D224 Deux polygones à reconstituer [** à la main]

(1)

D224 Deux polygones à reconstituer [** à la main]

Solution

Théophile est en mesure de reconstituer un heptagone unique [He] mais il n’y a pas de solution possible pour l’octogone [Oc].

Recherche de [He]

Pour simplifier les notations on désigne par H les sommets de l’heptagone recherché et par _i M les milieux des côtés i H_iH_i_₁ de l’heptagone où Diophante a tracé les milieux.

Soit O l’origine du repère Oxy dans lequel Diophante a mesuré les coordonnées des 7 points M avec i=1,2,..,7 i

On a les équations vectorielles suivantes :

1 2

1 OH 2OM

OH   (1)

2 3

2 OH 2OM

OH   (2)

……

6 7

6 OH 2OM

OH   (6)

7 1

7 OH 2OM

OH   (7)

Il y a 7 équations dont les inconnues sont OH . En faisant (1) – (2) + (3) – (4) + (5) – (6) + _i (7), on obtient OH = ₁ OM₁OM₂OM₃OM₄OM₅OM₆OM₇ Le point H est donc ₁ déterminé de façon univoque à partir des vecteurs OM . Il en est de même pour les six autres _i sommets qui s’obtiennent par permutation circulaire des indices des vecteurs OM . _i

On peut construire géométriquement chacun des vecteurs OM mais il est tout aussi simple _i de faire le calcul des coordonnées des points H à partir de celles des points _i M .D’où le _i tableau et le graphique ci-après :

Il est facile de généraliser la recherche d’un polygone à 2n+1 côtés à partir de 2n+1 points qui sont les milieux des côtés de ce polygone.

La formule précédente s’exprime sous la forme générale :

1 2n 4

3 2

1

1 OM OM OM OM ... OM

OH       _

(2)

Recherche de l’octogone [Oc]

Avec les milieux des côtés placés aux sommets d’un octogone, Théophile n’est pas a priori capable de déterminer l’octogone. En effet avec 8 sommets, le raisonnement précédent mène à deux équations

8

1 OH

OH  = 2(OM₁OM₂ OM₃OM₄OM₅OM₆OM₇) d’une part et

8 8

1 OH 2OM

OH   d’autre part.

Ces deux équations sont compatibles entre elles si et seulement si

8 7

6 5

4 3

2

1 OM OM OM OM OM OM OM

OM        =0. Si c’est le cas, il existe une

infinité de solutions possibles.

On vérifie qu’avec les coordonnées des huit sommets, l’équation précédente n’est pas satisfaite. Il n’y a donc pas de solution possible.

A l’inverse, si le huitième sommet avait été légèrement décalé au point de coordonnées (6,10), l’équation aurait été satisfaite. A titre illustratif, deux des solutions parmi une infinité d’autres sont données avec les contours rouge et vert.