Cercles et polygones
I) Le cercle : a) Définition :
Soit O un point donné et R un nombre décimal positif.
On appelle cercle C de centre O et de rayon R, l’ensemble des points M situés à la distance R du point O. On le note C (O ; R).
Exemple :
Cercle C de centre O et de rayon R
Ainsi, un cercle C de centre O et de rayon R = 4 cm est l’ensemble des points M situés à 4 cm du point O.
b) Vocabulaire :
Rayon : segment qui joint le centre du cercle à un point du cercle.
Corde : segment qui joint deux points d’un même cercle.
Diamètre : corde qui passe par le centre du cercle.
Arc de cercle : portion de cercle comprise entre deux points donnés de ce cercle.
Remarque :
• La longueur d’un diamètre d’un cercle est égale à deux fois celle du rayon. Ainsi, en notant D la longueur d’un diamètre et R celle d’un rayon, on peut écrire que D = 2 × R.
• Le centre d’un cercle est aussi le milieu de tous ses diamètres.
Par exemple, sur la figure ci-dessus, le point O est le milieu du diamètre [AB].
II) Les polygones : a) Définition :
Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.
Exemple :
ABCDE est un polygone à 5 côtés ou pentagone.
[AB], [BC], [CD], [DE] et [AE] sont ses côtés.
A, B, C, D et E sont ses sommets.
b) Polygones particuliers : 1) Le triangle :
Définition :
Un triangle est un polygone à trois côtés.
Exemple :
ABC est un triangle.
[AB], [BC], [AC] sont ses côtés.
A, B et C sont ses sommets.
Triangles particuliers : a1) Le triangle isocèle : Définition :
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur.
Exemple :
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et de base [BC] : le triangle ABC est dit isocèle en A et AC = BC.
a2) Le triangle équilatéral : Définition :
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur.
Exemple :
ABC est un triangle équilatéral, AB = BC = AC.
a3) Le triangle rectangle : Définition :
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en B.
Remarque :
Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle : on dit alors qu’il est rectangle isocèle.
ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
a4) Construction d’un triangle : Exemple :
Construire le triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 4 cm et BC = 6 cm.
Méthode :
1) On commence par construire la base du triangle, en général le côté le plus long, ici [AB].
2) On construit ensuite le point C en utilisant les données AC = 4 cm et BC = 6 cm :
a) On prend un écart de compas de 4 cm et on construit un arc de cercle C1 de centre A.
b) On prend un écart de compas de 6 cm et on construit un arc de cercle C2 de centre B.
c) Le point C se trouve à l’intersection des arcs de cercles C1 et C2.
2) Le quadrilatère : Définition :
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
Exemple :
Quadrilatère ABCD : on nomme un quadrilatère par ses sommets lus dans l’ordre où on les rencontre en suivant les côtés.
ABCD est un quadrilatère dont les sommets sont les points A, B, C et D et dont les côtés sont [AB], [BC], [CD] et [AD].
Il possède deux diagonales : [AC] et [BD].
Quadrilatères particuliers : a1) Le rectangle :
Définition :
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Exemple :
ABCD est un rectangle. Ses diagonales [AC] et [BD] sont de la même longueur et se coupent en leur milieu O (O est le milieu de [AC] et de [BD])
a2) Le losange : Définition :
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur.
Exemple :
ABCD est un losange. Ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
a3) Le carré : Définition :
Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits.
Un carré est donc un rectangle ( car il a quatre angle droits ) et un losange ( car il a quatre côtés de la même longueur ).
Exemple :
ABCD est un carré. Ses diagonales [AC] et [BD] sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
a4) Le cerf-volant : Définition :
Un cerf-volant est un quadrilatère qui a deux petits côtés consécutifs de même longueur et deux grands côtés consécutifs de même longueur.
( Côtés consécutifs : côtés qui se suivent ) Exemple :
ABCD est un cerf-volant. Ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
Ses deux petits côtés sont [CD] et [BC] et ses deux grands côtés sont [AB]
et [AD].
Remarque :
Un losange est un cerf-volant particulier où les petits côtés sont de la même longueur que les grands.
a5) Le parallélogramme : Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
Exemple :
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux O. Ses côtés opposés sont de la même longueur.
