Université de Rouen L2 Math / L2 Info Année 2014-2015
Algèbre. Fiche n◦3 Groupe Symétrique
Exercice 1. [•]
DansS4 on considère les permutationsσ1 etσ2suivantes : σ1=
1 2 3 4 2 4 1 3
et σ2=
1 2 3 4 3 2 1 4
. Déterminerσ1◦σ2puisσ2◦σ1, et préciserσ−11 et σ2−1.
Exercice 2. [•]
(1) La composée de deux transpositions est-elle toujours une transposition ?
(2) Existe-t-il des éléments deSn qui soient des involutions mais pas des transpositions ? Exercice 3.
On dit quesest une permutation circulaire quand il existea∈ {1, . . . ,n}tel que{1, . . . ,n}= {a, . . . , sn−1(a)}
(1) Démontrer que sn(a) =a.
(2) En déduire sn+k(a)pour tout entier naturelk.
(3) Montrer que pour tout x∈ {1, . . . , n}on a{1, . . . ,n}={x, . . . ,sn−1(x)}.
Exercice 4. [•]
Soit la permuationσ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10 6 4 2 1 7 5 8 9
. (1) Décomposerσen produit de cycles disjoints.
(2) En déduire au moins deux décompositions deσen produit de transpositions.
(3) Calculer la signature deσpar plusieurs méthodes.
Exercice 5. [•]
Mêmes questions qu'à l'exercice précédent avec la permuation σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 9 5 10 8 1 4 7 2
. Exercice 6.
Décomposer les permutations suivantes en produit de cycles disjoints et donner leur ordre.
a=
1 2 3 4 5 6 7 5 6 4 7 3 2 1
, b=
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2 7 8 6 5
et c=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 8 9 4 5 2 1 6
. Calculera234, b163 etc1243.
Exercice 7. [•]
Dans le groupeS10, on considère les permutations suivantes : s=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 5 1 2 4 6 10 9 7 8
, t= (1 2)(2 4 7)(8 2)(3 4)(2 6)(3 9)(5 10 8)(1 7 5) et u= (1 4)(3 6 7 9).
(1) Décomposerset ten produit de cycles disjoints.
(2) Déterminer la signature et l'ordre desett. (3) Déterminer s100et t92.
(4) Déterminer s◦tet la décomposer en produit de cycles disjoints.
(5) Déterminer v=u◦t−1◦s◦t. Donner sa signature et son ordre.
(6) Quel est le sous-groupe engendré parv?
2
Exercice 8.
Dresser la liste de tous les éléments des groupes symétriquesS1,S2 etS3. Déterminer la signa- ture de ces éléments. Trouver trois morphismes de groupes injectifs deS2dansS3et un morphisme de groupes surjectif deS3dansS2. Déterminer le noyau de tous ces morphismes.
Exercice 9.
Soient les quatre permutationsσ1, σ2,σ3 et σ4 dansS5dénies par : σ1=
1 2 3 4 5 3 1 4 2 5
, σ2=
1 2 3 4 5 5 4 1 2 3
, σ3=
1 2 3 4 5 5 3 4 2 1
et σ4=
1 2 3 4 5 5 4 1 3 2
. (a) Décomposerσ1, σ2,σ3 et σ4 en produits de cycles disjoints.
(b) Déterminer la signature et l'ordre des permutationsσ1, σ2,σ3et σ4. (c) Calculerσ1119,σ2217, σ32045et σ47436.
Exercice 10.
On considère les permutations suivantes deS4 :σ1=
1 2 3 4 2 1 3 4
, σ2=
1 2 3 4 1 2 4 3
et τ =
1 2 3 4 2 3 4 1
.
On poseG={id4, σ1, σ2, σ1σ2}et H=
id4, τ, τ2, τ3 . (1) Déterminer l'ordre et la signature deσ1 deσ2et de τ
(2) Montrer queGetH sont des sous-groupes deS4. Indiquer un groupe additif isomorphe à Get un groupe additif isomorphe àH. Les groupes Get H sont-il isomorphes ?
(3) Déterminer l'ensemble des sous-groupes deA4 (lui même le sous-groupe des permutations paires deS4).
Exercice 11. [•]
(1) Soienta, b, ctrois éléments distincts de{1, . . . , n}. Calculer le produit(a b)(b c)(a b). (2) En déduire queSn est engendré par les permutations{(1 i)}2≤i≤n.
(3) Montrer queSn est engendré par les transpositions simples{(i i+ 1)}1≤i≤n−1. (4) Montrer queSn est engendré par(1 2)et(1 2 3 . . . n).
(5) DansS5, décomposerσ= (2 5 3 4)en produit de transpositions de la forme(1i)puis de la forme(i i+ 1)aveci∈ {1,2,3,4}.
Exercice 12. [•]
Considérons le groupe symétrique (S3,◦) ainsi que le sous groupe, noté H, engendré par la transposition(1 2). Soit la relationRsurS3dénie parσ1Rσ2 si et seulement siσ−11 ◦σ2∈H.
(a) Montrer queRest une relation d'équivalence et déterminer toutes les classes d'équivalence.
(b) Calculer les permutations suivantes :
σ= (2 3)◦(1 3) et τ=
1 2 3 3 1 2
◦
1 2 3 2 3 1
. A-t-onσRτ?
(c) L'expression cl(x)?cl(y) =cl(x◦y)dénit-elle une loi de composition interne surS3/R= S3/H?
