Cédric Richard
Méthode de blanchiment simultané
Exercice 1
On considère un vecteur aléatoirexde dimensionp, de moyennemet de matrice de variance- covarianceΣ. On effectue la transformation suivante :
z=x−m
On sait trouver une transformation linéaireΦdeztelle que la matrice de variance-covariance dez0 =Φ>z, notée Λ, soit diagonale. Les termes deΛ sont les valeurs propres deΣ, et la matriceΦest construite à partir des vecteurs propres deΣ.
1. Montrer que le vecteur aléatoirez0 est d’espérance nulle.
2. Définir une transformation P de z0 en y, notée y = P>z0, de sorte que la matrice de variance-covariance de ysoit la matrice identité I. Cette opération est appelée un blanchiment.
3. On considère maintenant deux classes ω1 et ω2 caractérisées respectivement par les vecteurs moyennesm1etm2, et par les matrices de variance-covarianceΣ1etΣ2. On suppose que :
m1=m2=0
On définit une transformationA:x→y=A>xtelle que Σy=I
six∈ω1. Donner la matrice de variance-covarianceK dey=A>xsix∈ω2. 4. On applique une transformation orthogonale pour diagonaliserK, définie par
u=Ψ>y Λ0=Ψ>KΨ
Donner alors la nouvelle matrice de variance-covariance deulorsquexest un élément de la classeω1.
5. Définir la transformation globale appliquée àx. On désigne parBla matrice de cette transformation. Le résultat s’appelle un blanchiment simultané des2 classes.
6. Montrer que les termes de Λ0 sont les valeurs propres de Σ−11 Σ2, et que B> est la matrice des vecteurs propres de cette même matrice.
7. Conclure sur l’intérêt de cette méthode.
8. Soit la matriceS définie parS=E{xx>}. CalculerS−1en fonction deΣ−1 et dem
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