N est l’ensemble des entiers naturels (positifs et sans partie décimale) : N = {0; 1; 2; 3; ...; 122; 123; ...}

(1)

Seconde Chapitre 1 : Repérage dans le plan _2011-2012

1. Ensemble de nombres (a) Les entiers naturels

N est l’ensemble des entiers naturels (positifs et sans partie décimale) : N = {0; 1; 2; 3; ...; 122; 123; ...}

C’est un ensemble infini. Chaque entier naturel n admet un successeur n + 1.

(b) Les entiers relatifs

Z est l’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs et sans partie décimale) : Z = {...; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; ...}

Z contient N ce qui signifie que tout entier naturel est un entier relatif.

(c) Les rationnels

Q est l’ensemble des nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotients de deux entiers relatifs. Parmi les rationnels :

• Certains nombres ont une écriture décimale finie (qui s’arrête) : ce sont les décimaux. Leur ensemble est noté D .

Exemple 1

• D’autres ont une écriture décimale périodique (qui se répète) et infinie : ce sont des rationnels non décimaux.

Exemple 2 (d) Les réels

R est l’ensemble des nombres réels : ce sont les nombres donnant l’abscisse de n’importe quel point sur une droite graduée.

Parmi les réels, certains ne sont pas rationnels, on les qualifie d’irrationnels.

Exemple 3

En résumé :

Les ensembles de nombres sont contenus les uns dans les autres :

On note : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

⊂ signifie : "est inclus dans" ou "est contenu dans".

2. Coordonnées dans un repère (a) Repère

Définition 1 Un repère du plan est la donnée de trois points non alignés O, I et J . La droite (OI ) s’appelle l’axe des abscisses et la droite (OJ) s’appelle l’axe des ordonnées. O est l’origine du repère.

Remarque 1 :

∗ Lorsque le triangle OIJ est rectangle, on dit que le repère est orthogonal.

∗ Lorsque le triangle OIJ est rectangle et isocèle, on dit que le repère est orthonormal. (cas le plus courant en mathématiques)

My Maths Space 1 sur 3

(2)

Seconde Chapitre 1 : Repérage dans le plan _2011-2012

Propriété 1 :

Soit (O, I, J) un repère du plan. A tout point M du plan, on as- socie un unique couple (x

_M

; y

_M

) de nombres réels appelé couple de coordonnées. x

_M

est appelé l’abscisse de M et y

_M

est ap- pelé l’ordonnée du point M .

Exemple 4

O I J

3. Milieu et Distance

(a) Coordonnées du milieu d’un segment Propriété 2 :

Soit A et B deux points de coordonnées respectives (x

_A

; y

_A

) et (x

_B

; y

_B

) dans un repère (O, I, J ).

Le milieu K du segment [AB] a pour abscisse la moyenne des abscisses des points A et B et pour ordonnée la moyenne des ordonnées des points A et B.

En d’autres termes : K est milieu de [AB] ⇔



 



 



x

_K

= x

_A

+ x

_B

2 y

_K

= y

_A

+ y

_B

2 Exemple 5 :

∗ A(3; 4) et B ( − 1; 2). Coordonnées du milieu K ?

∗ C 3; 1

4 et D ₁ 3 ; − 2

. Coordonnées du milieu L ?

∗ E(29; 13) , F(11; − 5) et H (20; 4). H est-il le milieu de [EF ] ?

∗ G( − 2; 5) et N(3; − 4). N est le milieu de [GP]. Quelles sont les coordonnées de P ?

(b) Distance entre deux points dans un repère orthonormal Propriété 3 :

Soit A et B deux points de coordonnées respectives (x

_A

; y

_A

) et (x

_B

; y

_B

) dans un repère orthonormal (O, I, J).

La distance AB se calcule de la manière suivante : AB = p

(x

_B

− x

_A

)

²

+ (y

_B

− y

_A

)

²

Exemple 6 :

Dans un repère orthonormal (O, I, J), A(3; 4) et B( − 1; 2) puis C 3; 1

2 et D ₁ 3 ; − 2

. Calculer AB et CD.

My Maths Space 2 sur 3

(3)

N est l’ensemble des entiers naturels (positifs et sans partie décimale) : N = {0; 1; 2; 3; ...; 122; 123; ...}

Seconde Chapitre 1 : Repérage dans le plan 2011-2012

1. Ensemble de nombres (a) Les entiers naturels

N est l’ensemble des entiers naturels (positifs et sans partie décimale) : N = {0; 1; 2; 3; ...; 122; 123; ...}

C’est un ensemble infini. Chaque entier naturel n admet un successeur n + 1.

(b) Les entiers relatifs

Z est l’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs et sans partie décimale) : Z = {...; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; ...}

Z contient N ce qui signifie que tout entier naturel est un entier relatif.

(c) Les rationnels

Q est l’ensemble des nombres rationnels : ce sont les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotients de deux entiers relatifs. Parmi les rationnels :

• Certains nombres ont une écriture décimale finie (qui s’arrête) : ce sont les décimaux. Leur ensemble est noté D .

Exemple 1

• D’autres ont une écriture décimale périodique (qui se répète) et infinie : ce sont des rationnels non décimaux.

Exemple 2 (d) Les réels

R est l’ensemble des nombres réels : ce sont les nombres donnant l’abscisse de n’importe quel point sur une droite graduée.

Parmi les réels, certains ne sont pas rationnels, on les qualifie d’irrationnels.

Exemple 3

En résumé :

Les ensembles de nombres sont contenus les uns dans les autres :

On note : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

⊂ signifie : "est inclus dans" ou "est contenu dans".

2. Coordonnées dans un repère (a) Repère

Définition 1 Un repère du plan est la donnée de trois points non alignés O, I et J . La droite (OI ) s’appelle l’axe des abscisses et la droite (OJ) s’appelle l’axe des ordonnées. O est l’origine du repère.

Remarque 1 :

∗ Lorsque le triangle OIJ est rectangle, on dit que le repère est orthogonal.

∗ Lorsque le triangle OIJ est rectangle et isocèle, on dit que le repère est orthonormal. (cas le plus courant en mathématiques)

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Seconde Chapitre 1 : Repérage dans le plan 2011-2012

Propriété 1 :

Soit (O, I, J) un repère du plan. A tout point M du plan, on as- socie un unique couple (x

; y

) de nombres réels appelé couple de coordonnées. x

est appelé l’abscisse de M et y

est ap- pelé l’ordonnée du point M .

Exemple 4

O I J

3. Milieu et Distance

(a) Coordonnées du milieu d’un segment Propriété 2 :

Soit A et B deux points de coordonnées respectives (x

; y

) et (x

; y

) dans un repère (O, I, J ).

Le milieu K du segment [AB] a pour abscisse la moyenne des abscisses des points A et B et pour ordonnée la moyenne des ordonnées des points A et B.

En d’autres termes : K est milieu de [AB] ⇔



 



 



x

= x

+ x

2 y

= y

+ y

2 Exemple 5 :

∗ A(3; 4) et B ( − 1; 2). Coordonnées du milieu K ?

∗ C 3; 1

4

et D 1 3 ; − 2

. Coordonnées du milieu L ?

∗ E(29; 13) , F(11; − 5) et H (20; 4). H est-il le milieu de [EF ] ?

∗ G( − 2; 5) et N(3; − 4). N est le milieu de [GP]. Quelles sont les coordonnées de P ?

(b) Distance entre deux points dans un repère orthonormal Propriété 3 :

Soit A et B deux points de coordonnées respectives (x

; y

) et (x

; y

) dans un repère orthonormal (O, I, J).

La distance AB se calcule de la manière suivante : AB = p

(x

− x

)

+ (y

− y

)

Exemple 6 :

Dans un repère orthonormal (O, I, J), A(3; 4) et B( − 1; 2) puis C 3; 1

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Seconde Chapitre 1 : Repérage dans le plan _2011-2012

et D ₁ 3 ; − 2

et D ₁ 3 ; − 2

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