Sur la représentation de permutation

Problème

Sur la représentation de permutation

Ce texte est adapté du problème 24 de J.-M. Arnaudiès, Problèmes de préparation à l’agrégation interne de mathématiques : 2. Algèbre bilinéaire et géométrie, Ellipses, 1999.

Dans tout le problème, K désigne un corps commutatif.

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie n≥1. Soitu∈End_K(E) un endomorphisme de E et soit M une matrice carrée de Mn(K). Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de u (resp.M) sont unitaires et notés respectivementχ_u etµ_u (resp. χ_M etµ_M).

Pour tout entiern≥1, len-ème polynôme cyclotomique deC[X] est noté Φn(X). On rappelle que Φ_n(X) est à coefficients dansZ et qu’il est irréductible dans Q[X]. On rappelle aussi que pour toutn∈N^∗, on a Xⁿ−1 =^Y

d|n

Φ_d(X).

Les parties II et III sont indépendantes.

Partie I

Soitn∈ N^∗. Soit E le K-espace vectoriel Kⁿ muni de sa base canonique B = (e1, . . . , en).

Pour toute permutation σ∈S_n, on note fσ l’élément de End_K(E) défini par :

∀i∈ {1, . . . , n}, f_σ(e_i) =e_σ(i).

1) Démontrer que l’applicationσ 7→f_σ définit un isomorphisme du groupe symétriqueS_nsur un sous-groupe de GL_K(E).

2) Pour σ ∈S_n, exprimer la trace et le déterminant defσ.

Partie II

On reprend les notations de la partie I.

1) Soit σ∈S_n un cycle de longueurn.

a) Démontrer queχ_fσ(X) =µ_fσ(X) =Xⁿ−1.

b) LorsqueK= C, démontrer quefσ est diagonalisable et en donner une base de vecteurs propres.

c) LorsqueK est un corps algébriquement clos et de caractéristique un nombre premierp, on écritn=p^sm avec s∈Net p-m; donner une condition nécessaire et suffisante sur spour quefσ soit diagonalisable puis une base de vecteurs propres dans ce cas.

2) On donne une permutation σ ∈S_n, distincte de l’identité. Soit σ=γ₁· · ·γ_r une décom- position de σ en cycles de longueur au moins 2 et à supports deux à deux disjoints avec r ≥1. Pour touti∈ {1, . . . , r}, on notera`i la longueur deγi.

a) Notonsk le nombre de points fixes deσ. Démontrer que χ_fσ(X) = (X−1)^k

r

Y

i=1

(X^`i −1) et

µfσ(X) = ppcm(X^{`1</sup> −1, . . . , X<sup>`r} −1).

b) LorsqueK =Q, exprimerµ_fσ(X) en fonction des polynômes cyclotomiques Φ_d(X).

1

c) LorsqueK= C, démontrer quef_σ est diagonalisable et en donner une base de vecteurs propres.

d) LorsqueK est un corps algébriquement clos et de caractéristique un nombre premierp, donner une condition nécessaire et suffisante pour que f_σ soit diagonalisable.

3) On suppose que le corps K est de caractéristique nulle.

Soient σ etτ des permutations deS_ndistinctes de l’identité telles que les endomorphismes fσ et fτ soient conjugués dans GL_K(E) (i.e. il existeu∈GL_K(E) tel quefσ =u◦fτ◦u⁻¹).

a) Pour i ≥ 2, notons ni(σ) (resp. ni(τ)) le nombre de cycles de longueur i dans la décomposition de σ (resp. de τ) en cycles à supports disjoints. Démontrer que

∀m∈N, m≥2, ^X

m|i

ni(σ) =^X

m|i

ni(τ).

b) En déduire que pour touti≥2,n_i(σ) =n_i(τ).

c) Démontrer que les permutationsσ etτ sont conjuguées dansS_n.

Partie III

On reprend les notations de la partie I. Le corpsK est supposé de caractéristique nulle.

1) Soit Dla droite vectorielle de E engendrée par le vecteur ε=

n

X

i=1

e_i et soitH l’hyperplan vectoriel deE dont une équation dans la base Best

n

X

i=1

x_i = 0 (oùx₁, . . . , x_n désignent les coordonnées dans la baseB). Un sous-espace vectoriel de F deE est ditS_n-stable lorsque, pour toutσ ∈S_n,fσ(F) =F.

a) Démontrer queDetH sontS_n-stables et que E=D⊕H.

b) Démontrer que la projection vectorielleπ de E sur Dparallèlement àH est : π= 1

n!

X

σ∈S_n

f_σ.

(On pourra démontrer le résultat suivant : pour tout x =

n

X

i=1

x_ie_i dans H et j ∈ {1, . . . , n}, on a ^X

σ∈Sn

x_σ(j)= 0.)

c) Soit v ∈ H − {0}. Démontrer que la famille (f_σ(v))σ∈Sn engendre le sous-espace vectorielH.

d) Déterminer les sous-espaces vectorielsS_n-stables deE.

2) On conserve les notations de la question III.1. NotonsAle sous-espace vectoriel de End_K(E) engendré par la famille (f_σ)_σ∈Sn.

a) Justifier queAest une sous-K-algèbre de End_K(E).

b) Soit Γ lecommutant de A dans End_K(E) c’est-à-dire

Γ ={u∈End_K(E)| ∀α∈ A, α◦u=u◦α}.

On note K[π] la sous-K-algèbre de EndK(E) engendrée parπ c’est-à-dire formée des endomorphismes de la forme P(π) où P parcourtK[X]. Démontrer que Γ =K[π].

2

c) Pour toutα ∈ A, les sous-espaces vectoriels H etD sont stables parα d’après III1a.

Soient respectivement A_H et A_D les sous-K-algèbres de EndK(H) et de EndK(D) images de Apar les morphismes de K-algèbres :

A −→ End_K(H) α 7−→ α|H

et A −→ End_K(D) α 7−→ α|D

où α_|H et α_|D désignent les endomorphismes induits. L’application (α 7→ α_|H, α_|D) définit donc un isomorphisme de la K-algèbre A sur laK-algèbre produit A_H × A_D (on ne demande pas de vérifier cette assertion). Expliciter A_D dans End_K(D).

d) Démontrer que la dimension de A en tant que K-espace vectoriel est 1 + (n−1)². Pour cela on pourra considérer la famille de vecteurs de A donnée par

f_id, f_(1,i) (2≤i≤n), f_(1,j,k) (2≤j < k≤n), f_(1,k,j) (2≤j < k ≤n) où (1, i) (resp. (1, j, k), (1, k, j)) désigne la transposition (resp. les 3-cycles) selon les notations usuelles.

e) En déduire que A_H = End_K(H).

f) Déterminer le commutant de Γ dans End_K(E).

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