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(1)12.24 A C T1 T2 Soit T(x;y)un point de tangence

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

12.24

A

C T1

T2

Soit T(x;y)un point de tangence.

1) On sait premièrement que −AT−−−→⊥−CT−−−→ : 0 =−AT−−−→·−CT =−−−→

x+ 3

y+ 1

·

x−4

y+ 2

= (x+ 3) (x−4) + (y+ 1) (y+ 2) =

x2+y2−x+ 3y−10

2) Par ailleurs, la distance entre le point de tangence et le centre du cercle est égale à son rayon : 5 =k−CTk. On en déduit :−−−→

25 =k−CTk−−−→ 2 =

x−4 y+ 2

2

= (x−4)2+ (y+ 2)2 =x2+y2−8x+ 4y+ 20 On en tire la seconde équation : x2+y2−8x+ 4y−5 = 0

Les coordonnées du point de tangence vérifient ainsi ce système : x2 + y2 − x + 3y − 10 = 0

x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0

En soustrayant ces équations, on obtient 7x−y−5 = 0.

On en tire y= 7x−5 que l’on substitue dans la première équation : x2+ (7x−5)2−x+ 3 (7x−5)−10 = 0

x2+ 49x2−70x+ 25−x+ 21x−15−10 = 0 50x2 −50x= 50x(x−1) = 0

1) x= 1 implique y= 7·1−5 = 2, d’où le point de tangence T1(1 ; 2).

2) x= 0donney= 7·0−5 = −5; le second point de tangence estT2(0 ;−5).

Géométrie : produit scalaire Corrigé 12.24

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