ANALYSE NUM´ ER IQ UE MAT R IC IELLE

ANALYSE NUM´ ER IQ UE MAT R IC IELLE

Ex e rc ic e 1 3 .1 .1 Montrer que

1 . kAk2 =kA^∗k2= m a x im um d es v a leurs sing uli`eres d e A, 2 . kAk1 = m a x1≤j≤n(Pn

i= 1|aij|), 3 . kAk∞ = m a x1≤i≤n

Pn

j= 1|aij| .

C o rre c tio n .

1. T o u t d ’a b o rd , o n ra p p e lle q u e le s v a le u rs sin g u li`e re s d e Aso n t le s ra c in e s c a rr´e d e s v a le u rs p ro p re s d e la m a tric e sy m ´e triq u e A^∗A. P a r d ´e fi n itio n , o n a

kAk2=

m a x

x∈Cⁿ,x6= 0

(Ax)^∗·Ax x^∗·x

¹/2

.

A in si,

kAk2 =

m a x

x∈Cⁿ,x6= 0

(A^∗Ax)^∗·x x^∗·x

¹/2

e st b ie n le m a x im u m d e s v a le u rs sin g u li`e re s d e A (la m a tric e A^∗A e st sy m ´e - triq u e , p o sitiv e e t d ia g o n a lisa b le ).

O n a p o u r to u t x∈ Cⁿ,

kxk2 = su p

y∈Cⁿ,kyk₂≤1

|x·y|.

A in si,

kAxk2= su p

y∈Cⁿ,kyk₂≤1

|Ax·y|= su p

y∈Cⁿ,kyk₂≤1

|x·A^∗y| ≤ kxk2kA^∗k2.

O n e n d ´e d u it q u e kAk2≤ kA^∗k2 e t fi n a le m e n t kAk2=kA^∗k2. 2 .

kAk1 = m a x

x∈C,x6= 0

kAxk1

kxk1

= m a x

x∈C,x6= 0

P

i

P

ka_ikx_k P

k|xk| . P o u r to u t in d ic e j, e n ch o isissa n t xk =δ^k_j, o n o b tie n t

kAk¹≥X

i

|aij|.

D e p lu s,

kAk1 = m a x

x∈C,x6= 0

P

i

P

jaijxj

P

j|xj| ≤ m a x

x∈C,x6= 0

P

i,j|aij||xj| P

j|xj|

= m a x

x∈C,x6= 0

P

j(P

i|aij|)|xj| P

j|xj| ≤m a x

j

X

i

|aij|.

3 . O n a

kAk∞ = m a x

x∈C,x6=0



 m a xk

P

ja_k,jx_j m a x_k|x_k|



.

S o it i∈ { 1,· · · n}e t x∈Cⁿ te lle q u e p o u r to u t in d ic e j, xj so it ´e g a l a u sig n e d e a_i,j. O n d ´e d u it d e l’e x p re ssio n p r´e c´e d e n te q u e

kAk∞ ≥m a x

i

X

j

|ai,j|

! .

R ´e c ip ro q u e m e n t,

kAk∞ ≤ m a x

x∈C,x6=0

m a xiP

j|ai,j||xj| m a xi|xi|

≤m a x

i

X

j

|ai,j|.

Exercice 13.1.2 Soit une matriceA∈ M n(C). V ´erifi er q ue 1 . c o n d (A) = c o n d (A⁻¹)≥1, c o n d (αA) = c o n d (A)∀α6= 0, 2 . p our une matrice q uelconq ue, c o n d2(A) = ^µ_µ^n(A)

1(A), o`u µ1(A), µ<sub>n</sub>(A)sont resp ecti- v ement la p lus p etite et la p lus g rand e v aleur sing uli`ere d eA,

3 . p our une matrice normale, c o n d2(A) = ^|λ_|λ^n(A)|

1(A)|, o`u|λ1(A)|,|λn(A)|sont resp ecti- v ement la p lus p etite et la p lus g rand e v aleur p rop re en mod ule d e A,

4 . p our toute matrice unitaire U, c o n d2(U) = 1,

5 . p our toute matrice unitaire U, c o n d2(AU) = c o n d2(U A) = c o n d2(A).

C o rrectio n . 1.

c o n d (A) = kAkkA⁻¹k=kA⁻¹kkAk= c o n d (A⁻¹).

D e p lu s d ’a p r`e s le s p ro p ri´e t´e s ´e l´e m e n ta ire s d e s n o rm e s su b o rd o n n ´e e s, c o n d (A) =kAkkA⁻¹k ≥ kAA⁻¹k=kId k= 1.

E n fi n , c o n d (αA) =kαAkk(αA)⁻¹k=|α||α|⁻¹kAkkA⁻¹k= c o n d (A).

2 . D ’a p r`e s l’E x e rc ic e 13 .1.1, kAk2 e st la p lu s g ra n d e v a le u r sin g u li`e re d e A.

C o m m e le s v a le u rs sin g u li`e re s d e A<sup>−1</sup> so n t le s in v e rse s d e s v a le u rs sin g u li`e re s d e A, o n e n d ´e d u it q u e c o n d2(A) = ^µ_µ^n(A)

1(A).

3 . P o u r u n e m a tric e n o rm a le (d o n c d ia g o n a lisa b le ), le s v a le u rs sin g u li`e re s so n t le s m o d u le s d e s v a le u rs p ro p re s. A in si, d ’a p r`e s le p o in t p r´e c´e d e n t, p o u r to u te m a tric e n o rm a le o n a e n c o re c o n d2(A) = ^|λ_|λ^n(A)|

1(A)|.

4 . P o u r u n e m a tric e u n ita ire ,kUk2=kU⁻¹k2 = 1. A in si, c o n d2(U) = 1.

5 . S iU e st u n e m a tric e u n ita ire , o n a

(AU)(AU)^∗=AU U^∗A^∗=AA^∗ e t (U A)^∗(U A) =A^∗A.

A in si, la p lu s g ra n d e v a le u r sin g u li`e re d e Ae st ´e g a le `a la p lu s g ra n d e v a le u r sin g u li`e re d e U Ata n d is q u e la p lu s g ra n d e v a le u r sin g u li`e re d e A^∗ e st ´e g a le `a la p lu s g ra n d e v a le u r sin g u li`e re d e (AU)^∗. O n a d o n c

kAUk2 =k(AU)^∗k2 =kA^∗k2 =kAk2=kU Ak2.

D e p lu s, c o m m e (AU)⁻¹ e t (U A)⁻¹ so n t le p ro d u it (`a g a u ch e e t `a d ro ite ) d e A⁻¹ a v e c la m a tric e u n ita ire U^∗, o n a ´e g a le m e n t

k(AU)⁻¹k2 =kA⁻¹k2 =kAk2 =k(U A)⁻¹k2. O n e n d ´e d u it q u e c o n d2(AU) = c o n d2(U A) = c o n d2(A).

Exercice 13.1.3 Montrer que le conditionnement de la matrice de rigidit´eKh, donn´ee p ar (6.12) p our la m´eth ode des ´el´ements fi nis P1 ap p liqu´ee au L ap lacien, est

c o n d2(Kh)≈ 4

π²h². (13 .1)

O n montrera que les v aleurs p rop res deKh sont λk = 4h⁻¹sin²

kπ 2 (n+ 1)

1 ≤k≤n,

p our des v ecteurs p rop res u^k donn´es p ar leurs comp osantes u^k_j = sin

jkπ n+ 1

1≤ j, k≤n.

C o rrectio n . D a n s u n p re m ie r te m p s, o n v ´e rifi e q u e le s v e c te u rsu^k so n t le s v e c te u rs p ro p re s d e Kh. O n a

(Khu^k)j =h⁻¹(−u^k_j−1+ 2u^k_j −u^k_{j+ 1})

=h⁻¹

sin

(j−1)kπ n+ 1

+ 2 sin

jkπ n+ 1

−sin

(j+ 1)kπ n+ 1

= (2ih)⁻¹

−e^{i(j−1 )k πn+ 1} + 2e^{i(j)k πn+ 1} −e^{i(j−1 )k πn+ 1} −e^{−i(j−1 )k πn+ 1} + 2e^{−i(j)k πn+ 1} −e^{−i(j−1 )k πn+ 1}

= (2ih)⁻¹

e^{ijk πn+ 1} −e^{−ijk πn+ 1} −e^{n+ 1ik π} + 2 −e^{−ik πn+ 1}

= 4h⁻¹sin

jkπ n+ 1

sin²

kπ 2 (n+ 1)

= 4h⁻¹sin²

kπ 2 (n+ 1)

u^k_j. L a m a tric e Kh ´e ta n t n o rm a le ,

c o n d2(Kh) =|λn(Kh)|/|λ1(Kh)|.

L a p lu s g ra n d e v a le u r p ro p re d e K_h e st 4h⁻¹sin²(nπ/2 (n+ 1)) ≈ 4h⁻¹ e t la p lu s p e tite 4h⁻¹sin²(π/2 (n+ 1))≈4h⁻¹(π/2 (n+ 1))² =hπ². L a m a tric e K_h ´e ta n t n o r- m a le , le c o n d itio n n e m e n t d e K_h e st

c o n d₂(K_h)≈ 4h⁻¹ hπ² = 4

π²h².

Exercice 13.1.4 Montrer que les factorisations LU et de Cholesky conservent la struc- ture b ande des m atrices.

C o rrectio n . C o n sid ´e ro n s le c a s d e la fa c to risa tio n L U . S o it A u n e m a tric e b a n d e d e d e m i la rg e u r d e b a n d e p. O n ra iso n n e p a r r´e c u rre n c e a fi n d e p ro u v e r q u e le s m a tric e sL e t U so n t ´e g a le m e n t d e s m a tric e s b a n d e d e d e m i la rg e u r d e b a n d e p. L e s c o m p o sa n te s d e s m a tric e s L e t U so n t d ´e te rm in ´e e s e n fo n c tio n d e s c o m p o sa n te s d e Ac o lo n n e s p a r c o lo n n e s. S u p p o so n s q u e le s j−1 p re m i`e re s c o lo n n e s d e L e t U so it d e d e m i la rg e u r d e b a n d e p. L e s c o m p o sa n te s d e la j `e m e c o lo n n e d e U so n t d ´e fi n ie s p o u r 1≤i≤j p a r

ui,j =ai,j −

i−1

X

k= 1

li,kuk,j.

L a m a tric e A´e ta n t u n e m a tric e b a n d e d e d e m i-la rg e u r p, o n a ai,j = 0 p o u r to u t i te ls q u e j > i+p. P a r u n e (n o u v e lle ) r´e c u rre n c e (su r i c e tte fo is), o n e n d ´e d u it q u e ui,j = 0 p o u r to u t i te l q u e j > i+p. A in si, la j`e m e c o lo n n e d e U e st c e lle d ’u n e m a tric e b a n d e c re u se d e d e m i la rg e u r d e b a n d e p. L a j`e m e c o lo n n e d e L e st d ´e te rm in ´e e p o u r j+ 1≤i≤n p a r

li,j = ai,j−P_j−1

k= 1li,kuk,j

uj,j

.

D ’a p r`e s l’h y p o th `e se d e r´e c u rre n c e su r la stru c tu re b a n d e d e s j p re m i`e re s c o lo n n e s d e L, o n a li,k = 0 d `e s q u e i−k > p. A in si, le te rm e d e so m m e a p p a ra issa n t d a n s l’e x p re ssio n d e li,j e st n u l d `e s q u e i−(j−1)> p e t e n p a rtic u lie r d `e s q u e i−j > p.

A in si,li,j = 0 d `e s q u e i−j > pe t le s j p re m i`e re s c o lo n n e s d e Lo n u n e stru c tu re d e m a tric e b a n d e d e d e m i la rg e u rp. C e c i a ch `e v e la r´e c u rre n c e e t p ro u v e q u e la stru c tu re b a n d e e st c o n se rv ´e e p a r la fa c to risa tio n L U . L a m a tric e B issu e d e la fa c to risa tio n d e C h o le sk y n ’e st a u tre q u e le p ro d u it d e L p a r u n e m a tric e d ia g o n a le , si L e st u n e m a tric e b a n d e ,B l’e st ´e g a le m e n t. L a fa c to risa tio n d e C h o le sk y c o n se rv e d o n c

´e g a le m e n t la stru c tu re b a n d e .

Exercice 13.1.5 Montrer que, p our une m atrice b ande d’ordre n et de dem ie larg eur de b ande p, le com p te d’op ´erations de la factorisation LU est O(np²/3 ) et celui de la factorisation de Cholesky est O(np²/6 ).

C o rrectio n . V o ir le s re m a rq u e s d u r´e p e rto ire ... N ’y a u ra it-il p a s u n e e rre u r d ’´e n o n - c´e ?

Exercice 13.1.6 Soit A u n e m a tric e h e rm itie n n e d ´e fi n ie p ositiv e . M on tre r q u e p ou r tou tω ∈ ]0,2[, la m ´e th od e d e re la x a tion c on v e rg e .

C o rrectio n . L a m a tric e A´e ta n t h e rm itie n n e d ´e fi n ie p o sitiv e , sa d ia g o n a le D e st c o n stitu ´e e d e r´e e ls stric te m e n t p o sitif. L a m a tric e M = D/ ω −E e st d o n c in v e r- sib le e t la m ´e th o d e d e re la x a tio n c o rre c te m e n t d ´e fi n ie . D e p lu s, d ’a p r`e s le s L e m m e s 13.1.2 6 e t 13.1.2 7, la m ´e th o d e d e re la x a tio n e st c o n v e rg e n te d `e s q u e M^∗+N e st d ´e fi n ie p o sitiv e . O r

M^∗+N = 2−ω ω D, q u i e st d ´e fi n ie p o sitiv e p o u r to u t ω ∈]0,2[.

Exercice 13.1.7 M on tre r q u e , p ou r la m ´e th od e d e re la x a tion , on a tou jou rs

ρ(M⁻¹N)≥ |1−ω|, ∀ω 6= 0, e t d on c q u ’e lle n e p e u t c on v e rg e r q u e si 0< ω < 2.

C o rrectio n . L e v e c te u r e1 = (1,0,· · ·,0) e st u n v e c te u r p ro p re d e M⁻¹N d e v a le u r p ro p re 1−ω. A in si,ρ(M⁻¹N)≥ |1−ω|e t la m ´e th o d e d e re la x a tio n n e p e u t c o n v e rg e r q u e p o u r ω ∈]0,2[.

Exercice 13.1.8 Soit A u n e m a tric e sy m ´e triq u e d ´e fi n ie p ositiv e . Soit (x^k)0≤k≤n la su ite d e solu tion s a p p roc h ´e e s ob te n u e s p a r la m ´e th od e d u g ra d ie n t c on ju g u ´e . O n p ose rk =b−Axk e tdk =xk+ 1−xk. M on tre r q u e

(i) l’e sp a c e d e K ry lov Kk e st a u ssi ´e g a l `a

Kk = [r0, ..., rk] = [d0, ..., dk], (ii) la su ite (r^k)0≤k≤n−1 e st orth og on a le

r^k ·r^l= 0 p ou r tou t0≤ l < k ≤n−1, (iii) la su ite (dk)0≤k≤n−1 e st c on ju g u ´e e p a r ra p p ort `a A

Adk·dl = 0p ou r tou t 0≤l < k ≤n−1.

C o rrectio n .

(i) O n ra p p e lle q u e rk e st d ´e fi n ie p a r rk =r0−Ayk⊥Kk−1, o `u yk ∈Kk−1. O n a Ayk ∈Kk. A in si,rk ∈ Kk e t (r0,· · · , rk) e st u n e fa m ille d e Kk. R e ste `a m o n - tre r q u e c e tte fa m ille e st g ´e n ´e ra tric e . O n ra iso n n e p a r r´e c u rre n c e . S u p p o so n s q u e K^k−1= [r0,· · · , r^k−1]. S ir^k n ’a p p a rtie n t p a s `a K^k−1, o n a

d im ([r0,· · ·, r^k]) = d im ([r0,· · · , r^k−1]) + 1 = d im (K^k−1) + 1≥ d im (K^k).

L ’e sp a c e [r0,· · · , rk] ´e ta n t in c lu s d a n s Kk e t d e m ˆe m e d im e n sio n , ils so n t

´e g a u x . R e ste `a c o n sid ´e re r le c a s o `u r^k a p p a rtie n t `a K<sup>k</sup>−1. C o m m e r<sup>k</sup> e st o r- th o g o n a l `a K^k−1, o n a d a n s c e c a sr^k = 0 e tr0=Ay^k. O ry^k ∈ [r0,· · · , A^k−1r0].

A in si, r0 ∈ [Ar0,· · · , A^kr0]. L a fa m ille (r0,· · ·A^kr0) n ’e st p a s lib re e t Kk e st u n e sp a c e d e d im e n sio n stric te m e n t in f´e rie u re `a k. D a n s c e c a s, o n a

Kk =Kk−1= [r0,· · ·, rk−1] = [r0,· · · , rk].

C o m m e yk a p p a rtie n t `a Kk−1, le v e c te u r dk = yk+ 1−yk a p p a rtie n t `a Kk. A in si, [d0, . . . , dk] e st u n so u s e sp a c e d e Kk. S u p p o so n s q u e p o u r u n kd o n n ´e , o n a it Kk−1= [d0, . . . , dk−1]. S iyk+ 1n ’a p p a rtie n t p a s `a Kk−1,dk n ’a p p a rtie n t p a s `a Kk−1 e t Kk = [d0, . . . , dk]. D a n s le c a s c o n tra ire (yk+ 1 a p p a rtie n t `a Kk−1), o n a yk = yk+ 1 e t rk+ 1 = rk. E n p a rtic u lie r, rk+ 1 a p p a rtie n t `a Kk e t e st o rth o g o n a l `a Kk. O n a d o n c rk+ 1= 0. O n e n d ´e d u it q u e rk e st n u l e t q u e Kk =Kk−1. O n a d o n c a n o u v e a u Kk = [d0, . . . , dk].

(ii) L e v e c te u r rk e st o rth o g o n a l `a Kk−1 = [r0, . . . , rk−1].

(iii) O n a hA⁻¹r0−yk, yiA = 0 p o u r to u t y ∈Kk−1. A in si, hyk+ 1−yk, yiA = 0 p o u r to u t y ∈Kk−1. E n d ’a u tre s te rm e s,

hdk, yiA = 0, ∀y ∈[d0, . . . , dk−1].

Exercice 13.1.9 Si on consid`ere la m´ethode du gradient conjugu´e comme une m´ethode directe, montrer q ue dans le cas le p lus d´efav orab le,k0=n−1, le nomb re d’op ´erations (multip lications seulement) p our r´esoudre un sy st`eme lin´eaire estNo p=n³(1 +o(1)).

C o rrectio n . A ch a q u e it´e ra tio n s, o n e ff e c tu e d e l’o rd re d e n² o p ´e ra tio n s, l’e sse n tie l d u te m p s ´e ta n t c o n sa c r´e a u c a lc u l d e Apk. D a n s le c a s le p lu s d ´e fa v o ra b le , l’a lg o - rith m e c o n v e rg e a u b o u t d e nit´e ra tio n s. D a n s c e c a s, le n o m b re d ’it´e ra tio n s e st d e l’o rd re d e n³.

Exercice 13.1.10 O n note av ec un tilde˜·toutes les q uantit´es associ´ees `a l’algorithme du gradient conjugu´e ap p liq u´e au sy st`eme lin´eaire (13.12). Soit xk = B^−∗x˜k, rk = B˜rk = b−Axk, et pk = B^−∗p˜k. M ontrer q ue l’algorithme du gradient conjugu´e p our (13.12) p eut aussi s’´ecrire sous la forme

initialisation







choix initial x0

r0 =b−Ax0

p0 =z0=C⁻¹r0

it´erations k ≥1



















αk−1= _Ap^zk_k^−1·rk−1

−1·pk−1

xk =xk−1+αk−1pk−1

rk =rk−1−αk−1Apk−1

zk =C⁻¹rk

βk−1 = _zk^zk·rk

−1·rk−1

pk =zk+βk−1pk−1

o`u C =BB^∗.

Correction. L ’a lg o rith m e d u g ra d ie n t c o n ju g u ´e a sso c i´e `a (1 3 .1 2) c o n siste `a c a l- c u le r it´e ra tiv e m e n t

αk−1= _A˜˜p^k˜rk−1k2

k−1·p˜k−1

˜

xk = ˜xk−1+αk−1p˜k−1

˜

rk = ˜rk−1−αk−1A˜˜pk−1

βk−1= _k˜^k˜_r^rkk2

k−1k²

˜

pk = ˜rk+βk−1p˜k−1.

E n u tilisa n t le s e x p re ssio n s d e xk, rk e t pk e n fo n c tio n d e ˜xk, ˜rk e t ˜pk, o n o b tie n t αk−1= ^kB_Ap^−1rk−1k2

k−1·pk−1 = ^C_Ap^{−1rk−1.rk−1}

k−1·pk−1

xk =B^−∗ x˜k =xk−1+αk−1pk−1

rk =B˜rk =rk−1−αk−1Apk−1

βk−1= _kB^kB₋₁⁻¹_r^rkk2

k−1k² = _C−1^C−1_r ^rk·rk

k−1·rk−1

pk =B^−∗ p˜k =C⁻¹rk+βk−1pk−1.

L ’a lg o rith m e d u g ra d ie n t p r´e c o n d itio n n ´e s’´e c rit d o n c b ie n so u s la fo rm e a n n o n c´e e .

E x ercice 1 3 .1 .1 1 Soit Ala m a tric e d ’ord re n issu e d e la d isc r´e tisa tion d u L a p la c ie n e n d im e n sion N = 1 a v e c u n p a s d ’e sp a c e c on sta n t h= 1/(n+ 1)

A=h⁻¹

















2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1 . .. ...

0 . .. ... ... 0

... . .. −1 2 −1

0 · · · 0 −1 2















 .

M on tre r q u e p ou r la v a le u r op tim a le ωo pt = 2

1 + 2 sin _2n^π '2(1− π n+ 1) le c on d ition n e m e n t d e la m a tric e C_ω⁻¹Ae st m a jor´e p a r

c o n d2(C_ω⁻¹A)≤ 1

2 + 1

2 sin _{2(n+ 1)}^π ,

e t d on c q u e , p ou rn g ra n d , on g a g n e u n ord re e n n d a n s la v ite sse d e c on v e rg e n c e . Correction. O n n o te Bω la m a tric e d ´e fi n ie p a r

Bω= r ω

2−ω D

ω −E

D^−1/2. O n a Cω=BωB_ω^T. A in si,

C_ω⁻¹A=B_ω^−TB_ω⁻¹A=B_ω^−T(B_ω⁻¹AB_ω^−T)B_ω^T =B_ω^−TA˜ωB_ω^T,

o `u ˜Aω =B_ω⁻¹AB_ω^−T. L e s m a tric e s C_ω⁻¹Ae t ˜Aω ´e ta n t se m b la b le s, e lle s o n t le s m ˆe m e s v a le u rs p ro p re s e t

c o n d2(C_ω⁻¹A) = c o n d2( ˜Aω) = kA˜ωk2kA˜⁻_ω¹k2.

A fi n d e d ´e te rm in e r u n e m a jo ra tio n d u c o n d itio n n e m e n t, il su ffi t d e m a jo re r kA˜ωk2

e t kA˜⁻_ω¹k2. O n a kA˜ωk² = m a x

x6= 0

hA˜ωx, xi

hx, xi = m a x

x6= 0

hB⁻_ω¹AB_ω^−Tx, xi

hx, xi = m a x

x6= 0

hAB_ω^−Tx, B_ω^−Txi hx, xi .

E n p o sa n t y =B^−T_ω x, o n e n d ´e d u it q u e kA˜ωk2 = m a x

y6= 0

hAy, yi

hB_ω^Ty, B_ω^Tyi = m a x

y6= 0

hAy, yi

hB_ω^−TB_ω^Ty, yi = m a x

y6= 0

hAy, yi hCωy, yi. D e m ˆe m e , o n a

kA˜⁻_ω¹k2= m a x

y6= 0

hCωy, yi kA˜ωk2

.

A in si,

c o n d2(C_ω⁻¹A) = m a x

x6= 0

hAx, xi hCωx, xi m in

x6= 0

hAx, xi hCωx, xi

!−1

.

Il re ste `a d ´e te rm in e r u n e n c a d re m e n t

0< α ≤ hAx, xi hCωx, xi ≤ β.

M a jo ra tio n . O n d ´e c o m p o se Cω so u s la fo rm e Cω =A+ ω

2−ωFωD⁻¹F_ω^T, a v e c Fω = ^ω−_ω¹D−E. P o u r to u t x6= 0, o n a

2−ω

ω h(Aω−C)x, xi=−hFωD⁻¹F_ω^Tx, xi=−hD⁻¹F_ω^Tx, F_ω^Txi ≤0, p u isq u e la m a tric e D⁻¹ e st d ´e fi n ie p o sitiv e . Il e n d ´e c o u le q u e β = 1.

M in o ra tio n . O n ´e c rit c e tte fo is (2−ω)Cω=A+aD+ωG a v e c G =ED⁻¹E^T − D

4 e t a= (2−ω)²

4ω .

P o u r x6= 0, o n c a lc u le le ra p p o rt (2−ω)hCωx, xi

hAx, xi = 1 +ahDx, xi

hAx, xi +ωhGx, xi hAx, xi.

P u isq u e hGx, xi=−^|x_2h^1|2, o n a (2−ω)hCωx, xi

hAx, xi ≤1 +ahD x, xi

hAx, xi = 1 + 2a h

kxk²

hAx, xi ≤ 1 + 2a hλ_{m in}(A),

o `u λm in(A) = 4h⁻¹sin² _{2(n+ 1)}^π e st la p lu s p e tite v a le u r p ro p re d e A. O n p e u t d o n c p re n d re

α = (2−ω)

1 + a

2 sin²_{2(n+ 1)}^π

−1

=

1

2−ω + 2−ω

2ωsin²_{2(n+ 1)}^π

−1

. e t

c o n d2(C_ω⁻¹A)≤ 1

2−ω + 2−ω

2ωsin² _{2(n+ 1)}^π .

L a m in im isa tio n d u te rm e d e d ro ite p a r ra p p o rt `a ω c o n d u it `a la v a le u r o p tim a le ωo p t = 2

1 + 2 sin _2n^π '2(1− π n+ 1) e t `a la m a jo ra tio n

c o n d2(C_ω⁻¹A)≤ 1

2 + 1

2 sin _{2(n+ 1)}^π ,