Dérivées Exercice 1

Dérivées

Exercice 1 : On considère une fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : 1. f ( 2) 3 ; f ( 2) 6 ; f (1,5) 0 et f (0) 4.

2. La tangente à la courbe de f au point E d abscisse 2 a pour équation y f ( 2)(x 2) f( 2), soit y 6(x 2) 3, c'est-à-dire y 6x 15.

3.

Exercice 2 :

1. f est dérivable sur \{5}.

Pour tout x différent de 5, on pose u(x ) 2x 1et v (x ) x 5. On a alors u (x ) 2 et v ( x) 1 Ainsi, pour tout x différent de 5, on a f (x) 2( x 5) ( 2 x 1)1

(x 5)

5 9 5(x 5)²

(x 5)²

5x ² 50 x 134 (x 5)² . 2. g est dérivable sur ]0 [.

Pour tout x 0, on pose u(x ) 3 x

x et v (x) x . On a alors u (x) 9x ² 1 et v ( x) 1 2 x Ainsi, pour tout x 0, on a g (x ) (9x ² 1) x ( 3 x

x ) 1

2 x (9x ² 1) x (3 x² 1)x 1 2 x (9x ² 1) x (3x ² 1) x

2 x  

  9x ² 1 ^{3 x²}

2 1 2

x (21 x² 3) 2 3. On résout x² 2 x 1 0 : x² 2 x 1 (x 1)² donc la valeur interdite est 1.

Pour tout x différent de 1, h (x) 3 1 x ² 2x 1

Pour tout x différent de 1, on pose u(x ) x ² 2x 1. On a alors u (x ) 2x 2.

Ainsi, pour tout x différent de 1, on a h (x ) 3

 

 

(2x 2)

(x² 2x 1)

= 6 x 6 (x 1)

. Exercice 3 :

Soit f la fonction définie sur par f(x ) 3 x 1

x ² 2 . On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère.

1. T a pour équation y f (0)(x 0) f(0).

f(0) 3 0 1 0² 2

1 2 .

f est dérivable sur comme fonction rationnelle définie sur . Pour tout réel x, on a f (x ) 3( x ² 2) 2x (3x 1)

(x ² 2)

. Alors f (0) 6 4

3 2 Ainsi T a pour équation y 3

2 (x 0) 1

2 , c'est-à-dire y 3 2 x 1

2 . 2. On étudie le signe de f(x )  

 

3 2 x ¹

2 . f(x )  

 

3 2 x ¹

2

3 x 1 x ² 2

3 x 1 2

(3x 1)2 (3x 1)( x ² 2) 2(x ² 2)

(3x 1)(2 (x ² 2))

2(x ² 2) = x ²(3x 1) 2(x ² 2) . On peut alors construire le tableau suivant :

x 1/3 0 + x²

3 x 1 2(x ² 2)

x²(3x 1) 2(x ² 2)

Position de C

par rapport à T C

au dessus de T C

en dessous de T C

en dessous de T C

est en dessous de T sur

 

  1

3 0 et sur ]0 [.

C

est en dessus de T sur

 

  1 3 . T est tangente à C

au point d abscisse 0.

T coupe C

au point d abscisse 1

3 .

Exercice 4 :

On considère la fonction f définie sur par f(x ) ax

bx² cx d où a, b et c sont des réels.

 La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des ordonnées au point d ordonnée 12 et admet en ce point une tangente parallèle à l axe des abscisses donc f(0) 12 et f (0) 0.

 4 est un antécédent de 0 par f donc f(4) 0

 La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 2 est parallèle à la droite d’équation y x 3 donc f (2) 1 car deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

f est dérivable sur comme fonction polynôme. Pour tout x de , on a f (x ) 3ax² 2bx c.

f(0) 12 donc a 0

b 0² c 0 d 12, c'est-à-dire d 12.

f (0) 0 donc 3a 0² 2 b 0 c 0, c'est-à-dire c 0.

f (2) 1 donc 3a 2² 2 b 2 c 1, c'est-à-dire 12a 4 b c 1.

f(4) 0 donc a 4

b 4² c 4 d 0, c'est-à-dire 64a 16b 4 c d 0.

On a donc le système (S ) :

 

 ^d _{c 0} ¹²

12a 4b c 1

64a 16b 4 c d 0 .

(S ) 

 

 ^d _{c 0} ¹²

12a 4 b 1 64a 16b 12 0

    ^d _c ¹² ₀

48a 16b 4

64a 16b 12

    ^d _{c 0} ¹²

48a 16b 4

16a 16

    ^d _{c 0} ¹²

a 1

48 16b 4

    ^d _{c 0} ¹²

a 1

b 3,25 f est donc la fonction définie sur par f(x) x

3,25 x² 12.

Probabilités

Exercice 5 : Nombre de sports pratiqués

0 1 2 3 4 5 6

Part des lycéens interrogés

35,6% 23,1% 20,5% a 7,2% 0,4% 0,1%

On interroge au hasard un lycéen et on considère la variable aléatoire X qui associe à chaque lycéen le nombre de sports qu’il pratique.

1. La somme des probabilités des événements élémentaires est 1.

Alors a P(X 3) 1 000,356 0,231 0,205 0,072 0,004 0,001 0,131 2. P(X 4) 0,072 0,004 0,001 0,077.

3. P(X 1) 1 P(X 0) 1 0,356 0,644. La probabilité que l’élève interrogé pratique au moins un sport est 0,644.

4. P(X 3) 1 P(X 4) 1 0,077 0,923. La probabilité que l’élève interrogé pratique au plus trois sports est 0,923.

Exercice 6 :

1. On peut construire l arbre pondéré suivant :

2. P(G ) 0,6 0,15 0,4 0,3 0,21. La probabilité que le poisson devienne gris est 0,21.

3.

A

0,6

M 0,1

R 0,75

G 0,15

B 0,4

M 0,05

R 0,65

G 0,3

a. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

x

15 7 5

P ( ^{X x}

) 0,21 0,71 0,08

b. E( X) 15 0,21 7 0,71 5 0,08 7,72.

Sur un grand nombre de poisson, l animalerie gagne en moyenne 7€72 par poisson.

c. 4,94 d après la calculatrice.

4. L’animalerie vend en moyenne 100 poissons par semaine.

a. 100 7,72 772. L animalerie peut espérer un bénéfice hebdomadaire de 772€.

b. 1000

100 10. On cherche à réaliser un bénéfice de 10€ par poisson.

Soit x le prix d achat du poisson.

On cherche x tel que E(X ) 10.

La loi de probabilité de X est alors :

x

20 x 12 x x

P ( ^{X x}

) ^{0,21 0,71 0,08}

E( X) 10  0,21(20 x) 0,71(12 x ) 0,08x 10  12,72 x 10

 x 2,72

L animalerie devrait acheter chaque poisson 2€72 pour espérer un bénéfice de 1 000 € par semaine.

Exercice 7 :

1. Si Y 3X 100, E( Y) 3 E( X) 100 3 50 100 50.

2. Si Z 1

2 X, V (Z )

 

  1 2

2

V( X) 1

4 16 4.