SUR LES EXTENSIONS DES FEUILLETAGES

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Cyrille Dadi. SUR LES EXTENSIONS DES FEUILLETAGES. Géométrie différentielle [math.DG]. UFR maths-info univ. Félixe H.B, 2008. Français. �tel-00875867�

Cyrille DADI

Remerciements 4

Introduction 6

1 Rappels 8

1.1 Généralités sur les feuilletages . . . 8

1.2 Feuilletages et systèmes di¤érentiels . . . 12

1.3 Eléments basiques . . . 13

1.4 Holonomie d’une feuille d’un feuilletage . . . 15

1.5 Holonomie d’une (G,T)-structure transverse . . . 18

1.6 Structures transverses et théorèmes de structure . . . 20

2 Généralités sur les extensions des feuilletages 29 2.1 Dé…nitions, construction d’extensions de feuilletage . . . 30

2.1.1 Exemples de construction d’extension de feuilletage . . . 31

2.2 Extension de feuilletage et holonomie . . . 36

2.2.1 (G’,T’)-extension d’un (G,T)-feuilletage et holonomie . . . 36

2.2.2 Extensions de feuilletage à structure transverse presque pro-duit et holonomie . . . 40

2.3 Extension d’un feuilletage riemannien . . . 42

3 Extension d’un feuilletage de Lie minimal d’une variété compacte 46 3.1 Position du problème . . . 46 3.2 Généralités . . . 47 3.3 Extension d’un feuilletage de Lie minimal . . . 54

Perspectives de Recherche 71

A ma mère Marie Thérèse ATEHON A tous mes parents

A la mémoire de mon père Charles Bodji DADI

Je suis heureux d’exprimer ma profonde gratitude au Professeur Hassimiou DIALLO. IL a encadré et dirigé mes recherches avec une grande patience et un interêt sou-tenu. Sa disponibilité, ses conseils et sa rigueur m’ont été d’un grand pro…t dans la réalisation de ce travail.

Je suis très reconnaissant au Professeur Edmond FEDIDA, Directeur du labora-toire de Mathématiques Fondamentales, pour avoir bien voulu codiriger cette thèse. Sa disponibilité, ses encouragements et ses conseils me furent un constant appui.

Le Professeur Modeste N’ZI, m’a fait l’honneur de présider le jury de cette sou-tenance de thèse, les Professeurs :

- Ibrahim FOFANA,

- Toussaint SOHOU, un des rapporteurs de cette thèse,

celui d’y participer. Qu’ils me permettent de leur exprimer ma reconnaissance. Je remercie vivement le Professeur Assohoun ADJE, Directeur de l’UFR de Ma-thématiques et Informatique, pour m’avoir permis de réaliser ce travail dans de très bonnes conditions.

Je remercie les membres de l’équipe du séminaire de géométrie di¤érentielle, plus particulièrement le Professeur Moussa KOUROUMA, pour leurs critiques per-tinentes lors de mes exposés aux séminaires de géométrie di¤érentielle.

Je remercie le Professeur Gozé TAPE, Directeur de l’Ecole normale superieure (E.N.S) d’Abidjan pour avoir permis mon récrutement à l’E.N.S pendant la rédaction de cette thèse.

Je suis en…n reconnaissant de l’intérêt amical et fraternel que m’ont témoigné Tatiana Yolande KONAN, Docteur Adolphe CODJIA, Julien BOKA, Désiré DADI, Alain DADI, Carlos DADI, Sylvain BODJI, Yves NAKI, Djakaridja BAKAYOKO, Noèl ESSIS, Léa SERI, Omer ZEBALE, Ardles KOUASSI, ainsi que tous ceux et celles que j’aime et qui m’ont aidé par leur présence proche ou lointaine.

La théorie des feuilletages est la généralisation naturelle de la théorie qualitative des équations di¤érentielles. Elle a été initiée par les travaux de H.POINCARE et puis développée plus tard par C.EHRESMANN, G.REEB et plusieurs autres ma-thématiciens. Dans l’étude d’un feuilletage F sur une variété M (nature des feuilles, existence, classi…cation, etc. ...), on est amené souvent à considérer les adhérences des feuilles et se demander si elles forment un nouveau feuilletage F0_:

C’est ainsi que FEDIDA a montré que si F est un feuilletage de Lie et M compacte alors F0 _{est un feuilletage simple (donnée par une …bration). MOLINO a}

généralisé ce résultat aux feuilletages transversalement parallélisables [18]. Dans ces deux cas les feuilles de F0_{; adhérences des feuilles de F, sont en fait des réunions de}

feuilles de F:

Cette situation nous amène naturellement à aborder le problème suivant. Soit F un feuilletage sur une variété M: Existe-t-il sur M un feuilletage F0 _{tel que ses}

feuilles soient des réunions de feuilles de F ? Un tel feuilletage F0_{; s’il existe, mérite}

alors le nom d’extension de F.

L’objet de ce mémoire est d’étudier pour un feuilletage de type donné, l’existence et la nature de ses extensions. Il ne faudrait pas croire que ces extensions existent toujours. En e¤et, CAIRNS a donné dans [4] une obstruction à l’existence d’une

extension d’un feuilletage riemannien transversalement orientable.

En outre, on montre dans ce mémoire que les informations sur les extensions d’un feuilletage de Lie minimal (ie. à feuilles denses) sur une variété compacte de groupe G sont contenues dans ce groupe. En e¤et dans ce cas, il existe une correspondance biunivoque entre les sous-groupes de Lie connexes de G et les extensions de F:

Le mémoire est divisé en trois chapitres :

- Le premier chapitre est consacré aux rappels sur des notions de base de la théorie des feuilletages.

- Le deuxième chapitre est divisé en quatre parties. Dans la première partie on donne quelques méthodes de construction d’extensions de feuilletages. Dans la deuxième partie on établit, dans le cas des (G; T )0structures, un lien entre les groupes d’holonomie d’un feuilletage et de son extension. Dans la troisième partie on montre qu’un feuilletage à structure transverse bifeuilletée est intersection de deux extensions transverses et que le groupe d’holonomie d’une feuille du feuille-tage est le produit des groupes d’holonomie des feuilles des deux extensions qui la contiennent. Dans la quatrième partie on donne un exemple de feuilletage non riemannien extension d’un feuilletage riemannien.

- En…n le troisième chapitre contient le résultat essentiel portant sur l’existence et la classi…cation des extensions d’un feuilletage de Lie minimal sur une variété compacte.

Nous abordons en…n les perspectives de recherche dans ce domaine.

Nous signalons pour terminer que l’essentiel de ce travail se trouve dans [7] et [8].

Rappels

Les variétés, les applications, les formes di¤érentielles, les champs de vecteurs sont supposés de classe C1: M est une variété di¤érentiable connexe de dimension n = p + q: (M ) l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur M et A0_{(M ) l’anneau}

des fonctions sur M .

1.1

Généralités sur les feuilletages

Dé…nition 1.1.1. Un feuilletage (M; F) de codimension q sur M est la donnée d’un recouvrement ouvert (Ui)i2I de M; de submersion fi : Ui ! T où T est une

variété de dimension q et, pour Ui\ Uj 6= ;, d

0_{un di¤éomorphisme}

D_ij : fj(Ui \ Uj)  T ! fi(Ui \ Uj)  T

satisfaisant :

fi(x) = (Dij E fj)(x) pour tout x 2 Ui \ Uj:

On dit que (Ui; fi; T; Dij)i2I est un cocycle feuilleté.

On notera que la variété T peut être considérée comme une réunion disjointe des fi(Ui) :

Remarque 1.1.2. i) L’entier naturel p = n 0 q est la dimension du feuilletage. ii) Les ouverts Ui s’appellent ouverts distingués.

iii) Les composantes connexes des …bres des fi; appelees plaques, forment une

base d’une topologie pour laquelle les composantes connexes sont appelées les feuilles du feuilletage [14].

iv) Les feuilles d’un feuilletage F sur M constituent une partition de M. On notera par Fx la feuille passant par x 2 M:

La relation

xRy () Fx = Fy

pour x 2 M et y 2 M est une relation d’équivalence. L’espace quotient M=R = M=F

est appelé l’espace des feuilles de F. Exemple 1.1.3. (de feuilletages)

1) Il existe deux feuilletages canoniques sur toute variété M :

- Le feuilletage de dimension 0 ou feuilletage par points. Les feuilles sont les points de la variété.

- Le feuilletage de dimension n, les feuilles sont les composantes connexes de M . 2) Si F est un feuilletage sur M , alors les traces de F sur un ouvert U non vide de M dé…nissent sur U un feuilletage de même nature que F, noté FU ou (U; F), et

appelé feuilletage induit par F sur U , ou encore feuilletage restriction de F à U .

3) Soit  : M ! T une submersion de M sur une variété T de dimension q.  dé…nie un feuilletage sur M de codimension q dont les feuilles sont les composantes connexes des …bres de . Le feuilletage ainsi dé…ni est appelé feuilletage simple.

Un ouvert U de M est dit simple pour un feuilletage F dé…nie sur M si FU est

un feuilletage simple.

4) Soit (M1; F1) et (M2; F2) deux feuilletages.

Il existe sur M1 2 M2 un feuilletage dont chaque feuille est le produit cartésien

d’une feuille (M1; F1) par une feuille de (M2; F2): On l’appelle feuilletage produit

de (M1; F1) par (M2; F2). Il est noté (F1 2 F2; M1 2 M2)

5) Soit (M; F) un feuilletage de codimension q dé…ni par le cocycle feuilleté (Ui; fi; T; Dij)i2I:

Si  : V ! M est un revêtement de M; les submersions fiE  : 01(Ui) ! T

dé…nissent un feuilletage sur la variété V appelé feuilletage relevé de F sur V , il est noté 3_{F et il a la même dimension que F.}

6) Soit G un groupe discret de di¤éomorphismes d’une variété M opérant pro-prement et librement sur M:

La projection canonique  : M ! M=G de M sur la variété quotient M=G est un revêtement.

Si (M; F) est un feuilletage de codimension q invariant par G; il existe un feuilletage F=G de M=G de même nature que (M; F), et un seul, de sorte que si  est un di¤éomorphisme d’un ouvert U de M sur un ouvert V de M=G on ait (F=G)_=V = 3_(F

U) : F=G est le feuilletage quotient du feuilletage (M; F) par le

7) Soit f un di¤éomorphisme d’une variété M: La variété Mf suspension

de f est le quotient de R 2 M par l’action du groupe discret Z engendré par le di¤éomorphisme (t; x) ! (t + 1; f (x)) ; soit

Mf =

R 2 M

(t; x)  (t + 1; f (x)):

Dans ces conditions, si F est un feuilletage de codimension q de M invariant par f ; le feuilletage produit R 2 F est invariant par l’action de Z et détermine sur Mf un feuilletage Ff de codimension q appelé feuilletage suspension de F

par le di¤éomorphisme f:

8) Soit B une variété, ' une réprésentation de 1(B) dans un groupe de

di¤éo-morphismes de M et  : eB ! B le revêtement universel de B:

1(B) opère proprement et librement sur le produit eB 2 M par son action

cano-nique sur eB, et par la réprésentation ' sur le second.

Le quotient de eB 2 M par cette action, est une variété di¤érentielle B' =

e B2M 1(B):

La projection ; détermine une …bration p de B' sur B de …bre type M: Si

(M; F) est un feuilletage sur M de codimension q invariant par l’action de 1(B),

le feuilletage produit eB 2 F passe au quotient en un feuilletage F' de codimension

q sur B' : F' est le feuilletage suspension de F par la réprésentation ':

Dans le cas particulier où (M; F) est le feuilletage par points sur M; F' est appelé

feuilletage suspension de ':

On notera que si U est un ouvert de trivialisation locale de la …bration p :B' ! B;

la restriction de F' à p

1.2

Feuilletages et systèmes di¤érentiels

Dé…nition 1.2.1. Un système di¤érentiel de classe Cr _{de dimension p sur une}

variété di¤érentiable M, est la donnée en chaque point x 2 M d’un sous-espace Px de TxM de dimension p tel que pour tout x0 2 M , il existe un ouvert U de M

contenant x0, X1,..., Xp, p champs de vecteurs sur U linéairement indépendants de

classe Cr _{engendrant le sous-espace P}

y en tout point y de U. On notera

(P) = fX 2 (M )= Xx 2 Px; 8x 2 M g

Dé…nition 1.2.2. Soit P un système di¤érentiel de classe Cr _{et de dimension p}

sur M.

Une variété intégrale de P est une sous-variété immergée W de M de dimension p telle que si i : W ! M est l’immersion de W dans M alors dix(TxW ) = Px pour

tout x 2 W .

Dé…nition 1.2.3. Un système di¤érentiel P de dimension p sur M est dit com-plètement intégrable si pour tout x de M passe une variété intégrale.

Dans ce cas on démontre dans [12] que les sous-variétés intégrales maximales forment une partition de M en sous-variétés connexes de dimension p c’est-à-dire un feuilletage de dimension p de M .

Théorème 1.2.4. (Froebénius) [18] Soit P un système di¤érentiel de dimension p et de classe Cr _{sur M:}

Les conditions suivantes sont équivalentes : i) P est complètement intégrable,

iii) pour tout x0 2 M , il existe une carte (U; ') de M contenant x0 et !

1_{; :::; !}q_;

(n 0 p) 1-formes di¤érentielles sur U engendrant en tout point x de U; le sous-espace (Px)3  Tx3M telles que si JU = ( ! 2 3 (U;R) = ! = q X i=1 Ci^ !i_{, C}i _{2 3 (U; R)} ) alors dJU  JU où dJU = fd! = ! 2 JUg :

Remarque 1.2.5. On montre dans [18] qu’il y a une correspondance biunivoque entre les feuilletages de dimension p et les systèmes di¤érentiels de dimension p complètement intégrables.

On dira qu’un champ de vecteurs est tangent à un feuilletage F si et seulement si, il est tangent aux feuilles de F en chaque point où il est dé…ni. L’ensemble des valeurs prises par les champs de vecteurs tangents à F est un sous-…bré du …bré tangent T M . Il est appélé …bré tangent à F. Il est noté T F. Le quotient V (F) = T M_{T F} est le …bré transverse du feuilletage F.

1.3

Eléments basiques

F désigne un feuilletage de dimension p sur une variété M et  (F ) l’ensemble des champs de vecteurs tangents au feuilletage F:

Dé…nition 1.3.1. Soit f 2 A0_{(M ).}

On dit que f est basique pour le feuilletage F si et seulement si 8X 2  (F ), Xf est identiquement nulle .

L’ensemble des fonctions basiques pour le feuilletage F est noté A0

b(M; F ).

On montre dans [18] que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est basique,

ii) f est constante sur chaque feuille de F,

iii) dans tout ouvert simple distingué, de coordonnées locales (x1; :::; xp; y1; :::; yq) ;

f s’exprime comme fonction des seules variables y1;..., yq:

On remarquera en particulier que si F admet une feuille partout dense alors toute fonction basique est constante sur M .

Dé…nition 1.3.2. Soit X 2 (M ):

X est dit feuilleté si et seulement si 8Y 2  (F), [X; Y ] 2  (F) .

L’ensemble des champs feuilletés est noté L(M; F ); c’est une sous-algèbre de Lie de (M):

On montre dans [18] que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) X est feuilleté,

ii) si ( 'X

t )jtj<" est le groupe local à un paramètre associé à X au voisinage d’un

point arbitraire de M; pour tout t; le di¤éomorphisme local 'X

t laisse invariant F,

iii) dans tout ouvert simple distingué, de coordonnées locales (x1;..., xp; y1;..., yq);

les q dernières composantes de X s’expriment comme fonction des seules variables y₁;..., yq:

Remarque 1.3.3. i) Dans tout ouvert simple distingué U; un champ feuilleté X est projetable en un champ de vecteurs sur la variété quotient locale U ;

ii)  (F) est un idéal de L(M; F ): On a la suite exacte suivante:

Le quotient `(M; F) = L(M; F)= (F) est appelé l’algèbre de Lie des champs transverses au feuilletage F: On remarquera que c’est un sous-ensemble de l’en-semble de toutes les sections du …bré transverse V(F):

Dé…nition 1.3.4. Soit B une r-forme di¤érentiable sur M . On dit que B est basique si et seulement si

8 X 2  (F) ; iXB = 0 et iXdB = 0:

On montre dans [18] que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) B est basique,

ii) dans tout ouvert simple distingué, de coordonnées locales (x1;..., xp; y1;..., yq);

B s’écrit

B = X

i1 <:::<ir

B_{i1 :::ir}dy_i1 ^ ::: ^ dyir

où les coe¢cients B_{i1 :::ir} ne dépendent que des seules variables y1;..., yq:

Notons que si B est une r-forme basique et X1; :::; Xr sont r champs feuilletés,

B (X1; :::; Xr) est une fonction basique.

1.4

Holonomie d’une feuille d’un feuilletage

Soit F un feuilletage simple sur une variété M dé…ni par la submersion

 : M ! W de M sur une variété quotient W , T et T0 _{deux sous-variétés transverses}

de F. Si x₀ 2 T et x0

0 2 T

0 _{se projettent sur le même point y de W alors il}

existe un voisinage ouvert ! de x0 dans T et !

0 _{de x}0

0 dans T

0 _{telle que la relation}

d’appartenance à la même feuille dé…nit un di¤éomorphisme  : ! ! !0 _avec

(x0) = x

0

Dé…nition 1.4.1. Le di¤éomorphisme  : ! ! !0 _{s’appelle <<glissement le long}

des feuilles>>.

Soit F un feuilletage sur M non nécessairement simple, F une feuille de F, D : [0; 1] ! F avec D(0) = D(1) = x0 un lacet de base x0 contenu dans F ,

(Ui)i2f0;1;:::;k+1g une famille d’ouverts simples distingués recouvrant le lacet D telle

que Ui\ Ui+1 6= ; et Uk+1 = U0:

Soit également t0 = 0 < t1 < ::: < tk+1 = 1 une subdivision de [0; 1] telle que

D(ti) = xi 2 Ui\ Ui+1 8i 2 f0; 1; :::; kg et 8i 2 f1; 2; :::; k + 1g; D([ti01; ti])  Ui\ F:

D([ti01; ti]) est connexe car D est continu. D’où D([ti01; ti]) est contenu dans une

plaque de F contenue dans Ui: Soit Ti pour i 2 f0; 1; :::; kg une sous-variéte

trans-verse de F passant par xi = D(ti). Le <<glissement le long des feuilles>> dans

les ouverts simples U₀, U₁,..., U_k+1 nous permet d’avoir des familles (!i)i2f0;1;:::;k+1g

et (i)i2f1;:::;k+1g telles que !i est un voisinage ouvert de xi dans Ti (on prendra

T_k+1 = T0) et i : !i01 ! !i est un di¤éomorphisme véri…ant i(xi01) = xi: De ce

fait, on obtient un di¤éomorphisme

 = k+1E k E ::: E 1 : !0 ! !k+1

d’un voisinage ouvert de x0 dans T0 dans un voisinage ouvert de x0 dans T0 laissant

invariant x0:

Soit _D le germe en x0 de . On établit dans [6] que D ne dépend pas des variétés

transverses et des ouverts simples utilisés. On établit aussi dans [6] que D ne dépend

Si D₁ est un autre lacet de base x0 dans F on a

D:D₁ = D₁ E D:

Comme _D ne dépend que de la classe d’homotopie [D], la correspondance [D] ! _D dé…nit un homomorphisme

x0 : 1(F; x0) ! Dif fx0(T0)

du groupe d’homotopie de la feuille F en x0 dans le groupe des germes en x0 de

di¤éomorphisme locaux de T0 laissant x0 …xe.

Dé…nition 1.4.2. _x

0 s’appelle la représentation d’holonomie de la feuille F en

x0:

On notera grâce aux théorèmes de stabilité locale et globale que le groupe d’holonomie _x

0(1(F; x0)) de la feuille F en x0 caractérise le voisinage de la

feuille F .

Théorème 1.4.3. (Stabilité locale) [20] Soit F un feuilletage ayant une feuille com-pacte F .

Si le groupe fondamental de F est …ni alors F admet un voisinage A saturé et toute feuille contenue dans A est compacte et admet un groupe fondamental …ni. Théorème 1.4.4. (Stabilité globale) [20] Soit (M; F ) un feuilletage de codimension un sur une variété compacte.

Si (M; F ) admet une feuille compacte ayant son groupe fondamental …ni alors toute feuille du feuilletage (M; F ) est compacte et a son groupe fondamental …ni.

Remarque 1.4.5. Lorsque _x

0(1( F; x0) ) = fIdg où Id est l’identité de Dif fx0(T0)

on dit que F est sans holonomie en x0:

Exemple 1.4.6. (de feuilles sans holonomie)

i) Toute feuille d’un feuilletage simple est sans holonomie, ii) toute feuille simplement connexe est sans holonomie.

1.5

Holonomie d’une (G,T)-structure transverse

Dans cette partie, nous allons rappeler la constrution de la représention d’holo-nomie associée à une (G; T )0structure.

Soit G un groupe de di¤éomorphismes d’une variété T . On dit que G opère analytiquement sur T si deux di¤éomorphismes appartenant à G sont égaux dès qu’ils coincident sur un ouvert non vide de T:

Dé…nition 1.5.1. Soit F un feuilletage sur M:

Supposons qu’il existe un cocycle feuilleté (Ui; fi; T; Dij)i2I dé…nissant F tel que :

i) Les D_ij sont des restrictions de di¤éomorphismes de T appartenant à un groupe G:

ii) Le groupe G opère analytiquement sur T:

On dit que F admet une (G,T)0structure transverse.

Nous allons construire la représentation d’holonomie de cette (G; T ) 0structure. Soit x0 et x1 deux points de M et c un chemin joignant x0 à x1:

Recouvrons c par des ouverts U0; :::; Uk du cocycle feuilleté (Ui; fi; T; Dij)i2I

Comme G opère analytiquement sur T , nous pouvons noter de la même manière le changement de coordonnées transverses D_ij et l’unique di¤éomorphisme apparte-nant à G dont il est la restriction, ceci pourvu que Ui \ Uj 6= ;:

On dé…nit alors  (c) comme la composée des changements de coordonnées trans-verses D_ii+1 le long de c :

 (c) = D₀₁E D₁₂ E ::: E D_k01k:

Cette expression a bien un sens car chaque D_ii+1 est dé…ni, puisque Ui\ Ui+1 est

non vide.

En utilisant encore une fois le fait que G agit analytiquement sur T , on véri…e aisément que l’élément  (c) de G ainsi obtenu ne dépend pas du recouvrement choisi et qu’il ne dépend que de la classe d’homotopie à extrémités …xes de c:

En particulier, si l’on suppose que x₀ = x₁, on obtient ainsi une représentation :

 : 1(x0, M ) ! G

appelé holonomie ( relative à x0) de la (G, T ) 0structure transverse de F: Son

image est le groupe holonomie ( relative à x0) :

Dans la suite, nous ne préciserons pas le point de base choisi et nous parle-rons simplement de la représentation d’holonomie et du groupe d’holonomie de la (G, T ) 0structure transverse de F:

1.6

Structures transverses et théorèmes de

struc-ture

Dé…nition 1.6.1. Soit F un feuilletage sur M dé…ni par le cocycle feuilleté (Ui; fi; T; Dij)i2I:

On appelle structure transverse à F toute structure géométrique sur T inva-riante par les di¤éomorphismes locaux Dij.

Exemple 1.6.2. (de structures transverses)

i) Une (G; T ) 0structure transverse.

ii) S’il existe une orientation sur T invariant par les Dij, on dit que F est un

feuilletage transversalement orientable.

iii) Si T = G est un groupe de Lie connexe et les D_ij des restrictions des trans-lations à gauche de G alors, on dit que le feuilletage F est un feuilletage de Lie. On l’appelle aussi un G0feuilletage de Lie.

On remarquera qu’un G0feuilletage de Lie est muni d’une (G; G) 0structure transverse.

Un type particulier de feuilletage de Lie s’obtient par la construction suivante : Etant donnés H et G deux groupes de Lie simplement connexes, D : H ! G un morphisme de groupes de Lie surjectif et 0 un sous-groupe discret uniforme de H ( i.e. H=0 est compacte ); les images dans H=0 des …bres de D sont les feuilles d’un G0feuilletage de Lie appelé feuilletage homogène.

En particulier si H = Rn_{, G = R}p

; p‹n, D une application linéaire surjective, 0 =Zn_{; alors le feuilletage homogène correspondant est appelé feuilletage linéaire}

du tore Tn:

groupe de Lie et H un sous- groupe fermé de G ) et les D_ij sont induits par les translations à gauche de G qui opèrent sur T = G=H; alors on dit que F est un G=H0feuilletage transversalement homogène.

On note également qu’un tel feuilletage admet une (G; G=H) 0 structure trans-verse.

v) Si T est une variété de dimension q admettant un parallélisme (c’est-à-dire qu’il existe sur T; q champs de vecteurs X1,..., Xq linéairement indépendants) invariant

par les D_ij, alors, on dit que F est un feuilletage transversalement parallélisable. vi) S’il existe une métrique riemannienne gT sur T invariant par les Dij, on dit

que F est un feuilletage riemannien. La métrique riemannienne gT est dans ces

conditions appelée métrique transverse du feuilletage riemannien F:

La métrique transverse gT et une identi…cation du …bré tangent T M à la somme

directe des …brés tangent T F et normal V (F) à F permettent de construire une métrique riemannienne g sur M ayant les propriétés suivantes :

1) les sous-…brés T F et V (F) sont orthogonaux pour g;

2) pour chaque application fi : Ui ! T et pour chaque point x de Uil’application

tangente Txfi induit une isométrie de la …bre Vx(F) sur l’espace tangent Tfi(x)(T ).

Une métrique véri…ant les conditions 1) et 2) est dite quasi-…brée relativement à F:

L’existence d’une métrique quasi-…brée caractérise les feuilletages riemanniens [21].

Notons que pour toute métrique quasi-…brée g relativement à un feuilletage rie-mannien F, si Y et Z sont deux champs de vecteurs normaux à F, alors pour tout

champ de vecteurs X tangent à F on a

Xg (Y; Z) = g ([X; Y ] ; Z) + g (Y; [X; Z]) [15]:

De façon générale, tout champ de vecteurs X (tangent ou non à F ) véri…ant la relation précédente est appelé champ de Killing pour F. Un tel champ de vecteurs est feuilleté [18]. Le champ transverse associé est appelé champ de Killing transverse pour F.

Pour terminer, remarquons que tout feuilletage de Lie est transversalement pa-rallélisable et tout feuilletage transversalement papa-rallélisable est riemannien.

Nous allons à présent donner quelques résultats essentiels.

La proposition suivante caractérise les métriques quasi-…brées. Elle est due à B. REINHART dans [21].

Proposition 1.6.3. Soit F un feuilletage de codimension q d’une variété M: Une métrique riemannienne g sur M est quasi-…brée relativement à F si quels que soient les champs de vecteurs Y et Z sur un ouvert U de M feuilletés pour la restriction de F à U et normaux à F la fonction g (Y; Z) sur U est basique pour cette restriction.

Le résultat qui suit est démontré dans [22]:

Proposition 1.6.4. Soit F un feuilletage admettant une (G; T ) 0structure trans-verse sur une variété M. Alors il existe un homomorphisme  : 1(M ) ! G et

une submersion D; dé…nie de fM (revêtement universel de M ) sur un ouvert V de la variété transverse T; equivariante par  et dont les composantes connexes des …bres sont les feuilles du feuilletage relevé fF = p3_{F à fM ; p : fM ! M:}

D équivariante par  signi…e que : pour tout D 2 1(M ) et pour tout ex 2 fM ; on

L’application D est appelée application développante de la (G; T ) 0structure transverse.

Réciproquement, si l’on se donne un homomorphisme  : 1(M ) ! G et une

submersion D de fM sur un ouvert de T; équivariante par  ; le feuilletage dé…ni par D sur fM ; passe au quotient en un feuilletage sur M admettant une (G; T ) 0structure transverse.

Notons que l’homomorphisme d’holonomie et le groupe d’holonomie de la (G,T ) 0structure transverse de F sont respectivement l’homomorphisme

 : 1(M ) ! G et 0 = (1(M )):

En considérant les notations de l’exemple 1.6.2. iii), notons que dans le cas par-ticulier d’un feuilletage homogène, l’homomorphisme de groupes de Lie

D : H ! G est l’application développante et la restriction de D à 0 est l’homomor-phisme d’holonomie.

Dans les cas particuliers d’un feuilletage transversalement homogène et d’un G-feuilletage de Lie, la proposition précédente se précise des façons suivantes :

Proposition 1.6.5. [2] Soit F un feuilletage transversalement homogène sur une variété connexe M et modelé sur un espace homogène G=H: eF le relèvement de F à fM : Alors il existe un homomorphisme  : 1(M ) ! G et une submersion

D :fM ! G=H équivariante par , telle que :

i) Les feuilles de eF sont les composantes connexes des …bres de D, ii) pour tout élément D 2 1(M ) ; le diagramme suivant est commutatif

f M ! G=HD D # #  (D) f M ! G=HD :

Ici D : fM ! fM est vue comme automorphisme de revêtement et l’élément  (D) est le di¤éomorphisme de G=H induit par la translation à gauche sur G associé à  (D) :

Proposition 1.6.6. [14] Soit F un G0feuilletage de Lie sur une variété M: Alors il existe :

- un homomorphisme  : 1(M ) ! G;

- une submersion D :fM ! G, telle que :

i) Le feuilletage relevé eF de F sur fM est simple et est dé…ni par la submersion D.

ii) D est équivariante par .

Une autre proposition donnée par FEDIDA avec les formes di¤érentielles est la suivante :

Proposition 1.6.7. [14] Une structure de G-feuilletage de Lie F sur une variété M est équivalente à la donnée d’une 1-forme di¤érentielle ! sur M à valeurs dans l’algèbre de Lie G de G telle que :

1) Pour tout x2 M, l’application linéaire !x : TxM ! G est surjective ;

2) ! véri…e l’équation de Maurer-cartan d! +1

2[!; !] = 0;

3) deux 1-forme ! et !0 _{véri…ant ces propriétés sont liées par la relation}

!0 _{= ad}

g(!) ; pour un certain g 2 G:

En particulier si G est le groupe abélien Rn; le feuilletage F est dé…ni par une famille de 1-forme fermées !1_{; :::; !}n _{linéairement indépendantes en chaque point. Si}

Théorème 1.6.8. [14] (structure des feuilletages de Lie) Soit F un G-feuilletage de Lie sur une variété connexe et compacte M: Alors on a :

i) L’application développante D de F est une …bration localement triviale de fM sur le groupe de Lie G,

ii) les adhérences des feuilles de F sont les …bres d’une …bration localement triviale D : M ! G=H où H = 0 est l’adhérence dans G du groupe d’holonomie 0 = (1(M )),

iii) le diagramme suivant est commutatif f

M !D G

# #

M !D G=H ;

iv) dans chaque …bre de la …bration D; le feuilletage induit par F est un

He0 feuilletage de Lie à feuilles denses, où He est la composante connexe dans H de

l’élément neutre e de G:

Un autre cas particulier de (G; T ) 0structure transverse est obtenu lorsque G est un groupe d’isométries d’une variété riemannienne T: Ce type de (G; T ) 0structure transverse est appelé (G; T ) 0structure riemannienne transverse. Pour ce cas particulier, on a le résultat suivant dû à EHRESMANN ( non publié ) et démontré dans [22]:

Théorème 1.6.9. Soit F un feuilletage admettant une (G; T ) 0structure rieman-nienne transverse sur une variété compacte M: Alors la variété riemanrieman-nienne T est complète et l’application développante D est une …bration localement triviale de fM sur T .

Le théorème de structure des feuilletages transversalement parallélisables a été démontré par MOLINO [18], il précise la rélation existant entre les feuilletages trans-versallement parallélisables et les feuilletages de Lie.

Théorème 1.6.10. (structure des feuilletages tranversalement parallélisables) Soit F un feuilletage transversalement parallélisable sur une variété compacte connexe M:

On a :

i) Toutes les feuilles de F sont di¤éomorphes.

ii) Les adhérences des feuilles de F sont les …bres d’une …bration localement triviale  : M ! W où W est une variété compacte connexe.

iii) Il existe un groupe de Lie simplement connexe G tel que F induit sur chaque adhérence des feuilles de F un G-feuilletage de Lie.

On notera :

i)  s’appelle la …bration basique de F, la variété W est la variété basique de F. Le groupe de Lie G est un invariant du feuilletage F ; pour cette raison, on dit que G est le groupe structural de F et l’algèbre de Lie G de G est l’algèbre de Lie structurale de F,

ii) si F est un G-feuilletage de Lie sur une variété M compacte connexe alors F est transversalement parallélisable et la variété basique W = G=H :

Dans la suite de ce paragraphe, (M; F) désigne un feuilletage riemannien de codimension q sur une variété compacte connexe M:

Un repère orthonormé transverse de (M; F) en un point x de M est une base orthonormée de l’espace transverse Vx(F) ; que l’on regardera comme un

isomor-phisme linéaire zx :R q

On note M\_{l’ensemble des repères orthonormés transverses aux di¤érents points}

de M et p\ _{: M}\ _{! M , la projection qui à un repère orthonormé transverse en un}

point x fait correspondre x: p\ _{: M}\ _{! M est un …bré principal de base M et de}

groupe structural le groupe orthogonal O(q;R): M\ _{est appelé …bré des repères}

orthonormés transverses du feuilletage (M; F).

Notons que le feuilletage riemannien (M; F) se relève sur M\_:

Désignons par F\ _{le feuilletage relevé de (M; F) sur M}\_:

Proposition 1.6.11. [18] i) F\_{est invariant par les translations à droite de O(q; R);}

ii) F\ _{a la même dimension que F,}

iii) les feuilles de F\ _{se projettent par p}\ _{sur les feuilles de F et sont pour la}

projection p\ _{des revêtements des feuilles de F.}

Le théorème qui suit précise la rélation existant entre les feuilletages riemanniens et les feuilletages transversallement parallélisables [18].

Théorème 1.6.12. Soit F un feuilletage riemannien de codimension q sur une variété compacte et connexe M :

i) Le feuilletage relevé F\ _{dans M}\ _{est transversalement parllélisable,}

ii) les adhérences de ses feuilles sont les …bres d’une …bration localement triviale de M\ _{sur une variété W: Sur chaque …bre de cette …bration, F}\ _{induit un}

G0feuilletage de Lie où G est l’algèbre de Lie structurale de F\_.

G s’appelle aussi l’algèbre de Lie structurale du feuilletage riemannien F. Le lien entre l’algèbre de Lie structurale d’un feuilletage riemannien et les adhé-rences de ses feuilles est précisé par la proposition qui suit.

Proposition 1.6.13. [15] Soit (M; F) un feuilletage riemannien transversalement orientable sur une variété compacte et connexe.

Les adhérences des feuilles de (M; F) correspondent à un système di¤érentiel P sur M tel que P

T F peut être engendré localement par des champs de Killing transverses

Z1; :::; Zr pour (M; F) ayant les propriétés suivantes :

i) Z1; :::; Zr commutent avec les champs feuilletés transverses.

ii) Z1; :::; Zr engendrent librement une algèbre de Lie isomorphe à l’algèbre de

Lie structurale G de (M; F).

Rappelons, pour terminer cette partie :

- qu’une algèbre de Lie G est dite résoluble si et seulement s’il existe une suite strictement décroissante d’idéaux (Ji)i0 de G avec J0 = G; Jn = f0g telle que _JJ_i+1i

soit commutative,

- qu’un groupe G est dit résoluble si son algèbre de Lie est résoluble,

- qu’un groupe G est dit virtuellement résoluble s’il contient un sous-groupe résoluble G0 d’indice …ni (i:e. G=G0 est un ensemble …ni).

Et le théorème suivant dù à A. HAEFLIGER [16] nous sera utile pour la suite.

Théorème 1.6.14. Un feuilletage riemannien à feuilles denses sur une variété riemannienne complète M à groupe fondamental 1(M ) virtuellement résoluble est

transversalement homogène.

On notera qu’un feuilletage transversalement homogène n’est pas forcement rie-mannien. En e¤et, pour que la (G; G=H) 0structure transverse d’un feuilletage transversalement homogène soit riemannienne, il faut et il su¢t qu’il existe sur G une métrique invariante à gauche qui soit aussi invariante à droite par H.

Généralités sur les extensions des

feuilletages

On cherche à étudier l’existence et la nature des extensions d’un feuilletage de structure transverse donnée.

Ici , nous nous bornerons à

1) donner quelques méthodes de construction d’extensions de feuilletages, 2) établir, dans le cas des (G; T )0structures transverse, un lien entre les groupes d’holonomie d’un feuilletage et de son extension,

3) montrer qu’un feuilletage à structure transverse bifeuilletée est intersection de deux extensions transverses et que le groupe d’holonomie d’une feuille du feuille-tage est le produit des groupes d’holonomie des feuilles des deux extensions qui la contiennent,

4) donner un exemple de feuilletage non riemannien extension d’un feuilletage riemannien.

Dans tout ce qui suit, si nécessaire la variété et les feuilletages considérés seront pris orientables.

2.1

Dé…nitions, construction d’extensions de

feuille-tage

Dé…nition 2.1.1. Une extension d0_{un feuilletage (M; F) de codimension q est}

un feuilletage (M; F0_{) de codimension q}0 _{tel que 0 < q}0 _{< q et les feuilles de (M; F}0₎

sont des réunions de feuilles de (M; F) (on notera F F0_).

Une extension (M; F0_{) d}0_{un feuilletage sera dite riemannienne, (resp., de Lie,}

tranversalement homogène, linéaire) si (M; F0_{) est un feuilletage riemannien, (resp.,}

de Lie, tranversalement homogène, linéaire). Une (G0_{; T}0_{)0extension d}0_{un feuilletage}

admettant une (G; T )0structure transverse est une extension de ce feuilletage munie d’une (G0_{; T}0_{)0structure transverse.}

Dans la suite, pour simpli…er un feuilletage admettant une (G; T )0structure transverse sera appelé (G; T )0feuilletage.

Remarque 2.1.2. On montre dans [11] que si (M; F0_{) est une extension simple}

d’un feuilletage simple (M; F) et si (M; F) et (M; F0_{) sont dé…nis respectivement}

par les submersions  : M ! T et 0 _{: M ! T}0_{; alors il existe une submersion}

 : T ! T0 _{telle que }0 _{=  E :}

On dira que la submersion  est une liaison entre le feuilletage (M; F) et son feuilletage extension (M; F0_{) :}

Dé…nition 2.1.3. Soient G et G0 _{deux groupes de Lie, 0 un sous-groupe de G, et}

 une submersion de G sur G0_{. On dira que  est un 00morphisme si pour tout}

(D; g) 2 0 2 G, on a :

(D:g) = (D):(g)

Dans ce qui suit on donne des exemples de construction d’extensions de feuille-tage.

2.1.1

Exemples de construction d’extension de feuilletage

Proposition 2.1.4. Etant donné un feuilletage (M ,F) de variété transverse modèle T , soit T0 _{une variété de dimension q’>0. Si les di¤éomorphismes locaux de}

transi-tion de F préservent les …bres d0_{une submersion de T sur T}0_{; alors le feuilletage F}

admet une extension de codimension q’ et de variété modèle transverse T0_:

Démonstration. Soit (Ui)_i2I un recouvrement de M formé d’ouverts distingués pour

F de sorte que la structure de feuilletage F soit dé…nie par le cocycle (Ui; T; fi; gij)_i2I

et considérons la famille des submersions f0

i =  E fi. En remarquant que pour

Ui \ Uj 6= ;; T gji(KerT jfi(Ui\Uj)) = KerT jfj(Ui\Uj); on note alors que les

dif-féormorphismes locaux de transition gij préservent les …bres des restrictions de la

submersion  aux ouverts fi(Ui\Uj); par conséquent chaque gij dé…nit un

di¤éomor-phismes g0

ij de fj0(Ui\Uj) sur fi0(Ui\Uj) de sorte qu’on a pour tous i; j; gji0 E = Egji.

Le diagramme commutatif suivant :

Ui\ Uj fi ! fi(Ui\ Uj)  ! f0 i(Ui \ Uj) Id_Ui\Uj # #gji #gji0 Ui\ Uj fj ! fj(Ui\ Uj)  ! f0 j(Ui\ Uj)

permet de voir que 0Ui; T0; fi0; gij0

1

i2I est un cocycle dé…nissant un feuilletage F 0

extension du feuilletage F.

Exemple 2.1.5. (de construction d’extension de feuilletage)

1) Si T et T0 _{sont des groupes de Lie, F un feuilletage de Lie et s’il existe un}

morphisme surjectif de groupes  de T sur T0_{, alors il existe une extension de Lie}

F0 _{de F:}

2) Si F est un G=H0 feuilletage transversalement homogène et si H0 _{est un}

sous-groupe de Lie fermé de G contenant H alors l’inclusion H  H0 _{dé…nit une}

submersion canonique  de G=H sur G=H0 _{et F admet alors une G=H}0_0extension

transversalement homogène.

3) Si F est un G0feuilletage de Lie sur une variété M , alors à tout sous-groupe fermé (resp. sous-groupe normal) propre de G correspond une extension transversa-lement homogène (resp. de Lie ) de F.

4) Si F est un G0feuilletage de Lie d0_{une variété compacte, à feuilles ni fermées}

ni denses, on sait par le théorème de structure des feuilletages de Lie [14], que les adhérences des feuilles de F forment un feuilletage simple. Ce feuilletage des adhérences est alors une extension transversalement homogène de F.

5) Soit F un (G; T )0feuilletage sur une variété M , avec T = T12 T2 et

G = G1 2 G2 où chaque Gi est un groupe de di¤éomorphismes de Ti opérant

ana-lytiquement sur Ti , i = 1; 2. Si D est une développante de F sur le revêtement

universel fM de M , alors le feuilletage simple dé…ni par priE D passe au quotient et

dé…nit un (Gi; Ti)0extension de F.

6) Ici, nous construisons un exemple concret de (G0_{; T}0_{)0feuilletage extension}

d0_{un (G; T )0feuilletage. Avec les résultats du paragraphe suivant on pourra établir}

En s’inspirant de la construction du ‡ot de Morse-Smale [5], considérons la variété compacteS2p+2q_{2 S}1 _{obtenue comme le quotient deR}2p+2q+1_{0 f0g par l’homothétie}

h de rapport 2. Le groupe 1(S

2p+2q _{2 S}1_{) est cyclique. Soit c}

0 un générateur de

1(S

2p+2q_2S1_{) qui agit surR}2p+2q+1_{0f0g par l’homothétie h et soit la représentation}

de 1(S

2p+2q _{2 S}1_{) dans le groupe des similitudes Sim(C}q_{) de C}q _{qui à c}

0 associe

l’homothétie de rapport 2. En écrivant R2p+2q+1 _{sous la forme C}p _{2 C}q_{2 R et en}

considérant la restriction D à R2p+2q+1_{0 f0g de la projection pr}

2 de Cp 2 Cq 2 R

sur Cq_{, D est une submersion h- équivariante. Elle dé…nit donc sur S}2p+2q _{2 S}1 _un

feuilletage F de codimension 2q qui est un (Sim(Cq_{), C}q_{)0feuilletage transverse ;}

ce feuilletage a une seule feuille compacte isomorphe à S2p _{2 S}1 _{si p 6= 0, et deux}

feuilles compactes si p = 0 (‡ot de Morse-Smale).

Si nous supposons que q > 2, et si q0 _{est un entier tel que q > q}0 _{ 1 alors, comme}

toute application linéaire L deCq _surCq0

commute avec l’homothétie de rapport 2 , le feuilletage simple sur R2p+2q+1_{0 f0g dé…ni par L E D où L est surjective, permet}

par passage au quotient, d’obtenir sur S2p+2q _{2 S}1 _{une (Sim(C}q0

), Cq0

)0feuilletage F0 _{extension du (Sim(C}q_),Cq_{)0feuilletage précédent.}

7) Cet exemple nous permettra au paragraphe 2.3 de donner un exemple d’ex-tension non riemannienne d’un feuilletage de Lie non minimal.

Soit R nAR

2

le groupe de Lie (résoluble) obtenu en mettant sur l’espace R3 =R 2 R2 le produit

(t; u) (t0; u0) =t + t0; Atu0+ u

où A est un automorphisme unimodulaire (A 2 SL (2;Z)) à coe¢cients entiers du plan R2 ayant pour valeurs propres  et 1

signi…e que la trace trA9 2 (par exemple l’automorphisme d’Anosov 0 B @ 1 1 1 2 1 C A): Si v1 et v2 sont les vecteurs propres associés respectivement à  et

1

; l’algèbre

de Lie du groupe de Lie R nAR

2

est engendrée par les champs de vecteurs

X =  1 log   @ @t; Y =  t v1; Z =  0t v2

avec les crochets :

[X; Y ] = Y ; [X; Z] = 0Z; [Y ; Z] = 0:

Z nAZ

2

est un sous-groupe discret uniforme deR nAR

2

ayant pour quotient la variété compacte T3

A appelé tore hyperbolique de dimension 3.

Le sous-groupe à un paramètre engendré par Y c’est-à-dire la direction “propre” engendrée par v1 est un sous-groupe fermé et normal deRnAR

2

ayant pour quotient le groupe a¢ne Af f+_{(R) des transformations a¢nes croissantes de la droite réelle.}

Af f+_{(R) = R}3

+n R est identi…é au groupe de Lie obtenu en considérant sur R3+2 R;

la loi de groupe

(t; x) (t0; x0) = (tt0; tx0+ x) :

Le ‡ot engendré par v1 est invariant par l’action de Z nAZ 2

: On en déduit que v1 détermine sur T

3

A un ‡ot 1 de groupe Af f

+_{(R); appelé “‡ot propre” du tore}

hyperbolique T3

A dé…ni par :

La direction “ propre” engendrée par v2 détermine également surT

3

A un ‡ot 2

de groupe Af f+_{(R); appelé “‡ot propre” du tore hyperbolique T}3

A dé…ni par 1:

Soit F un des deux “‡ots propres” du tore hyperbolique T3

relevé sur le rêvetement universel fT3

A =R nAR

2

deT3

A; ce ‡ot est un feuilletage de

Lie homogène [5]. Il en résulte que sa développante D est un morphisme de groupes. Ainsi, le diagramme suivant

f T3 A D 0! Af f+_{(R) = R}3 +n R pr2 0! R = Af f_R+3(R) + # T3 A

montre que la submersion pr2E D dé…ni une extension de fF sur fTA3 .

Soit D 2 1(T3A) = Z nAZ2 et x 2 fTA3: On a

pr2E D (D.x) = pr2(D (D) :D (x)) :

Comme Af f_R+3(R)

+ est l’espace a¢ne R considéré comme espace homogène du

groupe Af f+_{(R) des transformations a¢nes croissantes de la droite réelle par le}

sous-groupe R3

+ des homothéties ayant l’origine pour centre, l’action à gauche de

D (D) sur Af f+_{(R) passe au quotient. Ainsi,}

8D 2 1(T3A) et 8x 2 fTA3; pr2E D (D.x) = D (D) :pr2E D (x) :

Il résulte de l’équivariante de pr2E D par rapport au morphisme de groupes de

Lie D que le feuilletage dé…ni par pr2E D sur fTA3 passe au quotient en une extension

8) Soit F0 _{une extension d’un feuilletage F sur une variété M , B une variété, '}

une réprésentation de 1(B) dans un groupe de di¤éomorphismes de M préservant

les feuilletages F et F0_{: Alors sur la variété suspension B}

'; le feuilletage suspension

F0

' de F

0 _{est une extension de la suspension F}

' de F. En e¤et, si U est un ouvert

de trivialisation locale de la …bration p :B' ! B; les restrictions respectives de F'

et F0

' à p

01_{(U ) sont respectivement di¤éomorphes à U 2 F et U 2 F}0_.

En particulier F' et F

0

' sont des extensions du feuilletage suspension de '.

2.2

Extension de feuilletage et holonomie

Nous allons étudier les rapports entre les extensions d’un feuilletage et l’holono-mie dans les cas particuliers suivants.

2.2.1

(G’,T’)-extension d’un (G,T)-feuilletage et holonomie

La proposition suivante établit un lien entre un (G; T )0feuilletage et une de ses (G0_{; T}0_{)0extensions quelconques et généralise le résultat obtenu dans [9] sur les}

drapeaux de feuilletages de Lie.

Proposition 2.2.1. Soient M une variété compacte et connexe, (M; F) un (G; T ) 0feuilletage, de groupe d’holonomie 0.

Si (M; F0_{) est un (G}0_{; T}0_{)0feuilletage extension de (M; F) de groupe d’holonomie}

00_{, alors il existe un homomorphisme de groupes  de 0 dans G}0 _{telle que 0}0_{= (0).}

En particulier si F0 _{est une G}0_{0extension de Lie d}0_{un G0feuilletage de Lie F, }

se prolonge en un 0-morphisme  de groupes de Lie de G sur G0 _{( en un morphisme}

de groupes lorsque F est à feuilles denses.) tel que si D et D0 _{sont les applications}

Démonstration. Puisque F et F’ sont respectivement un (G; T )0feuilletage et un (G0_{; T}0_{)0feuilletage, soientfF et fF}0 _{leurs relèvements sur le revêtement universel fM}

de M ; on sait qu’il existe des représentations  de 1(M ) dans G et 0 de 1(M )

dans G0_{, une submersions D de fM sur un ouvert V de T , - équivariante dé…nissant}

fF, et une submersion D0 _{de fM sur un ouvert V}0 _{de T}0_{, }0_{- équivariante dé…nissant}

f

F0_{. Comme les deux feuilletages relevés sur fM de ces deux feuilletages sont des}

feuilletages simples et que F0 _{est une extension de F, alors eF  fF}0 _{et il existe donc}

une submersion  de V sur V0 telle que D0_{= E D. Remarquons que l’équivariance}

de D et D0 _{implique pour tout s 2 } 1(M )

(s)(V ) = V et 0(s)(V0) = V0:

Soit v 2 V . Puisque D est surjective on a

(0(s) E )(v) = (0_{(s) E )(D(e}x)) = 0_{(s)( E D(e}x)) = 0(s)D0_(ex) = D0_(sex) = ( E D)(sex) = ((s):D(ex)) = ( E (s))(D(ex)) = ( E (s))(v);

ce qui implique que : (*) pour tout s 2 1(M ),

0(s) E  =  E (s):

Soit D 2 0 , et soit s 2 1(M ) tel que D= (s) , alors l’élément D0=0(s) ne dépend

que de D. En e¤et si D= (s)=(r), puisque l’application  considérée est surjective, pour tout t0 _{2 V}0_{, on a}

0(s)(t0) = 0(s)((t)) = ( E (s))(t) = ( E (r))(t) = (0(r) E )(t) = 0(r)(t0)

Ce qui montre que 0_(s)

=V0=0(r)_=V0. Comme l’action de G0 est analytique sur T0

alors 0_(s)=0_{(r). L’application  de 0dans G}0 _{qui à D= (s) associe D}0_{= }0_{(s) ainsi}

dé…nie, véri…e la relation

0 =  E 

Puisque  est dé…nie sur 0= ( 1(M )) et puisque  et 0 sont des morphismes de

groupes, alors la relation 0 _{=  E  permet de voir que  est nécessairement un}

morphisme de groupes et que

00 = (0)

Dans le cas où F et F0_{sont des feuilletages de Lie, en identi…ant un élément d’un}

groupe de Lie avec la translation à gauche qu’il dé…nit, on a G=T , G0_=T0_{. En plus}

l’application  considérée est ici une submersion de G sur G0 _{de sorte qu’avec (*) on}

a :

( **) pour tout g2 G et pour tout D 2 0, (D:g) = (D):(g)

( ( (e))01_.D0_{, ( (e))}01_0_{(e)), on peut toujours supposer que  envoie l’élément}

neutre e de G sur l’élément neutre de G0_{, il vient, en prenant g=e dans la relation}

précédente, que pour tout D 2 0, (D) = (D). Ceci montre que  prolonge  sur G tout entier et en réécrivant (**) on a : pour tout g 2 G et pour tout D 2 0,

(D:g) = (D):(g);

i:e:  est un 00morphisme.

En plus, si F est à feuilles denses, alors 0 est une partie dense de G [14], comme la restriction de  à 0est un morphisme de groupes, il suit par continuité, que  est tout simplement un morphisme de groupes de G sur G0_.

Remarque 2.2.2. Réciproquement la donnée d0_{un G0feuilletage de Lie F de groupe}

d0_{holonomie 0 sur une variété M (non nécessairement compacte) et d}0_{un 00morphisme}

 de G sur un groupe de Lie G0 _{détermine sur M un G}0_{0feuilletage de Lie extension}

de F, obtenu par passage au quotient du feuilletage simple dé…ni par la submersion D0_{=ED où D est une développante de F sur le revêtement universel fM de M .}

Exemple 2.2.3. (de calcul de groupe d’holonomie d’une (G0_,T0_{) 0 extension)}

Calculons le groupe d’holonomie de la (Sim(Cq0

), Cq0

)0extension F0 _du

(Sim(Cq_),Cq_{) 0feuilletage F de l’exemple 2.1.5.}

Soit L :Cq _{! C}q0

l’application linéaire surjective assurant la liaison entre F et F0_{; 0 et 0}0 _{les groupes d’holonomie respectifs de F et de F}0_{, h}

2 et h 0 2 les homothéties respectives de rapport 2 de Cq _etCq0_: On a Cq = KerL 8Cq0

et puisque suivant cette décompostion L = pr2; il résulte de (*) que pour tout D 2 0

le diagramme suivant est commutatif

KerL 8Cq0 pr₂ ! Cq0 D # # KerL 8Cq0 pr₂ ! Cq0  (D) :

Comme 0 = 8hn₂; n 2 Z9, alors tout élément de 0 préserve la décompostion précé-dente de Cq_{: Par conséquent il résulte de la commutativité du diagramme précédent}

que 8 n 2 Z; 0hn₂1= h0₂n: Ainsi, 00 _{=  (0) =}8_h0n 2 ; n 2Z 9 :

2.2.2

Extensions de feuilletage à structure transverse presque

produit et holonomie

Dé…nition 2.2.4. Une variété N de dimension q = q0 _{+ q}00_{; où q}0 _{> 0 et q}00 _{> 0}

est appelée variété bifeuilletée ou variété presque produit de type (q0_{; q}00_{) si}

son …bré tangent est somme directe de deux sous-…brés intégrables de dimensions respectives q0 _{et q}00_.

Théorème 2.2.5. Soit F un feuilletage sur M admettant pour variété transverse une variété bifeuilletée de type (q0_{; q}00_{), alors F admet deux extensions transverses}

F0 _{et F}00 _{de codimension respective q}0 _{et q}00 _{telles que}

1) F0_{\ F}00 _{= F;}

2) le groupe d’holonomie d’une feuille de F est le produit direct des groupes d’holonomie des feuilles de F0 _{et de F}00 _{qui la contiennent.}

Démonstration. Soit T la variété bifeuilletée transverse modèle de F. Alors la struc-ture de variété de T peut être obtenue par un atlas de cartes produit

' : V 0! V12 V2, où V; V1; V2 sont des ouverts respectifs de T; T1; T2; et les Ti

étant les variétés transverses modèles des feuilletages de la variété bifeuilletée T: Si : W 0! W1 2 W2 est une seconde carte produit telle que V \ W 6= ;, alors le

di¤éomorphisme de changement de cartes est de la forme `1 2 `2: Ainsi quitte à

réduire les ouverts distingués de F, on peut considérer un recouvrement (Ui)_i2I de

M formé d’ouverts distingués pour F de sorte que

1) la structure de feuilletage F soit dé…nie par le cocycle (Ui; T; fi; gij)_i2I et

2) si Ui \ Uj 6= ;, fi(Ui \ Uj) soit isomorphe au moyen d’un isomorphisme de

variétés produit à un produit d’un ouvert de T1_{, par un ouvert de T}2_;

3) gij = gij1 2 g2ij:

Dans ces conditions les cocycles0Ui; Ts; fis = prsE fi; gsij

1

i2I ; s = 1; 2 dé…nissent

bien deux feuilletages transverses extensions de F, de feuilletage intersection F. On établit la deuxième partie du théorème en suivant pas à pas la construction classique de groupe d’holonomie d’une feuille [18], et cela en utisant des isormor-phismes locaux de transition pour F de la forme 3) ci-dessus, puisque la dé…nition de la réprésentation d’holonomie d’une feuille ne dépend, ni du recouvrement, ni des variétés transverses choisis. Dans ces conditions, il apparait clairement qu’on a la deuxième partie du théorème et il en résulte que si le groupe d’holonomie d’une feuille de F est triviale ( par exemple si cette feuille est simplement connexe) alors les feuilles des extensions qui la contiennent sont d’holonomie triviale.

Remarque 2.2.6. Si le feuilletage F est riemannien, alors les feuilletages trans-verses F0 _{et F}00 _{sont aussi riemanniens. En particulier si le feuilletage riemannien}

2.3

Extension d’un feuilletage riemannien

Soit (M; F0_{) une extension d’un feuilletage (M; F) :}

En se référant à la remarque 2.1.2, il est clair qu’il existe un recouvrement (Ui)i2I

de M formé d’ouverts distingués à la fois pour (M; F) et (M; F0_{) de sorte que ces}

deux feuilletages soient dé…nis respectivement par les cocycles (Ui; fi; T; Dij)i2I et

(Ui; f

0

i = i E fi; T

0_{; D}0

ij)i2I où i est une liaison entre le feuilletage (Ui; F) et son

feuilletage extension (Ui; F

0_{) :}

En tenant compte de ce qui précède on a la proposition suivante :

Proposition 2.3.1. Si F est riemannien, alors F0 _{est riemannien si et seulement}

si pour tout i 2 I; i est une submersion riemannienne.

Démonstration. Soit, T la variété transverse modèle du feuilletage riemannien F, h la métrique riemannienne de T dé…nissant F:

- Supposons que F0 _{soit un feuilletage riemannien:}

Il existe sur M une métrique g quasi-…brée pour les feuilletages riemanniens F et F0_{: Il en résulte que}

(T F)? =(T F)?\ T F08 (T F0)?:

Soit i 2 I et x 2 Ui; comme Txfi : (TxF)

? _{! T}

f_i(x)(T ) est une isométrie [21],

alors Tf_i(x)(T ) = Txfi  (TxF)?\ TxF0  8Txfi  (TxF0)?  et  Txfi  (TxF)?\ TxF0 ? = Txfi  (TxF0)?  :

D’où il résulte de :

i) La commutativité du diagramme suivant

TxM Txf_i ! Tf_i(x)(T ) Id_(TxM) # #Tf_{i (}x)i TxM Txf_i0 ! Tf0 i(x)(T 0_{) ;} ii) Txfi0 : (TxF 0₎? _{! T} f0 i(x)(T

0_{) est une isométrie [21] ,}

iii) T M = T F8 (T F)? = T F8(T F)?\ T F08 (T F0)? que KerTf_i(x)i = Txfi  (TxF)?\ TxF0  et Tf_i(x)= KerTf_{i (}x)i ? : Txfi  (TxF0)?  ! Tf0 i(x)(T

0_{) est une isométrie. Ainsi, }

i est

une submersion riemannienne.

- Supposons que pour tout i 2 I; i soit une submersion riemannienne.

Il existe sur chaque f0

i(Ui) une métrique h

0

i qui est la métrique projetée par i

de la métrique transverse de F.

La variété transverse modèle T0 _{du feuilletage F}0_{, est par constrution, la somme}

disjointe des f0

i(Ui) : Il en résulte que la somme disjointe des métriques h

0

i dé…nissent

sur T0 _{une métrique h}0_:

Soit i; j 2 I tels que Ui\ Uj 6= ;: On a le diagramme commutatif suivant :

Ui \ Uj f_i ! fi(Ui\ Uj) i ! f0 i(Ui\ Uj) Id_U i\Uj # #D ji #D 0 ji Ui \ Uj f_j ! fj(Ui \ Uj) j ! f0 j(Ui \ Uj) :

Comme D0

ji E i = j E Dji; et que Dij est une isométrie locale, alors

T D ji(KerT i) = KerT j et T D ji  (KerT i)?  = (KerT j)?:

Il résulte de cela que le diagramme ci-dessous est commutatif

(KerT i)? T i ! T (f0 i(Ui\ Uj)) T D ji # #T D 0 ji (KerT j)? T j ! T 0f0 j(Ui\ Uj)1: Par conséquent T D0

ji est une isométrie. Ainsi, F

0 _{est un feuilletage riemannien.}

Cette proposition va nous permettre de donner un exemple de feuilletage non riemannien extension d’un feuilletage de Lie non minimal.

Dans la suite Af f (Rq_{) = GL(q;R) n R}q _{désigne le groupe de Lie obtenu en}

mettant sur l’espace GL(q;R) 2 Rq _{le produit}

(g; u)g0; u0=gg0; gu0+ u:

On remarquera que l’espace homogène Af f (R_GL(q;R)q) est l’espace a¢ne Rq_:

Soit G un groupe de Lie muni de sa structure métrique invariante à gauche, H un sous-groupe de Lie fermé de G: Pour que la projection canonique  : G ! G=H soit une submersion riemannienne, il faut et il su¢t que les actions à droite des éléments de H soient des isométries.

H = GL(q;R) qui sont des isométries de Af f (Rq_{) sont des éléments du groupe}

orthogonal O(q;R) et que O (q; R) GL(q; R), alors la submersion

 : Af f (Rq_{) = GL(q;R) n R}q _0! Af f (Rq)

GL(q;R) = R

q

ne peut être riemannienne. Il en résulte que le feuilletage horizontal du …bré principal trivial

GL(q;R) ,! Af f (Rq) = GL(q;R) n Rq 0! Af f (R

q₎

GL(q;R) = R

q

est un feuilletage non riemannien pour toute valeur de q  1:

Considérons maintenant l’extension transversalement homogène d’un “‡ot propre” du tore hyperbolique T3

A de l’exemple 2.1.5. 7).

Le feuilletage horizontal du …bré principal trivial

Af f+_{(R) = R}3 +n R pr2 0! R = Af f +_(R) R3 +

n’est pas riemannien. Par conséquent le feuilletage dé…ni par la submersion pr2E D

est un feuilletage non riemannien sur fT3

A. Comme il est invariant par l’action de

1(T3A) = Z nAZ2; alors l’extension transverslement homogène d’un “‡ot propre”

du tore hyperboliqueT3

Ade l’exemple 2.1.5. 7) n’est pas riemannienne. Et on a ainsi

l’exemple cherché.

Ceci étant, on pourrait tout de même se poser la question de savoir, si l’ex-tension d’un feuilletage riemannien minimal d’une variété compacte et connexe est riemannienne. Dans le prochain chapitre, on examine la question dans le cas d’une extension d’un feuilletage Lie minimal d’une variété compacte et connexe.

Extension d’un feuilletage de Lie

minimal d’une variété compacte

3.1

Position du problème

Le théorème de structure de FEDIDA montre que l’étude d’un feuilletage de Lie d’une variété compacte et connexe se ramène modulo à une …bration, à l’étude d’un feuilletage de Lie minimal (i:e. à feuilles denses) [14].

Il s’agit ici, étant donné un G-feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte et connexe, d’étudier l’existence et la nature de ses extensions. Les in-formations, qu’on obtiendrait, pourraient nous donner une obstruction à l’existence d’une extension d’un feuilletage de Lie.

Les résultats obtenus font apparaître clairement que le groupe de Lie G contient toutes les informations concernant l’existence et la nature des extensions de (M; F).

De façon précise, on montre [8] que :

- il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de G =Lie (G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes de G) et les extensions de F;

- une extension de F est un _HG0feuilletage (voir def inition) transversalement riemannien, à …bré normal trivial, dé…ni par une 1-forme vectorielle à valeurs dans

G H.

Ce qui permet d’obtenir une caractérisation et par suite une classi…cation des extensions de F:

Une extension F0_{d’un feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte}

et connexe est transversalement homogène (resp: de Lie) si et seulement si le sous-groupe de Lie connexe correspondant est fermé (resp: normal).

Il en résulte que :

- toute extension d’un feuilletage de Lie (resp: d0un f euilletage lineaire) mini-mal du tore est un feuilletage de Lie (resp: un feuilletage lineaire) et

- si un feuilletage de Lie d’une variété compacte est dense dans une de ses ex-tensions alors cette extension est un G

H0feuilletage transversalement riemannien, à

…bré normal trivial.

3.2

Généralités

Notation 3.2.1. Dans ce qui suit G est une algèbre de Lie de dimension q; de groupe de Lie connexe et simplement connexe G; H une sous- algèbre de Lie de G de codimension q0_; 0_e

1; :::; eq

1

une base de l’algèbre de Lie G telle que eq0

+1; :::; eq

 soit une base de H; on pose 2ei; ej

3 = q P k=i K_ijkek , les K k

de G. Ainsi si ! est une 1-forme sur une variété M à valeurs dans G; relativement à cette base, on a ! = Pq

i=1

!i_{A e}

i qu’on note encore ! = (!

1_{; :::; !}q_{) ; par exemple si}

 est la 1-forme canonique de G; on écrira  =

q P i=1 iA ei où  = 0 1; :::; q1: Précisons pour la suite qu’un sous-groupe de Lie étant vu comme un sous-groupe immergé d’un groupe de Lie, n’est alors ni nécessairement plongé, ni nécessaire-ment fermé.

La notion de _HG0feuilletage, que nous allons dé…nir maintenant, a été introduite par El KACIMI, G. GUASP et M. NICOLAU dans [13]:

Observons avant tout que si ! = (!1_{; :::; !}q_{) dans la base} 0_e

1; :::; eq 1 précédente, d! + 1 2[!; !] = 0; et que ! 1_{; :::; !}q0

sont linéairement indépendantes en tout point de M alors le système di¤érentiel !1 _{= ::: = !}q0

= 0 dé…nit un feuilletage F de codimension q0_{: En e¤et, la condition de Maurer Cartan d! +}1

2 [!; !] = 0 implique que 8k 2 f1; :::; qg ; d!k _{= 0}1 2 q X i;j=1 K_ijk!i^ !j _{(3) :}

Comme H est une sous-algèbre de Lie de G de base e_{q0 +1}; :::; eq



, les constantes de structure K_ijk de G sont nulles pour k  q0 _{et i; j  q}0_{+ 1: Ainsi, il résulte de (3) que}

8k  q0; d!k= 01 2 q0 X i=1 q X j=1 K_ijk!i^ !j0 1 2 q X i=q0₊₁ q0 X j=1 K_ijk!i^ !j:

Par conséquent, si J désigne l’idéal de 3 (M;R) engendré par les 1-formes !1_{; :::; !}q0

; on a dJ  J : Ce qui assure grâce au théorème de FROBENIUS que le système di¤érentiel !1 _{= ::: = !}q0

Dé…nition 3.2.2. Le feuilletage F ainsi dé…ni est appelé un G

H0feuilletage dé…ni

par la 1-forme !:

Si la 1-forme ! est la 1-forme de Fédida dé…nissant un feuilletage de Lie F!; on

dira que F est le G

H0feuilletage associé au feuilletage de Lie F!:

On notera que si M = G; alors  =01; :::; q1dé…nit un G

H-feuilletage FG;H dont

les feuilles sont les classes à gauche de H:

On notera également que si le sous-groupe H est fermé, ce G

H0feuilletage est

un feuilletage transversalement homogène qui n’est pas forcément riemannien. Par exemple pour G = Af f (Rq_{) = GL(q;R)nR}q_{; le feuilletage horizontal F}

Af f (Rq_);GL(q;R)

du …bré principal trivial

GL(q;R) ,! Af f (Rq_{) = GL(q;R) n R}q _0! Af f (Rq)

GL(q;R) = R

q

n’est pas riemannien.

Dé…nition 3.2.3. Soient N une variété di¤érentielle, (N; F0_{) un feuilletage sur N .}

Une application di¤érentielle ' : M ! N est dite transverse pour (N; F0_{) si et}

seulement si pour tout x 2 M;

T'(x)N = Tx' (TxM ) + T'(x)F0 :

On notera que si (N; F0_{) est un} G

H0feuilletage sur N dé…ni par une 1-forme B

et si ' : M ! N est une application di¤érentielle transverse pour (N; F0_{) ; alors}

C = '3_{B dé…ni sur M un} G

H0feuilletage F noté '3F0:

En s’inspirant de la démonstration du théorème de relèvement d’un G0feuilletage de Lie ou d’un feuilletage transversalement homogène dans ([2]; [14]) et en tenant

compte des notations précédentes; on établit la proposition qui suit :

Proposition 3.2.4. Soit F un _HG0feuilletage sur une variété M; dé…ni par une 1-forme ! et soit eF = 3_{F le feuilletage relevé de F sur le revêtement universel}

 : fM ! M: Alors, il existe une application di¤érentiable D : fM ! G transverse pour FG;H et un homomorphisme  : 1(M ) ! G telles que :

(i) D est équivariant par , et (ii) 3_{! = D}3_{; i.e. eF = D}3_F

G;H:

On dira que D est une application développante sur fM du _HG0feuilletage F:

Démonstration. Pour tout g 2 G; notons par Lg ( resp. Rg ) la translation à gauche

( resp. à droite ) de G associée à g:

Soient p1 : M 2 G ! M et p2 : M 2 G ! G les projections de M 2 G sur M et

sur G respectivement. Posons B = p3₁! 0 p3₂ et A = adgE B c’est à dire A (X) (x; g) = adg(B (X) (x; g)) = d (Lg) E d (Rg01) (B (X) (x; g)) pour tout (x; g) 2 M 2 G et X 2 X (M 2 G) : A est une 1-forme sur M 2 G à valeurs dans G.

Dans toute la suite M 2 G est considéré comme un …bré principal où l’action de G est une action à gauche.

Montrons que A est une 1-forme de connexion plate sur M 2 G.

1) Soit X3 _{le champ fondamental sur M 2 G engendré par X 2 G: On a}

A (X3) = adg0p3₁! (X3) 0 p3₂ (X3)1 = adg 0 0p3 2 (X 3₎1 = adg(0 (dp2(X 3₎₎₎ = adg  0(dp2(X 3₎₎ g  :

M 2 G étant considéré comme un …bré principal où l’action de G est une action à gauche, alors dp2(X

3_{) est un champ de vecteurs invariant à droite sur G et on a}

(dp₂(X3₎₎

g = 0d (Rg) (X) [19]: Il en résulte que

A (X3) = adg( (d (Rg) (X)))

= d (Lg) E d (Rg01) E d (L_g01) E d (R_g) (X) :

Or d (Lg) et d (Ra) commutent pour tout g 2 G et tout a 2 G; donc A (X3) = X:

2) Soit a 2 G: On a (La)3A = (La)3(adgE B) = adagE (La)3B = adaE adgE 0 (La)3 0 p3₁!10 (La)3 0 p3₂11 = adaE adgE ((p1 E La) 3 ! 0 (p2 E La) 3 ) :