1. Soit la fonction ( ) ( )

(1)

Contrôle 2

Note : Observation :

Exercice 1

Partie A

1. Soit la fonction ( ) ( )

Pour étudier les variations de u(x), on cherche à étudier le signe de sa dérivée.

Soit ( )

Comme ] [ Alors on a le tableau de signes de u’(x) et de variations de u(x)

x 0 α

Signe de u’(x) +

Variations de u(x)

0 ( )

Donc par application du théorème sur la somme des limites,

( )

(2)

Donc par application du théorème sur la somme des limites,

( )

2. - ( ) - ( )

- De plus la fonction u est strictement croissante et continue sur l’intervalle ] [.

Alors, par application du théorème de la valeur intermédiaire, on affirme que l’équation ( ) admet une unique solution α comprise entre 2 et 3.

3. ( ) ] [ ] [

Partie B

1. ( ) ( ) [ ( ) ]

( )

Donc par application du théorème sur le produit puis la somme des limites,

( )

2.a) ( ) ( ) [ ( ) ] Avec et ( )

On a

et Alors ( )

( )

[ ( ) ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(3)

2.b) Comme ] [ Le signe de f’(x) dépend du signe de u(x)

Alors on a le tableau de signes de f’(x) et de variations de f(x)

x 0 α

Signe de u(x) - 0 +

Signe de x² 0 +

Signe de f’(x) - 0 +

Variations de f(x)

( )

Donc par application du théorème sur le produit puis la somme des limites,

( )

Partie C

( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )[ ( ) ]

( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Donc le point d’intersection entre C et C’ se trouve pour ( ) ( ) ( )

Or on est sur l’intervalle ] [ Donc

^{( )}

( )

(4)

( )

Donc les coordonnées du point d’intersection entre les courbes C et C’ sont (7,39 ; 2)

Exercice 2

1. Soit l’équation de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 ( )( ) ( )

( )

Donc la droite D

e

d’équation est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. On conjecture que pour tout ] [ alors il y’a deux points d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.

En revanche, pour tout ] [ il n’y a pas de point d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.

Enfin pour , il y a un point d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.

3. a) Soit ( ) On a ( )

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Alors on a le tableau de signes de g

m

’(x) et de variations de g

m

(x)

x ln(m)

Signe de g

m

’(x) - 0 +

Variations de g

m

(x)

( ( ))

Comme ( ) ( )

(5)

Et la fonction g

m

est décroissante puis croissante, alors elle admet un minimum local lorsque ( )

c) Si ( ) ( ( ))

( ( )) et il y a donc deux points d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.

Si ( ) ( ( ))

( ( )) et il n’y a donc pas de point d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.

Si ( ) ( ( ))

( ( )) et il y a donc un point d’intersection entre la courbe C et la droite D

m.