ^n— ^ ) ( a i — i , a.^ + a:,-4-. . .4- a/,),

et ensuite, grâce à (VI) elle-même, valable pour n—i arguments, à

(a.^, a:., . . ., a / , ) ( a . i — i , a.2+ a;;-+-. . .4- a / , ) = = ( a i — i , a.^ a;;, . . ., a/,).

La somme complète est ainsi grâce à (I),

n

V ( a j , . . ., a/_i, a / — i , a/_,.i, . . ., a,,)==(ai, a.^ . . ., a^).

/==!

C. Q. F. D.

Ann. Éc. Norm., (3), LXXIX. - FASC. 1. . 4

CHAPITRE I.

PERMUTATIONS RECTILÏGNES NON ORIENTÉES.

1. Sur la droite non orientée, un segment colorié, formé par n segments de même longueur /, ne peut-être égal à un autre segment analogue de longueur ni que d'une seule façon, si les deux côtés (l) extrêmes n'ont pas la même couleur. Le nombre des segments distincts de cette catégorie est donc le même que celui des segments orientés de n—2 côtés, construits avec les couleurs restantes; ainsi, ceux dont les deux couleurs extrêmes sont a et b sont au nombre de ( a — i , ? — i , y, . . ., À), en conservant les notations de l'introduction. Le nombre total des segments analogues est donc

^ (a - £ , p - ^ y - £ \ . . . ) ,

où £, &^ z^, . . . sont des symboles ne prenant que les valeurs o ou i. Les autres segments de l'ensemble ont leurs côtés extrêmes de même couleur;

pour eux^ la loi d'équivalence est la même que pour les segments obtenus par amputation des deux côtés extrêmes, tout au moins dans chaque sous- ensemble où la couleur extrême est la même. Ainsi, le nombre de ceux dont les deux côtés extrêmes ont la couleur a est D ( a — 2 , p, . . ., X), et, pour leur ensemble, le nombre de ces segments est

^ D ( a - 2 £ , p - 2 £ ^ Y - 2 3 ^ . . . ) . c + £ ' + . . .== 1

Nous avons ainsi établi la loi de récurrence

(1) D ( a , ^ y , . . . ) = ^ ( a - ^ - . ^ y - ^ . . . )

c -4- £'+... -=-î

4- ^ D ( a - a ï , | 3 - 2 £ ' , ' , - - 3 ï " , . . . ) .

£ - + - £ ' + . . .=1

2. CALCUL DE D(a, p). — Ici, ( i ) s'écrit

( 2 ) D ( a , ( 3 ) = ( a - i , P - i ) -4- D ( a - 2, P ) + D ( a , ( 3 - 2 ) .

Une première itération donne tout de suite

j

D(a,(3)=^ ^ ( a - i - a r , P - i - 3 , s - ) + ^ (/•, s) D(a - a/-, ,6 - î.s),

/?=:() r-\-s~=ip r-[-s—i'î.

(¹) II sera commode cTappeler « côtés » les segments de longueurs /, comme pour une ligne brisée de n côtés.

où r, s sont des entiers naturels. On en déduit, par récurrence, la relation générale

///

( " > ) D ( ^ P ) = ^ ^ ( / • , . s ' ) ( a - 1 - 2 ^ ,3-1-2.9)

^ = 0 /•4-.s'=//

4- ^ (/•, , î ) D ( a — 2/-, ^ — 2s).

/ • 4 - . ' » = = / ^ - t - l

Admettons sa validité pour la valeur m. Grâce à (2), la dernière somme se décompose en

^ ( / • , , s - ) ( a - i — 2 r , i 3 — i — 2.î)

/•-+-,s" =///, 4- J

+ S ^ ( / • , < ) D ( a - 2 î - 2 / - , ,3-•2.'-2,<).

/• 4- .V == m + 1 £ 4- £' =: l

Les nombres i\ ==/•+ £, ^i=.v+ ^ ont la somme r i + ^ i = = / ^ + ^ et le coefficient du terme D(a — 2^1, [î — 2.yi) est

^ ( r i — s, .yi— £/) = ( ^ , .s-i).

£ + £ ' = ' 1

(3) est ainsi étendue à la valeur m + i.

(3) permet de calculer D(a, ^\ à partir des relations évidentes

^ D ( a , i 3 ) = D ( P , a ) ,

( 4 ) { D ( a , o ) = i .

3. On peut poursuivre l'itération tant que le terme D ( a — 2 r , [ J — 2 . s ) à développer par (2) n'a pas d'argument nul, tandis qu'un terme D ( a — 2 r , o), où a — 2 r ^ > o , est remplacé par i. Cette dernière circonstance est impossible lorsque a et [3 sont impairs; mais alors la seconde somme dans (3) disparaît dès que m est assez grand, ce qui donne, avec a = 2 a ' + i , ^ = 2 ^ + 1 ,

( 5 ) 0 ( 2 ^ 4 - 1 , 2 ^ + 1 ) = = ^ (r, . s - ) ( 2 a ' - 2 r , 2 ^ - 2 ^ ) .

o ^ / ' ^ a ' QZsZ[^'

Si a = 2 a ' + i , p = 2 ^ , le deuxième argument de D ( a — 2 r , ^—is\ avec o^r^a', peut s'annuler. Un tel terme D ( a — 2 r , o) provient du dévelop- pement par (2) d'un terme

D ( a — 2 r , 2 ) = D ( a — 2 r , 2 p/— 2 ( ( 3/— l ) )

provenant d'une formule (3) d'indice m =r-{-[V— 2; dans cette formule, son coefficient est (r, ^ — i ) , qui se conserve dans l'itération, de sorte que le terme en D ( a — 2 r , o) est

(^-^(a^^o):^^-!).

28 R. LAGRANGE.

Ce même terme se conserve dans les itérations suivantes. Ainsi, lorsque tous les termes D ( a — 2 r , ( 3 — 2 s ) ont disparu, on a obtenu le développement

D ( 2 ^ + i , 2 ^ ) = ^ (r, s ) ( 2 ^ - 2 r , 2 p/- I - 2 5 ) + ^ ( r ^ - i ) , o^r^a' o^r^a'

o^.s-^p'—i

ou, grâce à (II),

( 6 ) D ( 2 a ' + j , 2l3/)=: ^ (r, ^ ) ( 2 ^ — 2 r , 2 ^ — i — 2 s ) + ( a \ ^).

o ^ r ^ a ' o ^ . s ^ S ' — i

Enfin, lorsque a =20^, fJ = = 2 ^ sont pairs tous les deux, le même raison- nement montre qu'il apparaît des termes D ( a — 2 r , o), où o^r<^o(.^ avec le coefficient (r, ^ — i ) , et des termes D(o, [3—^s\ où o^s<^^y avec le coefficient (o^— i, ^). Il vient ainsi

D ( 2 a ^ 2^)--= V (r, ^ ) ( 2 a/— l — 2 ^ , 2 ( 3/— I — 2 , ç ) o^/'^a' —i

o^,ç^(6'—i

+ ^ ( ^ | 3 ' _ i ) + ^ ( a ' - i , ^ ) . o ^ / ' ^ a ' — i O ^ A ' ^ ^ ' — I

(II) remplace la somme des dernières sommes par

( ^ - I , ^ ) - ^ , ^ - ! ) ^ ^ ^

donc

( 7 ) D ( 2 a ' , 2(3^=: ^ ( r ^ ) ( 2 a ' - i - 2 r , 2^'- i - 2 s ) + (a', ^).

o ^ r ^ a ' — i o^.s-^Q'—i

On peut rassembler ces expressions (5), (6), (7) en la formule unique

(8) D(a,(3)=: ^ ( r ^ ) ( a - i - 2 r , S - i - 2 5 )

^r^-'i

- -L 2 J

( o si a, [3 sont impairs,o

" K f " . ,

4. Cette formule remarquable peut être remplacée par l'expression encore plus simple

o si a, P sont impairs, (9) D(a, ( 3 ) = ^ ( a , p)+ i / l ' a l | p T\ . .

2 ' - - h - si a ou p est pair.

Am L^J/ •

C'est vérifié pour ?==o, et pour a = = ? = = i , et il suffit de raisonner par récurrence à Faide de (2). Admettons que (9) soit valable pour les D(ai, ^) tels que ai + pi <^ a + p.

Si a et [î sont impairs, (2) donne en effet

2 D ( a , p ) : = : 2 ( a — i , P — i ) - + - 2 D ( a — 2 , ( 3 ) + 2 D ( a , ( 3 — 2 )

= = [ ( a - i , P - i ) + ( a - 2 , ( 3 ) ] + [ ( a - i , P - i ) + ( a , P - 2 ) 1

= = ( a - i , ( 3 ) + ( a , p - i ) = = ( a , p),

tandis que, lorsque a ou ? est pair, on doit ajouter aux termes précédents

([^•[^-(^[^-(H-^^H-H-)-^}^)'

C. Q. F. D.

La comparaison de (8) et de (9) fournit l'identité remarquable

( 1 0 ) ^ ( r , 5 ) ( a - i - 2 r , P - I - ' r a — i ' i

^'•<—J

-<^]

{

=

-(

^)- i / r ^ t m'\ .:

que l'on peut naturellement démontrer directement par récurrence.

5. FORMULE GÉNÉRALE. — Quel que soit n, on a la forme généralisée de (9)

• ( i l ) D(o^ a,, . . . , a,)

!

^ ( ^ ^ . • . ^ / 0 + iff^lj^l..,'^^ dans les autres cas.

A L

J I.

J -

J/

( n ) est vraie lorsque n — i , ou même n — 2, des a, sont nuls. Supposons donc qu'elle ait été démontrée pour n arguments a, dont la somme est inférieure à m, et étendons la au cas où ^a/=m. Dans cette dernière hypothèse, ( i ) e t ( i i ) donnent

D ( a i , a,, . . ., a,,)== ^ ( a - i — £ 1 , 0 2 — £ 2 , . . - ^ — s ^ )

£1 4-£2-<-..•+£71 ^^

+ V D ( a i — 2 £ i , a.— 2 £2, • • ., a / / — 2 £ , , )

£l4-£2-+-•••-^sw: :=l

== V ( a i — £ 1 , . . ., a/,— £„)

£i+...4-£n=2

4 - ^ Y ( a i — 2 £ i , . . ., a / , — 2 £ / , ) + S ,

£ i + . . . + £ ^ = 1

où S = o lorsque deux des a/ sont impairs, et

S

=

y (\^

' ^ _ ^L ^ _

a//

dans les autres cas. Grâce à (I), on a donc

o si deux des a; sont impairs,

1

/T^ i r^i r^' i\ .1 i

- — h — h * " î — dans les autres cas.

AL ^ .1 L 3 J I. 2 \)

D'autre part, la même formule (I) réitérée donne

Ici, un terme où i^==.i\=\ n'apparaît qu'une fois, et est de la forme ( a ^ — 2 £ i , a ^ — 2 £ a ^ . . ., a ^ — 2 £ / t ) , avec V £ / , = i , tandis qu'un terme où

^.= £^.= i, i^j, est égal à celui où £ ^ . = ^ = i , et est de la forme ( a ^ — £ 1 , ^ 2 — £ 2 ? . . ., a,^—£„) avec ^£^==2, ce qui démontre (11) pour

2;

6. Il n'est pas sans intérêt de généraliser également (8), en calculant D(ai, as, . . ., a^) par un procédé plus analytique. Il s'agit de démontrer qu'on a

( 1 2 ) D ( a j , as, . . ., a//)== V ^. (r.j, j\, . . ., r//)

X ( a i — £ 4 — 2 ri, 0.2— £2 — 2 r-2, .... o^— £„— 2r,/) o si deux des a/ sont impairs,

/r^i^ r^^ ^

nT\ i i

\ L

J L ^ L

I/

la somme ^ étant une somme multiple où chaque /'/ prend les valeurs

7'1, ... rn

' r _ ^,

entières de l'intervalle fermé o, -f—1/ • Nous raisonnons toujours par récurrence en admettant que (12) ait été établi pour moins de n arguments.

Comme au paragraphe 2, on voit tout de suite que

( ï 3 ) D(ai, .. ., a,,)== ^ ^ (r,, r,, . . . , r,,)

£ 1 - 4 - . ..-+-£„ ==2 /•i -+-... -)-/•„ ^ W

X ( a, — £1 — 2 /•i, . . . , d.n — £n— 2 /-/, )

-4- '5j ( r' ^ /'-^ • • • ' /^ ) D ( a' — 9' /^ ? a•2 — r>- r^ • ' • t a/' — 9- r// ) ^

et l'on peut réitérer tant que les n arguments de D ( a i — a r ^ , . . ., a,,—2r,,) sont positifs. Dès que l'un d'eux est nul, on conserve le terme D à n—\

arguments positifs; par exemple, si a i — 2 r j = o , ce qui suppose que a, est pair, on a ainsi les termes

/ /y • N

( —' — i, r.^ . . ., /7, j D ( a. — 2 r.^ a:; — 2 /•:;, . . ., a// — 9. /-„ ).

Si donc tous les a/ sont Impairs, la formule ( i 3 ) réitérée au maximum donne

( 1 4 ) D ( o c , , . . . , a , ) = ^ ^ ( r , , / ^ . . . , / - . )

X ( a i — £1— 2 ri, a o — ^— 2/'s, . . ., a / / — s/,— 2 /'//),

où les r, prennent les valeurs vérifiant o^r/^ r/___ |

Dans le cas général, supposons que les a y ( j = i , 2, . . ., p ) soient impairs et que les a/,(Z:=jo+1,/?+ 2^ . . ., /î) soient pairs. Posons a y = 2 a ^ . + i , a/,===2a^. L'itération maximale de ( i 3 ) donne

( 1 5 ) D ( a i , . . . , aj

/t

= ^ ^ (^, . . . . r j ( 2 ^ . + l — £ / — 2 / 7 , 2 a ^ — £ A - — 2 ^ . ) + ^ S/, S£,.=2 O^r^a7. ( y ' ^ I î 2, . . . , p ) (k=:p-}-ï, . . ., 7?) /=^i

OU

( 1 6 ) S/== V ( / - i , . . . , r^, r^+j, . . ., 77-1, ^ — i, /•/_,.!, . . ., /•„)

o ^ r y ^ a ; . O ^ y - A . ^ a ^ - l

x D ( a / — 2 r y , a/^i—2/y^i,..., a/_i— 2r/_i, a/+i — P./'/.+i,..., a,,—27^) (yr=i,...^).

Dans ces expressions, / ne prend que les valeurs entières au plus égales à p , et k prend les valeurs p + i , p + 2 , . . . , / i à l'exception de / dans S/; nous désignerons par i un indice prenant toutes les valeurs \^i^_n, sauf indication contraire.

Sip^2, (12) permet d'écrire

S/= V V V (ri, . . ., r / _ , , a ; — i, r/^i, . . .,rJ(.Çi, . . ., ,ç/_j, .ç/+i, . . .,.<?/,)

o^/'y^a'. ^L£i==2 o ^ . s - t ^ a ^ — / • ; o . ^ / ^ ^ a ^ . — i < / /

X (a.j— 3i— 2r.j— 2.^1, . . ., a— £,— 2 / 7 — 2.^, . . ., a ^ — £„— 2/7,— 2.^).

Un argument a / , — £ / , — 2 r / , — 2 ^ / . de cette dernière parenthèse ne peut s'annuler que si £/,== o, ^+.y/,== a / . Considérons celles de ces parenthèses

où a , — £ , — 2 r , — 2 ^ est nul (1) pour k= q+ i, q + 2, . . . , n , mais positif p o u r ^ ^ Z - ^ y . Posons p,=^.+.^ et soit

( a i — £ i — 2 p i , ..., a ^ — £ ^ , — 2 p ^ a ^ — £ ^ — 2 p ^ , . . . , a ^ — £ ^ — 2 p ^ )

une telle parenthèse, où s,+ £,+. . .+ 2 = a, o^:p,^a, o^p.^a/ — i P<k-=q' — ^ — y — ^ _ /.

Ceci suppose évidemment / > y , et le coefficient de cette parenthèse dans un tel S/ est

Z^ ^ ^ ( ^ . • • , /7-i, a; — • i, . . ., r-n) o ^ / y ^ F y O ^ / ^ ^ P À - o ^ / ' / t ^ a ' ^ — i

fi<f<^(f q <^li^-n\h-rl

x (pi - /^ . . ., p,/- / ^ . . ., ^ - r/,, . . . ).

(q<h^n,h^/)

Grâce à (IV), la somme relative aux indices r,, /\,, . . ., /^ vaut

(ry+i, . . ., n_^ cf.\ — i , r/+i, . . ., /-„)

X«,,-/^,, ...,a,-/-,, . . . , < - / , ) ( ? , , . . . , p,, ^ ^ 4 - a ^ , 4 - . . . 4 - a J . / ^ /

Pour l'ensemble des S,(/>,/) contenant la parenthèse en question, le coefficient de celle-ci est ainsi

/i

(

p

•••^

/-'

•••

-^) 2 2 (

^

' •••^•/-i^/- ',^, ...,7-,)

/^y-n o ^ / ^ ^ a ^ - i (j<_}i^n; h-^-l

>< (^i — ^/+i, • • • , a/, — r/^ . . ., a^ — /^), (/^/)

ou, d'après (VI),

(pi, . . . , p^ a ^ , + . . . 4 - a j ( a ^ ^ a;/,,, . . . . ^ ) = = ( p , , . . . , p^ a;^,, . . . ^)

Ainsi, lorsque jo^2, il vient

D ( a i , as, . . ., cf.n)

=1

2j 2 ^

'

" • -

^ ) ^ y "

/ —

/ . a/,— s/,— 2^)

^£-•= 2 o^/.,^a;. (i^./^) (P<k^n)

o^r^.^a^— 1

+

^ 2j 2 (

' • • •

^^^

^ " -

^^

/^ • • •. <j

^-1,/.•.,...,/-,„ £i+...+£,,+2^+...+£^=2 o^/.^a'.

o ^ / ^ ^ a7

X ( a / — £ y — 2 r y , a ^ — £ ^ — 2 r ^ . ) , (^./^P) (i^s^m)

(1) A cause de la symétrie par rapport aux arguments, il n'est pas restrictif d^dmettre que ce sont les n ~- q derniers arguments qui sont nuls.

où les ks forment toutes les combinaisons m à m des indices p+ i , / J + 2, ..., n^

et hi, Aa? • • • ? h^^m + /^= ^ — p ) représentent lès n —p — m autres indices supérieurs àjo. Dans ce cas, la réunion des deux sommes multiples s'écrit donc, conformément à l'extension de (12),

( i 7 ) D ( a i , a,, . . . , a,,)= ^ ^ (/^ r^ . . . , / - „ )•2? • • • ? ^n) —— ^ ^j ^ l ? /^ • . . ,

S£t==2 o^/-;^a^

1 ^ i^.it

X ( a - i — £1— 2^1, a.^— ^—- 2r^ . . ., a,,— £„— 2r,,),

où la sommation s'étend à toutes les valeurs possibles des r,.

Lorsque p = i, le calcul qui précède est encore valable, à condition d'ajouter le terme

( a'i — A-i, . . ., a/_i — r/_i, a^ ^ — r / ^ , . . ., oc^ — r,,)

au développement du terme D au second membre de (16) que nous avait fourni la formule (12). II convient d'ajouter au développement de S^ (2^/^11) le terme

o-/== ^ ( ^ , r.2, . . ., r/_i, a; —1,77+1, . . ., ^) o ^ 7-1 ^ a ^

u ^ /-^ ^ a' — i ; k -^-1

X (a'i — ri, a^ — /••2, • . • , ^_i — r/_i, a^i — r/+i, . . ., a',,— r/,).

Grâce à (III), la somme relative à r^ vaut

(r.^ .. ., r/_i, a^ — i , r/+i, .. ., /•„)

X ( ^ — ^ , . . . , a ; _ i — r / _ i , a ^ i — / 7 + i , . .., < — r^) (a'^ a , + a, +. . .-4- a;,).

Par suite,

/A /^

^ < 7 / = ( a ^ a,4-. . .4- <)^ ^ (^,, ..., r / _ i , a / — i , /7+i, ..., / « )

/ = 2 / = 2 .^/•^a^-,

î^k^n-,k^i

X (^ — /•.^ . . ., a^j — /7_-j, a/,., — r/+i, . . ., a',,— /•„),

qui vaut, d'après (VI),

(a^, a,+. ..4- a'/,) (a,, a,, . .., a;Jr=(aj, a,, ..., aj.

Dans ce cas, il suffit donc d'ajouter à (17) cette dernière parenthèse

( ' ' ^ /ï^t r^t r^i\

( a . a , , . . , a J = ^ ^ J , ^ J , . . . . | ^ J ^

ce qui établit (12) pour ces n arguments.

La comparaison des développements (i i) et (12) fournit l'identité

(18) ^, ^ (^i^'2, • . ., y ' n ) ( a i — £1— 'ir^ . . . , a / , — £ / , — 2 r , , )

S£^=2 ri,/-2,...,rM

o si deux des a; sont impairs,

— (ai, a.,, . . . . a,,)- i / r a i " 1 [ Œ,~\ [ ^n~\\ , ,

2 - — M — ? • • • ? — l aans les autres cas.

A L 2 J L 2 J L 2 J7

^/î/i. Éc. Norm., (3), LXX.IX. — FASC. 1. 5

CHAPITRE II.

PERMUTATIONS FERMÉES AVEC RÉPÉTITION P(ûC, ?),

7. Rappelons que nous ne traiterons que des P(a, ^) dont Fun des arguments est inférieur à 7. Nous supposerons, dans ce chapitre, que cet argument ne dépasse pas 5. Soit i ^ a ^ 5 , a + P ==n, et calculons P ^ = P ( a , ^ i — a ) pour ces cinq valeurs de a. Au lieu de colorier les côtés du polygone construit avec les n segments, il est équivalent, et plus commode pour l'exposé, de colorier les sommets, donc a en la couleur a, et ? = ^ — a en la couleur 6. Les sommets S< de ce polygone régulier convexe seront numérotés de o à n—i, dans le sens positif du cercle orienté, et Fon peut toujours "supposer que So a la couleur a.

Il est clair que P^= i. Pour a = 2, un deuxième sommet S^ a la couleur a, de sorte que les arcs séparant les deux couleurs a mesurent respectivement m etn—m, si Funité de mesure est Farc soutenu par un côté. La symétrie par rapport au diamètre de So permet de supposer m^n — m, donc les seuls poly- gones distincts sont ceux pour lesquels m vérifie la double inégalité i ^ m ^.n ; ainsi

o P,^[;}

8. a valant 3, les trois sommets de couleurs a sont séparés par trois écarts q^

q^ ^3 dans le sens positif, à partir de So ; soit m leur borne inférieure. On peut faire<7i==/7z, et, à Faide d'une symétrie diamétrale, supposer que m=q^q^q^.

Ces sommets sont alors numérotés o, m, m^ avec i ^ m , ^m^m^

m^—m^n—m^ c'est-à-dire

. . n — m 2 m ^ mi ^ ————.

( 2 )

i ^m^.

Le nombre des polygones distincts de cette espèce est donc

m

F»! V (\ n+ m~\ \

^=L[[————}-îm+l)•

in = i

Décomposons cette somme en deux parties, suivant que m est pair ou impair. Les termes où m == 2p ont la somme

^2h1 ⁺ •-^H9i[ ^{^} ^ ⁺ •-^1 ⁺ •)l

^m-^-m-

On voit tout de suite que les termes où m = ^p — i ont la somme A^ ;, de sorte que

( 4 ) ^{p :l _ A1} n— ^n^~ A :,, ^{:>' i \ '•''}

avec l'expression (3) de A^. L'expression polynomialè de P;; dépend de la classe modo à laquelle appartient /i. Des calculs simples donnent ainsi :

, __ n ( n — 2 )

[

•• .\=r [6.1=6;

[

[

•• ïj=.' [^-(T-î

^~ ——24——;

n == 6 ^

, _ (/2 — i ) (n— 3) TÎ n — i

7l = 6 V + I : - == ————— ?

2 2 "~ o/.24 5

.; /< ( n — 2 ) A

^ := 6 ^ •4- 2

6

^ - 3

""(T'5 n \ _ /î — 4 6 | 6 ;

24

( n - ï ) ( n - 3 )

24 :

„ „ F n~\ n — i f n 1 72 — 3

^ = = 6 v + 3 : - = ——— ? . = —7.— ; A - =

hJ 2 L ^ J ^

„ , rn~\ n r^n

2 J 2 ?

' n~|_ ^

2 2

,,:,__ ( / Z + 2 ) ( ^ - 4 ) À/————24———5

. ;; _ ( / i + i) (n — 5) _

^ = = 6 ^ + 4 : - = -

L ^ J

L ^ J

•]-"-.

n = 6 ^ + 5 :

puis, grâce à (4),

n- 12

^'2 -

n^o (mod6),

12

^———,2— 4 12

^'2+3

\ 12 /

W P'=

On peut observer que P^ est toujours de la forme •//——î-? où p est l'entier de valeur absolue minimale faisant de n^-}- p un multiple de 12.

9. a étant égal à 4, soitm la borne inférieure des quatre écarts q,(i===-1, 2, 3, 4) séparant les quatre sommets de couleur a, considérés dans Fordre de parcours du polygone.

Admettons d/abord que deux écarts consécutifs vaillent m. On peut fixer l'origine et le sens de parcours de manière que ces quatre sommets soient Su, Sm? S^,/,, S,^, avec une suite d'écarts non décroissante, c'est-à-dire que

r ^ - m ^— /n-, — 2 m ^— n — m >.

Tous les polygones correspondants sont distincts, et fournis par les inégalités

3m^lm^^— + m.

—— "—— 2

(6)

i ^_m ^ y *

4

Leur nombre est

(,> ^([ï]---H^H?Hï]m-

car on a toujours

r n i r /n r^{/ /} + •^;t 1

krkK-r-J-

Dans les autre cas, désignons par So, S,/,, S,^, S,^ les sommets de couleur a, avec les écarts

//i= m. ^r= m, — m > //?, ^:>,== //^— m^^m, (],, ,=z n — m.^ > w,

afin qu'il n'y ait pas deux écarts consécutifs minimaux. La symétrie par rapport au diamètre d'azimut ^m transforme cette suite d'écarts en la suite y\=m, q 2 = qA , </:; = q., q,, == 72 sur le cercle positif, ce qui permet de supposer q^ ^_ q ^ . Ainsi les polygones distincts de cette deuxième catégorie sont tous fournis, une fois et une seule, par l'ensemble des inégalités

m -\- i ^ /ni — m ^ n — m.^ m ^ m.^ — m^,

c^est-à-dire

, 1 ) 1 ^ + m ^ m.i ^ n + ni — in^, / Q \ \ 'î m + i ^ /^i -^ - ?

( ô ) . — — -î

f ^ , ^ — 2

' ^ - ^ ^ — Leur nombre est

[^] [^j l^]

^= 2; 2 ("+•—)- 2 (|^-

)(

-[

]-

•

)•

/ n -=-1 //^i =: 2 //i 4- 1 //t ==: 1

Grâce à

p^i r^-^n

"hj"!—}

le produit des deux facteurs dans la dernière somme s'écrit [' n ~\ r n + 1 1 . | //^ i r n + 1 1

[ ï JL"""" [ " ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ L ï J l ï " " —2( '^ +'2) ^+ 4 / ^ ( ^ + 1 ) , de sorte qu'à l'aide de (11)

m,

Ri=

2 ll^jf^r

"]"

^^^"

^

- ')+8(/M-i,9,){

/n=i ' ~

["ni r/i+i | r ^ — • n x / T ^ — ^ 1 \ . / r ^ — ^ l \

= lï.l[—Jl^-J-• ²⁽ " ^+a) ([^-.l- ^I ' ² ) ⁺⁸ (l-^J- ^I '4

SUR LES PERMUTATIONS AVEC RÉPÉTITION.

et enfin

^ •^['^[^["^-'——'["T'Hmm!-

En définitive, l'expression de

P ^ — A i - i - R4

37

est un polynôme du troisième degré en n, dont la forme dépend de la classe mod4 de n. Il vient ainsi :

n ==: 4 ^

S

L^L'"^^' LïJ^r Ll".

/ l ( M — 9.) ( 7 1 — 4 ) ^

A ;- %•

n == 4 ^ -i- T

[ // +1 n _ n -\-1 \

~\ _

—

r

—

^ _

— ^

—J'"—' L4|

-T-' \~rr^~''

p, _ n ( n — i ) ( 11 — 5 )

A 4 ( r a - l ) '2

A,,=——^^<

r>"-————48————;

n == 4 ^ + r:>

(

H^l—r^ lîl-L^'J''-^ ⁵

_ _ ^ — 4 n ^ — ^ ( ^ — ^ ) ( ^ — 4 )

A. - ——^- . I>. - ——————^—————— ,

/ r / î ~ | ^ — i r ^ + i i / î + i r/î'i r n — 21' /î — ai n — 3

^-î

^hr""' l—J""^' Ld^L^-J

7i = 4^ + ^

„ _ ( n - } - î ) ( n — 3 ) __

A.-————^————. !>//- ( / ? + l ) ( 7 Z - 3 ) ( ^ - 4 )

48

// =^ o (mod 4 ),

n == ± i »

et, par suite,

/ / / . ( / ^ - — S ^ + S )

^ ï ^ T

p^^ ( ^ + i ) ( ^ - i ) ( ^ - 3 ) ^

" ^ 2 x 4 !

( T u )

(/?. — 2 ) ( n^- — n 4- 6 )

2 ~ > ^ 4 l ?

10, CALCUL DE P;;. — Dès la valeur a ==5, les calculs sont relativement pénibles, et l'on est amené à distinguer cinq cas, d'après le nombre et la répar- tition des écarts minimaux.

m désignant toujours le minimum des cinq écarts <//(;== i, 2, . . ., 5) séparant les sommets de couleur a. nous supposons d'abord que trois écarts consécutifs valent A//. On peut choisir l'origine et le sens positif de manière qu'il s'agisse des sommets (1) So, S,»,, Sa,//, S;},,,, S,^, avec

m ^- m., — 3 m ^- n — m:..

(1) Les sommets de couleur a: sont toujours numérotés o, /??, //?i, m-^, . . . , /^a—'2. de sorte qu\)n a ici m\ = 2/72, ///.2 == 3w.

R. LAGRANGE.

Les polygones distincts de cette nature sont ainsi déterminés par le système d'inégalités

, , . n -+- 3 m 4 m ^ rn., ^ —-——-,

( i i ) 2

Leur nombre est

i ^ m ^ "

m

A^SfI^]-^).

in r= l

Cette somme se décompose en deux, suivant la parité des valeurs de /n. Les valeurs paires m = 2jo donnent la somme partielle

r_"~i

c.) ^=Ï^\ — M ^ J 7 ai. 10 J\, L - i j 1 10 J y ^n: \^ ^ï -^= ^l -\ ⁿ -\(A ^{1^} }-^' ^L \-^•

Les valeurs impaires m =2p — i donnent la somme partielle

.,/, v^ /r^-^i - \ ./••

^ \L 2

/^=1

A

-- 1 ([—^ p-=-\

-^)=

^

On a donc

(I 3) A ^ A ^ + A ; ^ , ,

avec l'expression (12) de A^'.

11. Supposons qu'il n'y ait que deux écarts consécutifs minimaux. On peut placer les trois sommets qu'ils séparent aux points So, S,,,, S^m. Les deux autres sommets de couleur a sont S,^, S,^, avec

q.^ == m.^ — 2 m > m, ^ ==: 77^, — m.^ m, g:, == // — m^ > /??.

La symétrie par rapport au diamètre de S,/, permet de réaliser la circonstance supplémentaire q^q^ Les polygones distincts de cette espèce sont ainsi déterminés par les inégalités

?}i.î + m ^ jn^ ^ n 4- 2 m — m^_,

\ 9 ^ ^ /? + w

/ ^ ^ i 3 m + i ^ m.2^ ———— î f ^ -^ / ?— 2

? ï ^.m ^ —^— -,

et leur nombre est

m m m

B;;= ^ 2 ("

'

-

^)

2 [

-^

} [

'

7

^/==i ///g=;:i^/ -^'i

Les valeurs paires m = 2.p donnent la somme partielle

[-n-2-| r/.-2

".-:s(iM(m-^2(^

m

•^'A —-•''') ⁼ 2 { ï — - - " r + ' - i "

^=1 7^=1 -

^]

2 i[^[^]-5(^)/,H-5o(^-^)|,

^

/.=:1

donc

. , , _,. [" n - 2 1 ( | n ~| | /ï + ï "| 5 , I- /, + 8 1 9.5 f" // -4- 81 [ n + 18 1 (

(15) B;== ——— - ——— — - (n +5 ——— + -r ——— ——— •

L i° J l L ^ - J L

J

L

J ^ i

J L

-n

Les valeurs impaires m = ap — ï donnent la somme partielle

o. v /r^ m

+

1 - wr

^

! r ^ T^ >

^^ 1 (l^l-^AL""]-

^""-"

^=1

et, par conséquent,

( 1 6 ) B^R^+B^,,

avec Fexpression (i5) de B^.

12. Dès que trois des cinq écarts (][ valent m, deux d'entre eux sont consé- cutifs. Nous examinons dans ce paragraphe les polygones présentant deux écarts minimaux, mais non consécutifs, contrairement au cas qui vient d'être étudié.

On peut placer en So et S,,, deux des sommets de couleur a, les autres étant dans Fordre, S/^, S/^, S//^, avec les écarts

q^_ •==- nii — m >* w, q-^ = m» — ni^ ^ m, q;, == /7î:^ — ^2^ ^î^ ^;i == /ï — m.\ >> w.

Seuls 7.3 ou 74 peuvent valoir m, et la symétrie par rapport au diamètre d'azimut ^m permet de supposer qu'il s'agit de q-^ Mais alors, la symétrie par rapport au diamètre d'azimut ^m—^ïnl conserve le couple d'écarts q^ 73 et l'écart q^, tout en permutant q^ et ^5; on peut ainsi supposer q,,^q^ et les polygones distincts de cette catégorie sont tels qu'on ait

/?îi ^> 2 m^ /n.2 = m + m^^ m:\ — 7^2^ ^ + ï , // — m^^=^ m>. — mî-

donc déterminés par le système d'inégalités

( - 7 )

n -r- m + ^1 /ni + 2 m 4- ï ^ /n-i -^ ————————

2

2 m + ï ^ in\ ^_n — 2 — 3 m., .n-3

Leur nombre est

r^t i^-j

L '* J n — ° —? 1 rlt L a J n — 2 — ;i m

r--- V1 X^ / r / ? 4-^ 4-/»i "I \ YI Y^ [ n — ^ m — t ~ \

c ';- 2 2 ([—.—j-./»-/».^^ 2 [—^—j,

/// == 1 w.i = 2 /// +1 /// =1 / = 1

où l'on a posé m^=^m-{-t. La somme partielle fournie par les valeurs paires 2jo de t est

r n—ï— îi //; ~I

v^ / r

—

^ \

r

—

— •

^ i

— •

n

1 ([——J-^-4—.—Jl—r

^=1

les valeurs impaires t = ip — i donnent la somme déduite de celle-ci en substi- tuant n+ î à n; la somme totale relative à t est ainsi

i (Y n — 5 m n r

— ^ w — 2 n f /? — 5 //? +1 n r ^ — ^

—

n )

.il—Jl——H——J[—.—J!

r // — 5 m n [ // — 5 /?i — i n

"l—IL—.—J'

grâce à l'identité

r-ir-^i+r^^ir^Lii^j-ir^L ¹ '!.

1

J L ^ J L

\ L

J l

J 1 '^ J

On voit alors que G;; n'est rien d'autre que B/^, donc

W C;;=B^=TÎ;^+B;;^.

13. Il ne reste plus qu'à évaluer le nombre des polygones ne présentant qu'un écart minimal m entre les cinq sommets de couleur a. Plaçons ceux-ci en So, S,,,,, S/^, S,^, S,^, avec les écarts

( j ^ •==. m, q.>_ •==- ni) — ni > //?, (/.., = m.^ — W j > /??, q,, =z m:; — m .^ >> /?/, //., ==: n — m:>, >> /??.

La seule symétrie qui conserve l'écart minimal est celle par rapport au diamètre d'azimut m? et elle permet de supposer q^^q^, et, si q^=q,, de faire q^-^q^

Evaluons d'abord le nombre des polygones de la deuxième catégorie;

q^=q.^ q^^q,, fournissent les relations

/n:;==: n -\- m — m^^

m -1-. î ^ 7-2 == TÏI\ — /»,

m -^ î ^ </:; == m.i — Wi ^ /^:; — m-î. == ^4 ;

4i

donc le système

7Hi -h m + i ^ 77?')^ ———— 9 2 n — 2 — m

09) 2 77? + T ^ 77?i ^

, .n — i\

i ^- m ^L —^—-.

o

Le nombre de ces polygones est

m ['^]

r — V V (\n—m.~\ \ i

'"-1 1 U."—.]" ⁷ " ¹ ^

I);' =

m.

^ L~~JL—.—1-

Les valeurs paires m== ajo fournissent la somme partielle

m

n" ' V ^ [ " 1 - \(\n-'î'\ r ^

'^-.S ([d-^AL—J-^) [S]

soit

(.0) D ; - ' "

,'•- " - 4 .o J»L•<JI. ^I f!Lr^1iT ^/ '1f"- ^a 1

⁵ J

^" 3L-^J^L.J-• ^{+ 6} 1^^»1 -.p'"-

|-ï^-J ⁶ '! ^{.. !.}

On voit tout de suite que la partie de D;; fournie par les valeurs impaires de m est D^' ;, donc

(2 I) ^;;==^+T);;V,,

avec l'expression (20) de D^.

14. Les polygones de la première catégorie, qu'il reste à compter, sont ceux pour lesquels q^ <^ q^ et que définissent les inégalités

7 ^ 1 ^ 2 7 ^ - 4 - 1 , 7 7 ? . ^ m i - { - 7 n 4 - I , 77?;î^77?.;î-4-77î+ I , H — m^m^— 772 + ] ,

donc le système

( 2 2 )

m^-}- m -^- i^m:.,^7ï -}- m — i — m^

77/1 -{- 771 -I- I ^ 77Î2 ^- n — 2 — 772i n — 3 — 77?

A/m. Éc. A'orw., (3), LXXIX. — FASC. 1.

Leur nombre est

1" n — K ~1 |~ n — 3 — rn "| r / î — s - i p ^ _ : i — / / ^ j L . J L 2 J n-î-m, V~~\ L———2———J

E;;:= ^L ^J 2 ( ^ — 1 — ^ 1 — ^ 2 ) = = ^ ^ ( / ? — 3 — m — 2 / 7 ^ 2 ) .

}n=^ 7 » i = 2 7 7 î - + - 1 / 7 ? . 2 = = 7 / 7 i + 7 » 4-1 7 / / = 1 7 » i = 2 7 / / - M

Posons /ni = 2m +1\ la somme relative à m^ s'écrit

[^] ^

^ - ( n — 2 — 5 m — 2 1 ) (n — i — 5 m — 2 i )

= / j S (n — ^ — 5 /n, 2 ) — ( 2 / î — T — 1 0 m ) i• -(- 4 ( ^ — 1 ? 2 )

( / „ . , / T , \ r /? — i — f

< ( /? — 3 — .) //?, 2 ) — [ n — - — o m \\ ————

( \ 2 / L 9-

^/ — 3 — 5 m \ ( / ^ , , / T , \ l'n — i — 5 m

2 j ( - • ^/ \ 2 / L^ m ⁹

2 r n — i — 5 m n r/ ? +1 — 5 /?i n )

^l——II——JC

E;; est alors de la forme

W E;;=E;;+E;;^,

où E^' est la somme partielle fournie par les valeurs paires ^p de m, soit

"³⁼⁼ 2^-([^/^³]-.^)j("-3-,o/,,.)-(»-;-,o/,) (p^]-.^)

^= s ([^-•^{("-^-^^-("-^-•o^d^l-^

a / r / î - i ' i . \ /r^-f-'l - M

+ 3(1.—J-^)(,L-.-J- ^{^/)} )!•

L'accolade est un polynôme quadratique en p dont le développement est

2 r / ? — i ' |

/ p'^

—

"! (

—

) (

—

- ) r (

^ r

— ^

.

3[-^-J-(

-6)l—J

——.——-T-Tr-M—J^T^

le terme général de la somme est donc de la forme

( 2 4 ) A — S B ^ ^ ^ C ^ — ^ D / r ,

avec

^ M^KlM'-M^'-^^ï-'')

B=^'^^1-,V»-^-îf'i-^Ti — 11 \ / ii 2 r /i — i T\

— J -•)("- ï-sL—J)

+ l["-]'-{''-Ï)[^'-''^-^

(n — T ) ( n — 2 ) i i _ 3 /?2 — 15 n 4- 17 2 6 6

€ = = / ? — ⁵, D - . 2 3

En fonction des parenthèses (p— i, r), (a4) s'écrit (1)

A — 5 ( B + 5 C + 2 5 D ) ( 7 ? — i , i ) + 5 o ( C + i 5 D ) ( 7 ? — i , 2 ) — i 2 5 x 6 D ( 7 ? — i , 3 )

. „ /'//² + 5 n +14 / x - / ^ / N /- / 9 \

= A — 5 ————;———- ( p — i, i) + 2;) ( 2 / ^ + l o ) ( p — i, 2 ) — 5oo(/^ — i , 3),

donc, grâce à (II),

m

E;;'= V ^ A - 5 "^t^-⁴-!⁴^ 7^-1, i ) + 2 5 ( 2 M + i 5 ) ( / ) - i , a ) - 5 o o ( / ^ - i , 3)\

^ (

A — 5/?² + a M 4- 14 » + 5 4 T o "

5 |'/i 4- 5'| F n + 1 5 1 L 'o J L I o J 125 [ i l +5'| [ n 4- 15 1 F il -+- 25 1

"'^L 1 0 J I- 10 J L Io J

soit encore, en ordonnant l'accolade par rapport à '-—- h

. r;,.-5-|) ^ f « + 5 ' | pn^-r^n-S » i i [ , , + ^ ~ } a5 r » + 5 -P\ )

c

)

"'

L-7c^Ji

-

[-.<7-J(——^——-^[-^J-^^L'Kr-J/r

avec l'expression (^5) de A.

15. En rassemblant les résultats obtenus en (i3), (16), (18), (21), (28), on peut écrire

( 2 7 ) P;;==P^+P;^,,

avec

(•28) P;; = A;; -+- B;; 4- B;^, + D;; + E;;.

L'expression polynomiale de ces termes est fonction de la classe mod 10 de n.

Nous nous contentons de donner ces expressions, dont la détermination est fastidieuse et ne présente aucune difficulté, pour n= iov, i o v + i , . . . ? i c v + g , v entier.

On a ainsi

v ( 5 ^ — 3 ) , îf=iov et J O V + T ,

- ^ ( 5 "y — i ) , / ? = = : i o ^ + 2 et i o ' y + 3 , (99) ^A^^{i :}=={ - ^ ( 5 v + i ) , 7?== 10^4-4 Gt i o v + 5 , r ( 5 v + 3 ) , ïî==:ïov-\-6 et i o v + 7 , - • ^ ( 5 ^ + 5 ) , / z = = i o ^ 4 - 8 et i o r + 9 . (i) En posant

on a

(o/,== /•!(.r— i , /•),

,y== coi, .r2 == cog — œ-i, .T3 == a)?, — 3 oj-2 -+- coi, .r4 == oj/,. — 6 a):; -+- 7 co.j — coi, .r» == oj., — io co.t + 25 co ;>. — 15 co.^ — oui.

R. LAGRANGE.

25 V ( V — l ) ( 2 V — l), 3 . ( v - i ) ( 5 . - i ) , 3 ^ - + - i ) ( . ^ 4 - i ) ,

1 ^ ( 5 o ^ - 4 5 y 4 - i ) , ,-. y ( 5 o ^ 4 - 45^ •+- i),

7Î == 10 V ,

/? == 10 V + J ,

n == ror + 9,

/? == T o ^ -4- 2, /î = = 1 0 ^ 4 - 8 , , ^ ( 5 ^ + T ) ( 5 ^ — 4 ) , // = = j o ^ + 3,

>j

^ ^ ( 5 ^ — i) ( 5 ^ + 4 ) , n =10^4- 7, . y ( 5o ^:> — 15 ^ — i i ) , /? == T o ^ + 4,

^ ^ ( 5o ^2 + I 3 ^ — T l ) , /? == 1 0 ^ d- 6,

7j ^ ( 25 ^2 — 7 ) // == i o ^ + 5 ;

y ( y — 1 ) ( 20 y — 1 3 ) ,

- ^ — T ) ( 2 0 ^ - - 7 ) ,

„ '^ ( i oo v² — i o5 ^ + 11 ), ,; y ( i oo ^2 4- io5^4- i l ) , , -Q ^ ( 1 0 0 ^ - 7 5 ^ - 7 ) ,

,: ^ ( Iooy24- 7.5^ — 7 ) , ,7 '> ( i oo v2 — 43 ^ — 19 ^ .: ^ ( Ioo^24- 45^ — 19),

- ^ ( 2 o ^2— 3^ — 5), ,, y (20^4- 3'^ — 5),

/? == i o y, // z= i o y 4- l ,

// == T 0 ^ -h 2,

/? == I O V 4- 9î

// == T o "y 4- 3, n :== i o y 4- 8,

// m i o y 4- 4 ? /? == i o v -h 7 ' /? == io y 4- 5, n == io^ 4- 6.

(32) D;, / ⁵

6 5 6

6

I

6 i 6

V

y

•y

•y v

su

(5.

( v -

(5.

(35

(5.

-4), -i)

4-1 v'2 —

- i ) ( ^ + 4 ) ,

S PERMUTATIONS

(5 y — i ) , ) ( ^ - 4 ) , - 7 ) .

AV

^

Tl

n

H

n

EC RÉPÉT

== 10 y

= = i o ^ 4

= = : I O V -

== 10V -

== i o y -\

riTio

h 2

h 4

4-6 - 8

N.

et et et et et

10 V

10 ^

10 V

10 y

1 0 V

+ 1 , +3, + 5, + 7 . + 9 -

45

(33)

-, ( ^ — 1 ) ( l a ^ ^ " ' — 25o^^ + i o 5 ^ — 6 ) , ^ == 1 0 ^ ,

= = 1 0 ^ 4- 1,

== 10^ 4- 2,

= = i o ^ 4- 3,

== 10 V 4- 4i

== i o v 4- 5,

== 10 y 4-6,

= = i o ^ + 7,

= = i o v 4- 8, /î == i o v 4- ( ).

- _ - y ( v — i ) ( 5 ^ — 8 ^ 4 - 2 ) , 5. v ( v — i) ( 2 3 V2- — 3oy -4- 2),

„ y ( v — i ) ( 2 5 v '2 — 20 y — 3),

25. - v ( y — i ) ( 5 y -²— 2 y — i ) , E^{7 0}

^ V ( l 2 5 v3— 1 2 0 V1— 2 0 V -h 20),

„ ^ ( 1 2 5 ^ — 75 ^ — 5oy 4- i8),

1 . ^ ., ^ , ^ ,

. y ( 1 23 y' — 23 T/- — 03 ^ + 7 ) ,

„ y ( 123 y^ 4- 25 y'² — 65 v — 7 ) î . ^(125^4- 75v'²— 5ov — 18),

On a rapproché dans les tableaux (3i) et (32) les expressions qui se déduisent l'une de l'autre, au signe près, en changeant v en — v . Ce même caractère se retrouve pour E^, mais pour les valeurs de n symétriques par rapport à iov + — î et n'apparaît qu'après le changement de v en v +1 dans certainesi5 •

des expressions (33).

L'addition des expressions (29), (3i), (82), (33) donne alors

(34) 6P;^=

123 y⁴ — 25o ^ 4- 160 v² — 35 v v ( 125 ^:î q^ 200 v2 4- 85 r =p 4 ),

^(1251^:4: I5o'y²4- 4°^ ^:4= 3),

^(125^°'=^: i o o ^2— 5 y ±: 10),

v ( I 2 5 y3= F 30 T/2— 2 0 V ± 5 ) ,

v ( i 2 5 v3— 35 v ) ,

/^ == I O V ,

7 i = = i o v 4 - i et 1 0 ^ 4 - 9 , n = = i o v 4 - 2 et i o v 4 - 8 , / î = = i o v + 3 et 1 0 ^ 4 - 7 , /î == 10 v 4- 4 6t i o v 4 - 6 , n =z i o v 4- 5.

Dans chaque ligne comportant deux expressions, les signes supérieurs corres- pondent à la première valeur de n.

(27) donne alors

/ 25o^4—2001/5 4- i 2 5 ^ '2— 3 5 ^ + 6 , n==.io^,

^ ( 2 5 0 ^ — i5o^4- 65v — 9), n =iov 4- i, y ( 2 5 o T /3— 5o^/24- 35 y — 7 ) , /^ == i o v 4- 2, y (250^4- 5o^4- 35 ^ 4- 7 ) , n = = i o v 4- 3, y (25o y³ 4- iSoi/-^ 65^ 4- 9), n == i o y 4- 4, 25o^4- 250TT+ 120 y² 4- 35 v 4- 6, ^ == io y 4- 5, 25o y⁴ 4- 35o^⁵ -4- 215 ^4- 61 y 4- 6, /i == 10 y 4- 6, 250^4- 4^0 ^^:i 4- 335 y'² 4- i23 y 4- i8, ^ = = 1 0 ^ 4 - 7 ^ 25ov⁴ 4- 55o^^:s4- 485 ^² 4- 197 ^ + ^°i ^ — 1 o v 4- 8, 2oo y4 4- 65o^4- 665 y'2 4- 319 ^ 4- 60, n — 1 0 ^ 4 - 9 (35) 6P^{t )}==

Ces expressions présentent le caractère de symétrie signalé pour (33), mais par rapport à la valeur i o v + -• En fonction de n, on ne trouve que quatre expressions distinctes

(36) P^=

2 X 5 1Y-. ( n'' — 10 n-'' — 5o n'¹ — 140 n 4- 24o),

2 x 5 ! 2 X 5 !

l 2 x 5 !

( n — i ) ( n — 3 ) ( n'¹ — 6/^4- 23 ), ( , , _ 2 ) ( ^ - 4 ) ( / ^ - 4 ^ + 18), ( n'' — 10 /r 4- 5o n1 — 11 o n 4- 165 ),

n ^== o (mod 10),

n ^ ± i , ± 3 »

7l EEE±2, ± 4

CHAPITRE III.

CALCUL DE P;;=P(6, n—6\

16. On peut placer en Su, S,^, S,^, S,^, S/^, S^, dans l'ordre positif, les six sommets de couleur a, en désignant toujours par m le minimum des six écarts ^ entre ces sommets.

Considérons d'abord les polygones dont quatre écarts consécutifs valent m.

On peut faire m^=^m, m^=ïm, m^= 4m, et l'on a q^=m^—m^^m, q^=n—m^^m. La symétrie par rapport au diamètre d'azimut im permute les écarts q, et q^ et permet de supposer q^^q^ Les polygones distincts de cette catégorie sont déterminés par le système d'inégalités

5 m ^ m?, ^ - 4- 2 m.

(i) . n

.m ^ - î b

et leur nombre est

,, .« y/T»I " \ ["i/r^t ^""i '\ m

(2) A^ l ( L . |+ I-o- )=[ 6 j ( l . | - . [ 6 J - i ) •

m = 1

17. On peut placer en So, S^, S^,, 83^ quatre des sommets de couleur a chez les polygones qui présentent trois écarts consécutifs, et trois seulement, de valeur m. Le^ deux autres sommets S,,^, S,n-, sont alors tels que q^ =m^—m^>m, q^=m^—m^^m, q^=n—m^m. La symétrie par rapport au diamètre d'azimut -m permute les écarts q,, et Ce, et conserve ^5; on peut l'utiliser afin que q^^qç, et les polygones distincts de cette famille sont définis par le système des doubles inégalités

I

4 ^ + I ^m: ! ^ - +m•

(°) \ 2

/ n — 2 i ^.m.^—-—•

\ — — 6

Leur nombre est

L'^] m- ["^]

_ yi •^-i , . v ^ / f M i . - > ^ / ^

^ "

^ i \

B;;= 2; 2; ( M + 1 + 2 W - 2 W , ) = ^ ^ ^ J _ 3 M j ^ - ^ - J - O W ^ . //i=l / / < 3 = = 4 / / ^ + l ni=ï

Le produit des deux parenthèses s'écrit

[ n~\ \ n -\-1~\ , r

^ r

+

i o / o \ / ^ o / \

donc

r ^ - 2 i [n~\ r ^ + i 1 Q , o N / T ^ -8! \ o / f ^ - ^ l ^

^L^l.ll^-^^^O^-}

^

^-^}

}

-f^ISfl f'-^^-

^{^}

( ^/ ^ ³ )|^1

⁺³

[ ^!L î ⁴

1 fl^î

⁴ -^

ou enfin

"' • ^msHm-uw-'-'m)!-

18. Supposons maintenant que deux ^ consécutifs soient égaux à m, soit q^=m—o, q^=m^—m=m, entre les sommets So, S,n, S^; les polygones examinés ici n'ayant pas trois qi consécutifs de valeur m, les trois autres sommets de couleur a sont tels que q^=m^—mi^>m, q^=m-^—m^^m.

q^=m^—7^3^/72, q^=n—m^m. Seuls q^ et q^ peuvent valoir m, et nous partageons ces polygones en trois catégories selon que q^=q.^=m, ou qu'un seul de ces deux écarts, ou aucun d'eux, égale m.