ANNEAU DE FEUILLETAGES D'’UNE VARIETE p-RIEMANNIENNE.

HAL Id: hal-01066563

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01066563v2

Preprint submitted on 2 Feb 2015

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

ANNEAU DE FEUILLETAGES D’�UNE VARIETE p-RIEMANNIENNE.

Hassimiou Diallo

To cite this version:

Hassimiou Diallo. ANNEAU DE FEUILLETAGES D’�UNE VARIETE p-RIEMANNIENNE.. 2014.

�hal-01066563v2�

ANNEAU DE FEUILLETAGES D’UNE VARIETE p RIEMANNIENNE

Hassimiou DIALLO

Email:diallomh@yahoo.fr

Laboratoire de Mathématiques Fondamentales , Ecole Normale Supérieure d’Abidjan,Côte d’Ivoire.

February 1, 2015

Abstract

Here, we establish the link between a structure almost product , a ring of foliations and a ‡ag of foliations , and examine regularity conditions for a structure almost product becomes a product.

Mots-clés: feuilletage riemannien; feuilletage de Lie; feuilletage parallèle;

extension de feuilletage; drapeau de feuilletages; anneau de feuilletages.

MCS:53C12;53R30; 53C40.

Dans tout ce qui suit, les objets considérés sont supposées C¹etpun entier supérieur ou égal à 2. Si nécessaire la variété et les feuilletages seront pris orientables.

Notation 1 Ip=f1; :::; pg,P(Ip)l’ensemble des parties deIp;

p

k=1T_k=T₁ ::: T_p; ^p

k=1 k = ₁ ::: _p; où chaque _i est une bijection d’ un ouvert deT_i sur un ouvert deT_i:

1 STRUCTURE PRESQUE MULTIPRODUIT ET EXTENSION DE FEUILLETAGE.

1.1 Structure presque multiproduit

Dé…nition 2 Une structure de variété presque multiproduit de type p ou une variétépresque p produitsurM est dé…nie par la donnée d’une variété modèle

p

T^k

k=1et d’un atlas tel que pour deux cartes quelconques (Ui; '_i) (Uj; '_j) ,'(Ui)

(resp.'(Uj)) est un produit

p

k=1V_i^k avec V_i^k ouvert deT^k (resp.

p

k=1V_j^k avec V_j^k ouvert de T^k) et pour Ui \Uj 6= ;; le changement de cartes est de la forme '_j '_i¹=

p k=1

k

ij= ¹_ij ::::: ^p_ij:

On remarquera que toute variété presquep produit est une variété presque k produit pour 2 klp:

Dé…nition 3 Une famille …nie de pfeuilletages (Fⁱ)d’une variété M est dite complètesiT M = ^p

i=1TFi,stablesi pour tous 1 i; j p; h

X(Fi);X(Fj)i X(Fi) +X(Fj)

(X(Fk)étant le module des champs tangents àF^k):

On a la caractérisation utile suivante:

Proposition 4 Une variété M est une variété presque p produit si et seule- ment si elle supporte une famille complète et stable depfeuilletages .

Ces feuilletages sont appelésfeuilletages constitutifs de la variété presquep produit .

Preuve. Soit (Fi)_{1 i p} une famille complète et stable. La stabilité implique l’intégrabilité des système di¤érentiel

Lp i=1;i6=h

TFⁱ Soit ( Fh )1 h p la famille de feuilletages correspondante. Dans un ouvert Ui distingué à la fois pour chacun de ces feuilletages , considérons leurs applications distinguéesf_i^h, et leurs fonctions de transition g^h_ij = ^h_ij alors '_i est une submersion surjective de Ui

sur'_i(U_i):Quitte à rappetisser'_i(U_i)en un polytopeV_i de

p

s=1T^set remplacer U_ipar'_i¹(V_i), on montre sans peine que (U_i; '_i= (f_i¹; :::; f_i^p))_i2I est un atlas de cartes dont le di¤éormphisme de changement de cartes est explicitement est '_j '_i¹ =

p k=1

k

ij; ce qui permet de voir que la structure de variété deM est celle d’une structure presque multiproduit de typep:

Réciproquement, étant donné sur M une structure presque p produit , dé…nie par un atlas de cartes (U_i; '_i)_i2I , '_i applique U_i dans

p

j=1T^j:Soit p_k pour1 k p;la projection de ^p

s=1T^s sur

s2Ip fkgT^s, alors avec les notations précédentes, (U_i; f_i^k = p_k '_i; g^k_ij =

s2Ip fkg s ij;

s2Ip fkgT^s)_i2I est un cocy- cle dé…nissant sur M un feuilletage Fk; de dimension la dimension de T^k: On obtient ainsi p feuilletages F1; ::::;Fp tels que T M = ^p

i=1TFi:Le diagramme commutatif suivant décrit mieux la façon dont les feuilletages sont obtenus:

Ui\Uj 'i

.

'_j

&

'_i(U_i\U_j) = ^p

s=1V_i^{s 'j '}

1

!i '_j(U_i\U_j) = ^p

s=1V_j^s

pk# #pk

s2Ip fkgV_i^{s s2Ip fkg}

s ij

! s2Ip fkgV_j^s On note de même que(Ui; f_i^k;s=pk;s '_i; g_ij^k;s=

l2f1;:::;pg fk;sg l ij;

l2f1;:::;pg fk;sgT^l)i2I

est cocycle dé…nissant un feuilletageJ associé au système di¤érentielTF^k TF^s qui est donc intégrable et il en résulte évidemment[X(Fk);X(Fs)] X(Fk) + X(Fs)puisqueX(Fk) X(Fk) +X(Fs)etX(Fs) X(Fk) +X(Fs):

On dira souvent d’une variété presquep produit qu’elle est une variétép feuilletée.

Remarque 5 1) On notera qu’une famille complète de deux feuilletages est nécessairement stable; ainsi une variété dont le …bré tangent est somme directe de deux sous-…brés non triviaux (i.e. une variété bifeuilletée )est une variété presque produit( i.e. une variété2 produit).

2) Si X etY des sections du sous-…bré

j2JTFj, alors X = P

j2J

X_j et Y = P

j2J

Yj oùXj et Yj sont dans X(Fj), on véri…e bien avec cette condition et les propriétés du crochet, notamment saR bilinéarité que[X; Y] reste une section du sous-…bré

j2JTFj:

Ainsi le système di¤ érentiel

i2J

TFi est intégrable, on notera FJ le feuil- letage qu’il dé…nit et ce feuilletage sera dit composé; une feuille deFJ est une réunion de feuilles de ses feuilletages constitutifs . Et il est clair que le feuil- letage FIp J dé…ni par

l2Ip JTFl est un feuilletage de dimension maximale strictement transverse àFJ:

Corollaire 6 Une variété supportant un feuilletage admettant un parallélisme transverse totalement intégrable est une variété presque multiproduit.

Preuve. Soit (M;F) ce feuilletage. Supposons le de codimension p. Soit ( _i)2 i p+1 le parallélisme transverse de F et (Fⁱ)2 i p+1 la famille de ‡ots correspondante. Si on poseF¹=F, avec le total parallélisme des _i;la famille (Fⁱ)1 i p+1 est une famille à la fois complète et stable. Et on conclut avec la caractérisation précédente.

Notation 7 Pour une variété presque p produit M de feuilletages constitu- tifs (Fⁱ)1 i p, on note pour 1 k p; J^(k)l’ensemble d’indices J^(k) = (j₁^(k)

; :::; j^(k)nk)oùn_k = dimFk . Pour la suite on adoptera parfois lorsque nécessaire le système de coordonnées suivant:

(U;(x^j1(1); :::::; x^jn(1)1); ::::;(x^j1(k); :::::; x^jn(k)1); :::;(x^j(p)1 ; :::::; x^jnp(p)))

Et on remarquera qu’à une permutation près le repère ( @

@x^j1(1); :::::; @

@x^jn(1)1; :::; @

@x^j1(k); :::::; @

@x^jn(k)1 ; :::; @

@x^j(p)1 ; :::::; @

@x^jn(p)1 ) est un repère local naturel adapté pour chacun des sous-…bréTFk

On notera qu’une variété p feuilletée peut être toujours regardée comme une variété bifeuilletée . Ainsi pour toute partie propreJ deIples feuilletageF^J etF^Ip J bifeuilletent la variétéM;ces feuilletages sont ditscomplémentaires.

1.2 ANNEAU DE FEUILLETAGES D’UNE STRUCTURE p MULTIPRODUIT

1.2.1 Structure d’anneau SoitT M = ^p

i=1TFⁱ et Ip =f1; :::; pg , P(Ip) l’ensemble des parties de Ip .On sait , par la remarque précédente que pourJ parcourant l’ensemble des parties de Ip = f1; :::; pg, les F^J sont intégrables. SoitA^p l’ensemble des feuilletages F^J,J parcourantP(Ip)etFl’application deP(Ip)dansA^p qui àJ associeF^J

=F(J)ainsi dé…nie. On note queFest par construction une bijection deP(Ip) surAp:

On va dé…nir dansApdes opérations "[;\;4":Les égalités suivantes (

l2I

TFl) (

l2J

TFl) = (

l2I[J

TFl);(

l2I

TFl)\(

l2J

TFl) = (

l2I\J

TFl), (

l2I

TFl) (

l2J

TFl)

=

l2I J

TFl)(pourJ I), (

l2I[J

TFl) (

l2J\J

TFl)=

l2I J

TFl)et l’intégrabilité des systèmes di¤érentiels qui apparaissent nous amènent à poserFfig :=Fⁱ , F^I[F^J :=F^I[J,F^I\F^J:=F^I\J,F^I F^J:=F^{I J} (J I),F^I4F^J:=F^I4J

,F^Ip le feuilletage trivial dont les feuilles sont les composantes connexes deM;

et en…n F; le feuilletage par points de M: Avec ces dé…nitions et notations

…nalement on aF^J = [F^j

j2J Ip

Ceci étant , on a aussi F(I[J) =F(I)[ F(J)etF(I\J) =F(I)\ F(J), F(I J) =F(I) F(J)et queF(I4J) =F(I)4 F(J). On dé…nit un ordre partiel surA^pen posantF^I F^J lorsqueI J ou tout simplement lorsqueF^J est une extension deF^I:

Au total (Ap;4;\;)a une structure d’anneau de Boole[9] et F est un iso- morphisme d’anneaux de Boole de (P(I_p);4;\)sur (Ap;4;\):

1.2.2 Structure d’une variété multiriemannienne

Dans ce qui suit on supposera que la variété modèle de la structure presque p produit est une variété riemannienne produit de pvariétés riemanniennes

p

i=1(Ti; hi)

Dé…nition 8 Si les feuilletages constitutifs d’une variété presque p produit sont riemanniens, on parlera de variété multiriemannienne ou de variété p riemannienne.

Dé…nition 9 Un feuilletage riemannien d’une variété riemannienne est dit métrique si la métrique quasi …brée coincide avec la métrique de la variété.

Proposition 10 Une variété presquep produit est une variétép riemannienne si et seulement si les changements de cartes sont des produits depisométries . Preuve. Soit(U_i; '_i)un atlas de cartes de la structure presque multiproduit de typepdeM. Pourk= 1;2;il y correspond deux cocycles

(U_i; f_i¹=p₁ '_i; g_ij¹ = ²_ij ³_ij ::::: ^p_ij; T² T³ :: T^p)_i2I et

(U_i; f_i⁽²⁾=p₂ '_i; g⁽²⁾_ij ; T¹ T³ :: T^p)_i2I

dé…nissant les feuilletagesF¹, F² :Comme ces deux feuilletages sont supposés riemanniens, alors les fonctions de transition ²_ij ³_ij ::::: ^p_ij sont des isométries locales de(T²; h2) (T³; h3) :: (T^p; hp)dans lui même , donc un produit de (p 1)isométries et la considération du feuilletage riemannienF2per- met de voir pour le total que chaque ^k_ij pour1 k p;est une isométrie locale de(T^k; hk)et que les changements de cartes'_j '_i¹= ¹_ij ²_ij ³_ij ::::: ^p_ij sont des produits depisométries.

La réciproque étant évidente!

Dé…nition 11 Une partition de l’unité(Ui; _i)i2I d’une variété presquep produit M ( avecT M = ^p

j=1TF^j)est dite adaptée ou compatible à un feuilletage(M;F^k) ouF^k -adaptée , si pour touti2I; _i est constante sur les plaques dansUi des autres feuilletages du système.

Lemme 12 Dans une variété presquep produitM (avecT M = ^p

i=1TFⁱ), cha- cun des feuilletages constitutifs admet des partitions de l’unité qui lui sont compatibles.

Preuve. Soit (Ui; _i)i2I une partition de l’unité subordonnée à un recouvre- ment correspondant à un atlas de cartes(U_i; '_i)_i2I de la structure . Notons pour 1 k p; ^k_i la fonction deM dansRde support contenu dans le support de

i,dé…nie par

k

i(x) = _i('_i¹(0; :::;(pr_k '_i)(x); :::;0) oùpr_k est la kieme projection dans

p

i=1T_i .En clair, cette fonction ne dépend que de

(x^k₁=x^j(k)1 (x); :::::; x^k_nk=x^jn(k)1(x))

et on voit que la famille ( ^k_i)i2I réalise une partition de l’unité F^k adaptée subordonnée au recouvrement précédent.

Théorème 13 Dans une variété multiriemannienne , on a les propriétés suiv- antes:

1) il existe une mértique quasi-…brée pour chacun des feuilletages constitutifs;

2) ces feuilletage sont transversalement intégrable et de feuilletages trans- verses également riemanniens;

3) les feuilletages sont géodésibles;

4 )les feuilletages sont parallèles;

5) la connexion de Levi Cevita induit sur chaque feuilletage la connexion de Bott;

6)la courbureRadmet la décompositionR= ^p

i=1RioùRi(X; Y) =R(Xi; Yi);

7)le feuilletage FJ dé…ni par le système di¤ érentiable

l2J

TFl est métrique, parallèlle, et de feuilletage transverseFJ^? =F^Ip J le feuilletage complémentaire deF^J .

Preuve. La métrique quasi-…brée du feuilletageFk , feuilletage complémentaire deFk ,induit une métrique g_#(F

k)sur son …bré normal; puisque cette dernière s’obtient localement par pull black de la métrique riemannienne de T^k;elle y dépend uniquement des coordonnées transverses deFk . Ainsi au niveau d’un ouvert distingué deFk, on ag_#(F

k)=P

a^k_il (x^k₁; :::; x^k_nk)dx^j(k)i dx^jl(k) . Ainsi g = ^p

k=1g_#(F

k) est une métrique sur M et cette métrique est quasi-…brée pour chacun des feuilletages et dans cette métrique, les feuilletages constitutifs sont deux à deux othogonaux.

Si on considère maintenant la connexion de Levi Cevita associée à cette métrique, on voit avec la formule donnant les coe¢ cients de Riemann-Christo¤el

i jk=1

2g^il(@gkl

@ ^j +@glj

@ k

@gjk

@ ^l )

que les ⁱ_jk sont identiquement nuls lorsque j 2J^(m)et k 2J⁽ⁿ⁾ avec1 m6= n pet que doncr ^@

@xj

@

@x^k = 0:Ce qui permet de voir quer^XY reste tangent à Fk si Y est tangent à Fk et que toutes les distributions issues du système sont invariantes par le transport parallèle correspondant à cette métriqueg. De façon précise, en utilisant la nullité de la torsion de cette connexion, on a pour tous i6=j, X tangent à Fⁱ et Y tangent à F^j; r^XY = [X; Y]_j; [X; Y]_j étant la composante de[X; Y] dansX(Fj), le module des champs tangents àF^j:Ce qui montre bien que la connexion de Levi Cevita induit sur chaque feuilletage la connexion de Bott et que

R(X; Y) = R₁(X; Y) +R₂(X; Y) +:::+R_p(X; Y) =

= R1(X; Y) +R2(X; Y) +:::+Rp(X; Y) puisqueR(Xi; Xj) = 0pour Xi2 X(Fi),Xj 2 X(Fj)eti6=j:

En se référant à cette métrique quasi-…brée commune tout le reste devient évident si on se souvient qu’un feuilletage transversalement intégrable est rie- mannien si et seulement si le feuilletage transverse est géodésible[12]. Dans ces conditions , ici tous les feuilletages de l’anneau sont riemanniens et géodésibles, par conséquent parallèles et de feuilletages transverses également riemanniens, géodésibles et parallèles. En…n (

l2J

TFl)^? =

l2Ip JTFl montre (FJ)^?=FIp J: Remarque 14 Si T M =

Lp i=1

TFi , où lesFi sont des ‡ots riemanniens alors M est à courbure nulle.

1.2.3 Cohomologie d’une variété multiriemannienne compacte On a là, une obstruction à l’existence d’une structurep riemannienne

Théorème 15 Pour une variété p riemannienne compacte sans bord , on a pour tout 1 k p ,H^dimFk(M;F^k) = lakm et H^dimM(M) = h

i=p i=1aii = ha₁^ ::: ^ a_p i;le cup produit de ces pgénérateurs.

Preuve. Si!k est une forme volume (resp. une forme sans singularité) sur la variété transverseT^k , par pull black avec les submersions d’ouverts distingués et par recollement au moyen d’une partition de l’unitéF^k adaptée , on obtient une forme fermée!fk surM:Par construction elle est basique pour chacun des feuilletagesFⁱ,i6=k.

=!f1^::::^!fp est unem forme volume sur M. Aucune des formes!fk

n’est exacte! En e¤et si g!_k1 , était excate avec g!_k1 = d _k; on aurait comme les formes sont fermées,!= ( 1)^kd _k^!f₂::::^!f_p;et par la formule de Stokes on aurait 0 = R

@M ^!f₂::::^!f_p = R

M 6= 0: Si on note a_k la classe de cohomologie de!fk, alors ak 6= 0 et il est clair que H^dimFk(M;F^k) = haki et H^dimM(M) =ha1^ ::: ^ api

Remarque 16 1)Dans une telle variété lesH^dimFk(M) sont non nuls.

2) !f_k = 0 est une équation du feuilletage dé…ni par le système di¤ érentiel

1 i6=k mTFi et(!e_i= 0; i6=k)une équation deFk:

1.3 STRUCTURE PRESQUE MULTIPRODUIT ET DRA- PEAUX DE FEUILLETAGES.

1.3.1 Structure presque multiproduit et drapeaux de feuilletages.

On rappelle qu’un feuilletage (M;F⁰)est dite une extension de (M;F)si toute feuille de F⁰ est une réunion de feuilles de F, et on note F F⁰ . Jusqu’à maintenant un drapeau de feuilletages est une suite d’extensions successives à pasund’un ‡ot([1],[4], [5], [6], [7]) . On va généraliser cette notion à des cas où la suite d’extensions ne débute pas nécessairement parun f lotet où lespasne sont pas nécessairementreguliers:

Dé…nition 17 Un drapeau généralisé est une suite d’extensions successives d’un feuilletage donné.Un drapeau est dit riemannien (resp. de Lie) si ses feuil- letages le sont. Un drapeau à p feuilletages sera appelé parfois p drapeau et sera notéF1 ... Fp:

Dé…nition 18 Dans une variété riemannienne un drapeau quelconque est dit métrique si et seulement si ses feuilletages sont métriques.

Example 19 Dans une variété presquep produit, à toute suite croissanteJ1; :::; Js

deP(Ip), on peut associer le drapeau généralisé F^J1 ::: F^Js;

Dé…nition 20 Un tel drapeau généralisé sera appelé tout simplement drapeau de l’anneauAp:

On notera donc que les drapeaux de l’anneau sont en correspondance biuni- voque avec les suites croissantes deP(Ip):

Example 21 A toute variété multiriemannienne on peut associer des drapeaux irréguliers riemanniens .

Le résultat suivant établit le lien entre drapeau et structure multiriemanni- enne.

Théorème 22 Une variété estp+ 1 riemannienne si et seulement si elle sup- porte unp drapeau de feuilletages parallèles.

Preuve. A partir d’une variétép+ 1 riemannienne, il est loisible ,à l’image de l’exemple précédent , de lui associer unp drapeau de feuilletages riemanniens.

Réciproquement si on part d’un drapeau (généralisé) F¹ ::: F^p de p feuilletages riemanniens deM;on peut écrire que

T M =TF1 (TF1)^?_TF2 ::::::: (TFp 1)^?_TF

p TFp^?

Soit2 i p:Pour des champs de vecteursX; Y dans ((TFi 1)^?_TFi), [X; Y] est dans (TFi)et pourZ dans (TFi 1), on a

0 =Y g(X; Z) =g(r^YX; Z) +g(X;r^YZ) =g(r^YX; Z)

puisqueF^{i 1} étant parallèle r^YZ reste comme Z dans (TF^{i 1}); ce qui im- plique ,puisquer^YX 2 (TFⁱ),r^YX 2 (TF^{i 1})^?_TFI:Ensuite

g(Z;[X; Y]) =g(rYX; Z) +g(rXY; Z) = 0

ceci pour tout Z dans (TFi 1) et il en résulte que [X; Y] 2 (TFi 1)^?_TFi: Montrons en…n que le feuilletageFei dé…ni par le système(TFi 1)^?_TF

I est rie- mannien. SoitX2 ((TF^{i 1})^?_TFi);

PourY 2 (TF^{i 1})(resp. Y 2 (TFⁱ)^? ) etZ 2 (TFⁱ)^?;on a

Xg(Y; Z) =g(r^XY; Z)+g(Y;r^XZ) =g([X; Y] r^YX; Z)+g(Y;[X; Z] r^ZX)

; comme le feuilletage Fⁱ est parralèlle et que le transport parallèle préserve l’orthogonalitér^ZX reste tangent àFⁱ etr^YX ( resp.r^ZX ) est orthogonal à Fi 1:On a …nalement

Xg(Y; Z) =g([X; Y]; Z) +g(Y;[X; Z])

Ce qui assure que le feuilletage Fei est transversalement riemannien. Ensuite comme le feuilletage Fp est parallèle , on sait qu’il est transversalement inté- grable et de feuilletage transverse également riemannien; soitFe^p+1ce feuilletage et notonsF¹ =Fe¹; alors on a au total T M =^p+1

i=1TFeⁱ i.e. M est une variété p+ 1 riemannienne, et le résultat est prouvé.

Corollaire 23 Une variété supportant un feuilletage totalement transversale- ment parallélisable est une variété multiriemannienne.

Preuve. Soit(M;F)un tel feuilletage et(X2; :::; Xp)son parallélisme transverse et g la métrique quasi-…brée associée. Considérons les p 1 ‡otsFⁱ engendrés par lesXi. En posantF¹=F;on sait (corol.6) que la famille (Fⁱ)1 i pest une famille stable qui fait que la structure de variété de M est celle d’une variété presquep produit. Véri…ons maintenant que cette métriqueg est quasi-…brée pour chacun de ces ‡otsFⁱ . En e¤et pouri; j; k 2, distincts deux à deux,X tangent au ‡otFi

1) Y tangent au ‡ot Fj , Z tangent au ‡ot Fk; en raison de parallélisme total et d’orthogonalité, on a

g([X; Y]; Z) +g(Y;[X; Z]) = 0 + 0 =Xg(Y; Z

2)Y tangent au ‡otFj ,Z tangent àF; pour les mêmes raisons , on a:

g([X; Y]; Z) +g(Y;[X; Z]) = 0 + 0 =Xg(Y; Z)

3)Y; Z tangents àF;le feuilletageF étant riemannien la connexion de Bott induite donne ici

rXY = [X; Y]₁;rXZ= [X; Z]₁ de sorte qu’on a avec l’orthogonalité:

Xg(Y; Z) = g(r^XY; Z) +g(Y;r^XZ) =g([X; Y]₁; Z) +g(Y;[X; Z]₁)

= g([X; Y]; Z) +g(Y;[X; Z])

1.3.2 Structure presque multiproduit et produit

Ici nous présentons des situations où la structure presque produit se décompose en produit de variétés ou de variétés presque produit. En s’appuyant essentiell- ment sur le théorème d’Ehresmann[12], on obtient

Proposition 24 Toute variété compacte supportant un feuilletage totalement transversalement parallélisable admettant une feuille compacte et à variété basique simplement connexe est un produit riemannien de la feuille compacte par une variété transverse multiriemannienne.

Preuve. Cette variété M est alors multiriemanienne(corol.23) . Ensuite le feuilletage(M;F)étant transversalement parallélisable et admettant une feuille compacteF, est une …bration [15] :M !Bde …breF; le fait que le feuilletage admet un parallélisme transverse totalement parallélisable implique que le feuil- letage est transversalement intégrable et que ce feuilletage transverse est égale- ment riemannien (théo.13). Par ailleurs, par le théorème d’Ehresmann sur les feuilletages transverses à une …bration [12], ce feuilletage transverse provient de la suspension d’une représentation du groupe fondamental de la variété basique B dans le groupe de di¤éomorphismes de F: Comme cette représentation est triviale, la variétéM est le produit riemannien de la feuille compacte et de la variété basique du feuilletage qui est une variété compacte totalement paral- lélisable, donc canoniquement une variété muliriemannienne.

Proposition 25 Toute variété p-riemannienne complète connexe et simple- ment connexe est le produit riemannien de ses feuilles.

Preuve. Soit M une variété p-riemannienne complète connexe et simplement connexe. En appliquant le théorème de Blumenthal-Hebda[2] aux feuilletages riemanniens Fi et Fi^? =[Fk

k6=i

; il vient que chacun des feuilletages constitutifs est simple etM est le produit riemannien d’une feuilleF1deF¹et d’une feuille F₁^?deFi^?; soitM =F1 F₁^?:Les feuilletages constitutifsM se projettent sur F_i^? en(p 1)feuilletages riemanniens non triviaux ( celle deF¹étant triviale !) etF_i^? est alors une variété(p 1) feuilletée complète connexe et simplement connexe et une recurrence surppermet de conclure.

Dé…nition 26 pétant un entier 2;un p-groupe de Lie est un groupe de Lie dont la structure de variété sous-jacente est une variété p- feuilletée avec des feuilletages invariants par translations.

Une caractérisation d’unp groupe de Lie est donnée par

Proposition 27 G est un p groupe de Lie si et seulement si son algèbre de Lie se décompose en somme directe depidéaux.

Preuve. SoitG =Lie(G) = ^p

i=1Hⁱ une décomposition de l’algèbre de Lie de Gen somme directe de p idéaux, alors les système di¤érentiables g ! g Hⁱ dé…nissentpfeuilletages de LieFⁱ surGinvariants par toute translation deG:

on a : T G= Lp i=1

TFⁱ et pour i6=j;[Hⁱ;H^j] =0 ; ce qui implique que pour 1 i; j p; h

X(Fi);X(Fj)i

X(Fi) +X(Fj) (X(Fk)étant le module des