Extensions de feuilletage à structure transverse presque pro-

2.2.2 Extensions de feuilletage à structure transverse presque

produit et holonomie

Dé…nition 2.2.4. Une variété N de dimension q = q0 + q00; où q0 > 0 et q00 > 0 est appelée variété bifeuilletée ou variété presque produit de type (q0; q00) si son …bré tangent est somme directe de deux sous-…brés intégrables de dimensions respectives q0 et q00.

Théorème 2.2.5. Soit F un feuilletage sur M admettant pour variété transverse une variété bifeuilletée de type (q0; q00), alors F admet deux extensions transverses F0 et F00 de codimension respective q0 et q00 telles que

1) F0\ F00 = F;

2) le groupe d’holonomie d’une feuille de F est le produit direct des groupes d’holonomie des feuilles de F0 et de F00 qui la contiennent.

Démonstration. Soit T la variété bifeuilletée transverse modèle de F. Alors la struc-ture de variété de T peut être obtenue par un atlas de cartes produit

' : V 0! V12 V₂, où V; V1; V2 sont des ouverts respectifs de T; T1; T2; et les Ti

étant les variétés transverses modèles des feuilletages de la variété bifeuilletée T: Si : W 0! W1 2 W₂ est une seconde carte produit telle que V \ W 6= ;, alors le di¤éomorphisme de changement de cartes est de la forme `<sub>1</sub> 2 `₂: Ainsi quitte à réduire les ouverts distingués de F, on peut considérer un recouvrement (Ui)_i2I de M formé d’ouverts distingués pour F de sorte que

1) la structure de feuilletage F soit dé…nie par le cocycle (Ui; T; fi; gij)_i2I et 2) si Ui \ U_j 6= ;, f_i(Ui \ U_j) soit isomorphe au moyen d’un isomorphisme de variétés produit à un produit d’un ouvert de T1, par un ouvert de T2;

3) gij = g1 ij 2 g2

ij:

Dans ces conditions les cocycles0

U_i; Ts; fs

i = pr_sE f_i; gs ij

1

i2I ; s = 1; 2 dé…nissent bien deux feuilletages transverses extensions de F, de feuilletage intersection F.

On établit la deuxième partie du théorème en suivant pas à pas la construction classique de groupe d’holonomie d’une feuille [18], et cela en utisant des isormor-phismes locaux de transition pour F de la forme 3) ci-dessus, puisque la dé…nition de la réprésentation d’holonomie d’une feuille ne dépend, ni du recouvrement, ni des variétés transverses choisis. Dans ces conditions, il apparait clairement qu’on a la deuxième partie du théorème et il en résulte que si le groupe d’holonomie d’une feuille de F est triviale ( par exemple si cette feuille est simplement connexe) alors les feuilles des extensions qui la contiennent sont d’holonomie triviale.

Remarque 2.2.6. Si le feuilletage F est riemannien, alors les feuilletages trans-verses F0 et F00 sont aussi riemanniens. En particulier si le feuilletage riemannien F est de codimension 2, le groupe d’holonomie 0 d’une feuille est …ni:

2.3 Extension d’un feuilletage riemannien

Soit (M; F0) une extension d’un feuilletage (M; F) :

En se référant à la remarque 2.1.2, il est clair qu’il existe un recouvrement (Ui)_i2I de M formé d’ouverts distingués à la fois pour (M; F) et (M; F0) de sorte que ces deux feuilletages soient dé…nis respectivement par les cocycles (U_i; f_i; T; D_ij)i2I et (U_i; f0

i = i E f_i; T0; D0

ij)i2I où i est une liaison entre le feuilletage (U_i; F) et son feuilletage extension (U_i; F0) :

En tenant compte de ce qui précède on a la proposition suivante :

Proposition 2.3.1. Si F est riemannien, alors F0 est riemannien si et seulement si pour tout i 2 I; i est une submersion riemannienne.

Démonstration. Soit, T la variété transverse modèle du feuilletage riemannien F, h la métrique riemannienne de T dé…nissant F:

- Supposons que F0 soit un feuilletage riemannien:

Il existe sur M une métrique g quasi-…brée pour les feuilletages riemanniens F et F0: Il en résulte que

(T F)^? =

(T F)^?\ T F⁰

8 (T F⁰)^?:

Soit i 2 I et x 2 Ui; comme Txfi : (TxF)^? ! T_f

i(x)(T ) est une isométrie [21], alors Tf_i(x)(T ) = Txfi  (TxF)^?\ T_xF0 8T_xfi  (TxF0)^? et  T_xf_i (T_xF)^?\ T_xF⁰? = T_xf_i (T_xF⁰)^? :

D’où il résulte de :

i) La commutativité du diagramme suivant

TxM ^Txfi ! Tf_i(x)(T ) Id_(TxM) # #_Tf i (x)_i TxM ^Txf 0 i ! Tf0 i(x)(T0) ; ii) Txf0 i : (TxF0)^? ! T_f0

i(x)(T0) est une isométrie [21] , iii) T M = T F8 (T F)^? = T F8 (T F)^?\ T F⁰ 8 (T F⁰)^? que KerTf_i(x)_i = Txf_i (TxF)^?\ TxF⁰ et Tf_i(x)= KerTf_{i (}x)i ? : Txf_i (TxF0)^? ! Tf0

i(x)(T0) est une isométrie. Ainsi, _i est une submersion riemannienne.

- Supposons que pour tout i 2 I; i soit une submersion riemannienne. Il existe sur chaque f0

i(Ui) une métrique h0

i qui est la métrique projetée par i

de la métrique transverse de F.

La variété transverse modèle T0 du feuilletage F0, est par constrution, la somme disjointe des f0

i(Ui) : Il en résulte que la somme disjointe des métriques h0

i dé…nissent sur T0 une métrique h0:

Soit i; j 2 I tels que Ui\ Uj 6= ;: On a le diagramme commutatif suivant :

U_i \ Uj f_i ! f_i(U_i\ Uj) ^i ! f0 i(U_i\ Uj) Id_U i^\Uj # #D ji #D0 ji U_i \ Uj f_j ! f_j(U_i \ Uj) ! f^j 0 j(U_i \ Uj) :

Comme D0

ji E i = j E D_ji; et que D_ij est une isométrie locale, alors

T D ji(KerT i) = KerT j et T D ji  (KerT i)^? = (KerT j)^?:

Il résulte de cela que le diagramme ci-dessous est commutatif

(KerT i)^{? T }i ! T (f0 i(Ui\ Uj)) T D ji # #T D0 ji (KerT j)^{? T }!^j T 0 f0 j(Ui\ Uj)1 : Par conséquent T D0

ji est une isométrie. Ainsi, F0 est un feuilletage riemannien. Cette proposition va nous permettre de donner un exemple de feuilletage non riemannien extension d’un feuilletage de Lie non minimal.

Dans la suite Af f (Rq) = GL(q;R) n Rq désigne le groupe de Lie obtenu en mettant sur l’espace GL(q;R) 2 Rq le produit

(g; u) g⁰; u⁰ = gg⁰; g u⁰ + u :

On remarquera que l’espace homogène ^{Af f (R}_GL(q;R)^q) est l’espace a¢ne Rq:

Soit G un groupe de Lie muni de sa structure métrique invariante à gauche, H un sous-groupe de Lie fermé de G: Pour que la projection canonique  : G ! G=H soit une submersion riemannienne, il faut et il su¢t que les actions à droite des éléments de H soient des isométries.

H = GL(q;R) qui sont des isométries de Af f (Rq) sont des éléments du groupe orthogonal O(q;R) et que O (q; R) GL(q; R), alors la submersion

 : Af f (Rq) = GL(q;R) n Rq 0! Af f (Rq) GL(q;R) ^{= R}

q

ne peut être riemannienne. Il en résulte que le feuilletage horizontal du …bré principal trivial

GL(q;R) ,! Af f (R^q) = GL(q;R) n R^q 0! Af f (Rq) GL(q;R) ^{= R}

q

est un feuilletage non riemannien pour toute valeur de q  1:

Considérons maintenant l’extension transversalement homogène d’un “‡ot propre” du tore hyperbolique T3

A de l’exemple 2.1.5. 7). Le feuilletage horizontal du …bré principal trivial

Af f+(R) = R³₊n R0! R ^pr2 = ^{Af f}

+(R) R3

+

n’est pas riemannien. Par conséquent le feuilletage dé…ni par la submersion pr2E D est un feuilletage non riemannien sur fT3

A. Comme il est invariant par l’action de 1(T3

A) = Z n_AZ2; alors l’extension transverslement homogène d’un “‡ot propre” du tore hyperboliqueT3

Ade l’exemple 2.1.5. 7) n’est pas riemannienne. Et on a ainsi l’exemple cherché.

Ceci étant, on pourrait tout de même se poser la question de savoir, si l’ex-tension d’un feuilletage riemannien minimal d’une variété compacte et connexe est riemannienne. Dans le prochain chapitre, on examine la question dans le cas d’une extension d’un feuilletage Lie minimal d’une variété compacte et connexe.

Extension d’un feuilletage de Lie

minimal d’une variété compacte

3.1 Position du problème

Le théorème de structure de FEDIDA montre que l’étude d’un feuilletage de Lie d’une variété compacte et connexe se ramène modulo à une …bration, à l’étude d’un feuilletage de Lie minimal (i:e. à feuilles denses) [14].

Il s’agit ici, étant donné un G-feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte et connexe, d’étudier l’existence et la nature de ses extensions. Les in-formations, qu’on obtiendrait, pourraient nous donner une obstruction à l’existence d’une extension d’un feuilletage de Lie.

Les résultats obtenus font apparaître clairement que le groupe de Lie G contient toutes les informations concernant l’existence et la nature des extensions de (M; F).

De façon précise, on montre [8] que :

- il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de G =Lie (G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes de G) et les extensions de F;

- une extension de F est un _H^G0feuilletage (voir def inition) transversalement riemannien, à …bré normal trivial, dé…ni par une 1-forme vectorielle à valeurs dans

G H.

Ce qui permet d’obtenir une caractérisation et par suite une classi…cation des extensions de F:

Une extension F0d’un feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte et connexe est transversalement homogène (resp: de Lie) si et seulement si le sous-groupe de Lie connexe correspondant est fermé (resp: normal).

Il en résulte que :

- toute extension d’un feuilletage de Lie (resp: d0un f euilletage lineaire) mini-mal du tore est un feuilletage de Lie (resp: un feuilletage lineaire) et

- si un feuilletage de Lie d’une variété compacte est dense dans une de ses ex-tensions alors cette extension est un G

H0feuilletage transversalement riemannien, à …bré normal trivial.

3.2 Généralités

Notation 3.2.1. Dans ce qui suit G est une algèbre de Lie de dimension q; de groupe de Lie connexe et simplement connexe G; H une sous- algèbre de Lie de G de codimension q0; 0

e₁; :::; e_q1

une base de l’algèbre de Lie G telle que ^e_q0

+1; :::; e_q soit une base de H; on pose ²e_i; e_j3

=

q

P

k=i

K_ij^ke_k , les Kk

de G. Ainsi si ! est une 1-forme sur une variété M à valeurs dans G; relativement à cette base, on a ! = ^Pq

i=1

!iA e_i qu’on note encore ! = (!1; :::; !q) ; par exemple si  est la 1-forme canonique de G; on écrira  =

q

P

i=1

ⁱA e_i où  = ⁰¹; :::; ^q1 :

Précisons pour la suite qu’un sous-groupe de Lie étant vu comme un sous-groupe immergé d’un groupe de Lie, n’est alors ni nécessairement plongé, ni nécessaire-ment fermé.

La notion de _H^G0feuilletage, que nous allons dé…nir maintenant, a été introduite par El KACIMI, G. GUASP et M. NICOLAU dans [13]:

Observons avant tout que si ! = (!1; :::; !q) dans la base 0

e₁; :::; e_q1

précédente, d! + 1

2[!; !] = 0; et que !1; :::; !q0

sont linéairement indépendantes en tout point de M alors le système di¤érentiel !1 = ::: = !q0

= 0 dé…nit un feuilletage F de codimension q0: En e¤et, la condition de Maurer Cartan d! +¹₂ [!; !] = 0 implique que 8k 2 f1; :::; qg ; d!k = 0¹ 2 q X i;j=1 K_ij^k!ⁱ^ !j (3) :

Comme H est une sous-algèbre de Lie de G de base 

e_{q0 +1}; :::; eq



, les constantes de structure K_ij^k de G sont nulles pour k  q0 et i; j  q0+ 1: Ainsi, il résulte de (3) que

8k  q⁰; d!^k= 0¹ 2 q0 X i=1 q X j=1 K_ij^k!ⁱ^ !^j0 ¹ 2 q X i=q0+1 q0 X j=1 K_ij^k!ⁱ^ !^j:

Par conséquent, si J désigne l’idéal de 3 (M;R) engendré par les 1-formes !1; :::; !q0

; on a dJ  J : Ce qui assure grâce au théorème de FROBENIUS que le système di¤érentiel !1 = ::: = !q0

Dé…nition 3.2.2. Le feuilletage F ainsi dé…ni est appelé un G

H0feuilletage dé…ni par la 1-forme !:

Si la 1-forme ! est la 1-forme de Fédida dé…nissant un feuilletage de Lie F!; on dira que F est le G

H0feuilletage associé au feuilletage de Lie F_!:

On notera que si M = G; alors  =0

¹; :::; ^q1

dé…nit un G

H-feuilletage F_G;H dont les feuilles sont les classes à gauche de H:

On notera également que si le sous-groupe H est fermé, ce G

H0feuilletage est un feuilletage transversalement homogène qui n’est pas forcément riemannien. Par exemple pour G = Af f (Rq) = GL(q;R)nRq; le feuilletage horizontal F_{Af f (R}q);GL(q;R)

du …bré principal trivial

GL(q;R) ,! Af f (Rq) = GL(q;R) n Rq 0! Af f (Rq) GL(q;R) ^{= R}

q

n’est pas riemannien.

Dé…nition 3.2.3. Soient N une variété di¤érentielle, (N; F0) un feuilletage sur N . Une application di¤érentielle ' : M ! N est dite transverse pour (N; F0) si et seulement si pour tout x 2 M;

T'(x)N = Tx' (TxM ) + T'(x)F0 :

On notera que si (N; F0) est un _H^G0feuilletage sur N dé…ni par une 1-forme B et si ' : M ! N est une application di¤érentielle transverse pour (N; F0) ; alors C = '3B dé…ni sur M un _H^G0feuilletage F noté '3F0:

En s’inspirant de la démonstration du théorème de relèvement d’un G0feuilletage de Lie ou d’un feuilletage transversalement homogène dans ([2]; [14]) et en tenant

compte des notations précédentes; on établit la proposition qui suit :

Proposition 3.2.4. Soit F un _H^G0feuilletage sur une variété M; dé…ni par une 1-forme ! et soit eF = 3F le feuilletage relevé de F sur le revêtement universel  : fM ! M: Alors, il existe une application di¤érentiable D : fM ! G transverse pour FG;H et un homomorphisme  : ₁(M ) ! G telles que :

(i) D est équivariant par , et (ii) 3! = D3; i.e. eF = D3FG;H:

On dira que D est une application développante sur fM du _H^G0feuilletage F:

Démonstration. Pour tout g 2 G; notons par Lg ( resp. Rg ) la translation à gauche ( resp. à droite ) de G associée à g:

Soient p₁ : M 2 G ! M et p₂ : M 2 G ! G les projections de M 2 G sur M et sur G respectivement. Posons B = p³₁! 0 p³₂ et A = ad_gE B c’est à dire A (X) (x; g) = adg(B (X) (x; g)) = d (Lg) E d (Rg01) (B (X) (x; g)) pour tout (x; g) 2 M 2 G et X 2 X (M 2 G) : A est une 1-forme sur M 2 G à valeurs dans G.

Dans toute la suite M 2 G est considéré comme un …bré principal où l’action de G est une action à gauche.

Montrons que A est une 1-forme de connexion plate sur M 2 G.

1) Soit X3 le champ fondamental sur M 2 G engendré par X 2 G: On a

A (X³) = adg0 p³₁! (X³) 0 p³₂ (X³)1 = adg 0 0p3 2 (X³)1 = adg(0 (dp₂(X³))) = adg  0 (dp₂(X³))_g :

M 2 G étant considéré comme un …bré principal où l’action de G est une action à gauche, alors dp₂(X3) est un champ de vecteurs invariant à droite sur G et on a (dp₂(X3))_g = 0d (R_g) (X) [19]: Il en résulte que

A (X³) = adg( (d (Rg) (X)))

= d (L_g) E d (R_g01) E d (L_g01) E d (R_g) (X) :

Or d (Lg) et d (Ra) commutent pour tout g 2 G et tout a 2 G; donc A (X3) = X: 2) Soit a 2 G: On a (La)³A = (La)³(adgE B) = adagE (L_a)³B = adaE adgE0 (La)³0 p³₁!1 0 (La)³0 p³₂11 = ad_aE ad_gE ((p₁ E L_a)³! 0 (p₂ E L_a)³) :

Or p₂ E La = LaE p₂ et p₁ E La= p₁ donc (La)³A = adaE ad_gE0 p³₁! 0 (LaE p₂)³1 = adaE adgE0 p³₁! 0 (p₂)³(La)³1 = adaE adgE0 p³₁! 0 p³₂1 = adaA:

Ainsi A est équivariant par rapport à la représentation adjointe de G:

3) Soit C = dA +¹₂[A; A] la forme de courbure de la 1-forme de connexion A et j : M 2 feg ,! M 2 G: j3A = j30 ad_gE0 p3 1!1 0 p3 21 = adeE j30 p³₁! 0 p³₂1 = j³p³₁! 0 j³p³₂ = (p₁ E j)³! 0 (p₂ E j)³:

Or pour tout (x; e) 2 M 2 feg ; p₁E j (x; e) = x et p₂E j (x; e) = e donc j3A = !: Comme :

i) j3C = j30

dA + ¹₂[A; A]1

= dj3A + ¹₂[j3A; j3A] = d! +¹₂[!; !] = 0; ii) C est nulle si l’un de ses arguments est tangent aux …bres de p₁, iii) C est équivariant par rapport à la représentation adjointe de G, alors dA + 1

2[A; A] = 0:

Soit M0 une feuille de la connexion plate A et i : M0 ,! M 2 G:

A étant une connexion plate sur M 2 G; p₁ E i : M0 ! M est un revêtement galoisien de groupe  (₁(M )) où  : ₁(M ) ! G est l’homomorphisme de la connexion A: Par conséquent, pour tout (x; g) 2 M0 et tout D 2 ₁(M ) on a  (D) (x; g) 2 M0: Or pour tout (x; g) 2 M0; D: (x; g) =  (D) (x; g) = (x;  (D) :g) donc p₂ E i (D: (x; g)) =  (D) :g =  (D) :p₂ E i (x; g) :

M0 étant un revêtement galoisien de M; M0 est le quotient du revêtement uni-versel  : fM ! M de M par ₁(M0) et la projection canonique 0 : fM ! M0 véri…e les relations suivantes :

i)  = p₁ E i E 0;

ii) 8ex 2 fM ; 8D 2 ₁(M ) ; 0(D:ex) = D:0(ex) =  (D) :0(ex) : Posons D = p₂ E i E0: On a pour tout ex 2 fM et tout D 2 ₁(M ) ;

D (D:ex) = p2 E i E ⁰(D:ex) = p₂ E i (D:⁰(ex)) =  (D) :p₂ E i E ⁰(ex) =  (D) :D (ex) : Ainsi, D est ₁(M ) 0équivariant:

M0 étant une feuille de la connexion plate A; on a i3A = 0: Il en résulte que 3! = D3: Comme 3! = D3; alors 8ex 2 fM ; Tx_eD Tx_eMf = d0 L_D(ex)1 (!x(TxM )) : De plus G = !x(TxM ) + Lie (H) ; d’où

T_D(ex)G = d0 L_D(ex) 1 (!x(TxM )) + d0 L_D(ex) 1 (Lie (H)) = Tx_eD T_ex_Mf^_{+ TD(ex)}F_G;H:

Par conséquent l’application D est une application FG;H0transverse. Ainsi, il résulte de l’égalité 3! = D3 que eF = D3FG;H.

Remarque 3.2.5. Réciproquement si l’on se donne un homomorphisme

 : ₁(M ) ! G et une application di¤érentiable D : fM ! G transverse pour FG;H

et équivariante par ; alors le feuilletage eF = D3F_G;H passe au quotient et dé…nit sur M un feuilletage F qui est un G

H0feuilletage.

En particulier si D est une développante de FEDIDA d’un feuilletage de Lie FD, alors F est un G

H0feuilletage extension de F_D:

En plus si le sous-groupe H est fermé, cette extension est un feuilletage rieman-nien si et seulement si le feuilletage FG;H est riemannien.

3.3 Extension d’un feuilletage de Lie minimal

La propriété suivante montre la rigidité des extensions d’un feuilletage de Lie minimal d’une variété compacte.

Proposition 3.3.1. Si F0 est une extension d’un feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte connexe, alors tout champ global F0feuilleté transverse, tangent à F0en un point, est tangent à F0:

Démonstration. 1) Commençons par montrer que tout champ global feuilleté trans-verse d’un G0feuilletage de Lie minimal (M; F) d’une variété compacte connexe nul en un point est identiquement nul. En e¤et ; dans ces conditions, on sait que l’algèbre de Lie structurale ` (M; F) de F et l’algèbre de Lie de G sont isomorphes de dimension la codimension de F: Ensuite, le feuilletage de Lie F étant à feuilles denses, si 0

Y₁; :::; Y_q1

est un parallélisme de Lie transverse de F, et si on considère une métrique quasi-…brée de F; alors

- l’application “évaluation en x ”, notée evxde ` (M; F) dans Vx(F) = (TxF)^?; dé…nie par evx (X) = X (x) ; réalise un isomorphisme canonique d’espaces vectoriels

entre ` (M; F) et (TxF)^?;

- pour tout Z 2 ` (M; F) ; Z s’écrit :

Z =

q

X

i=1

ⁱYi

où les fonctions F0basiques ⁱ sont en fait des constantes réelles. Ceci dit, si Z s’annule en un point donné, les ⁱ sont tous nuls et par conséquent Z = 0:

2) Considérons maintenant un champ Z 2 ` (M; F) tel que pour un point x₀ donné, Z (x₀) 2 Tx₀F0: Suivant la décomposition

(T F)^? = (T F)^?\ T F08 (T F)^?\ (T F0)^?

Z s’écrit Z = Z₁ + Z₂; où Z₁ et Z₂ sont des sections globales respectives des sous-…brés (T F)^?\ T F0 et (T F)^?\ (T F0)^? = (T F0)^? du …bré orthogonal (T F)^? de F: Comme Z (x₀) 20

Tx₀F1?

\ T_x0F0; alors Z₂(x₀) = 0: Ce qui implique d’après le 1) que Z₂ est identiquement nul, donc Z = Z₁; i.e. Z est tangent à F0:

Ceci étant, le théorème suivant, qui est le résultat principal de ce travail, dé-termine et classi…e les extensions d’un G0feuilletage de Lie minimal d’une variété compacte et connexe.

Théorème 3.3.2. Soit (M; F) un G0feuilletage de Lie minimal d’une variété com-pacte et connexe, d’algèbre de Lie G:

Alors :

1- Il y a une correspondance biunivoque entre les sous-groupes de Lie connexes de G et les extensions de F:

2- Une extension de F est un G

H0feuilletage transversalement riemannien à …bré normal trivial, dé…nie par une 1-forme vectorielle à valeurs dans G

H.

3- Une extension de F est transversalement homogène (resp: de Lie) si et seule-ment si le sous-groupe de Lie de G correspondant est un sous-groupe fermé (resp. un sous-groupe normal) dans G:

Démonstration. Etant donné un G0feuilletage de Lie minimal (M; F) de codimen-sion q > 0 d’une variété compacte et connexe, d’algèbre de Lie G;

1- Soit F0 une extension de F, de codimension q0: Considérons eH l’ensemble des champs F0feuilletés tangents à F0; eH est visiblement une sous-algèbre de l’algèbre de Lie structurale ` (M; F) de F: Pour déterminer la dimension de cette sous-algèbre, notons, d’après ce qui précède que

- pour tout x 2 M , et pour tout X 2 eH;

evx(X) 2 (TxF)^?\ TxF⁰;

- pour tout u 2 (TxF)^?\ T_xF0; la proposition précédente permet de voir que le champ X_u = ev01

x (u) est dans eH:

Au total, la restriction à eH de evx est un isomorphisme d’espaces vectoriels de e

H sur evx

 e H

= (TxF)^?\ TxF0; ce qui assure par la formule des dimensions que

dim eH = dim (T_xF)^?\ T_xF0

= dim (TxF)^?+ dim TxF⁰ 0 dim < (TxF)^?[ TxF⁰ >

= dim F⁰0 dim F

Soit ! la 1-forme de FEDIDA dé…nissant F, et soit, en tout point x de M; !x

l’isomorphisme canonique d’espaces vectoriels rendant commutatif le diagramme de projections

TxM ^!x

! G # % !x

Vx(F)

et  l’application de G dans ` (M; F) qui à tout  2 G associe  () dé…nie par  () = (!xE ev<sub>x</sub>)<sup>01</sup>() ;  est un isomorphisme linéaire de G sur ` (M; F) :

On remarquera que pour tous X; Y 2 ` (M; F) ; 1) ! (X) est une fonction constante sur M 2) 01(X) = ! (X) et

3) ! [X; Y ] = [! (X) ; ! (Y )] :

Il en résulte que  est aussi un isomorphisme d’algèbres : c’est cet isomorphisme canonique qui permet d’identi…er G =Lie (G) et l’algèbre de Lie structurale ` (M; F) de F: Ici pour la clarté de la démonstration nous nous garderons de faire une telle identi…cation. Ceci étant, considérons le système di¤érentiel P dé…ni sur M par

P (x) = TxF8evx

 e H

Soit X (P) et X (F) les A0(M ) 0modules des champs de vecteurs tangents respec-tivement à P et à F: On a

X (P) = X (F) 8

A⁰(M ) A eH :

Comme les champs de vecteurs de eH sont feuilletés pour F; cette décomposition permet de voir que le module X (P) est stable par le crochet et que par suite P est un système di¤érentiable complètement intégrable qui dé…ni F0: Ainsi la sous-algèbre de Lie H = ⁰¹

e H

de G et le sous-groupe de Lie connexe H dans G correspondant sont dé…nis sans ambiguïté à partir de l’extension F0:

Réciproquement la donnée d’un sous-groupe de Lie connexe H de G permet de dé…nir sur M un système di¤érentiel P par

P (x) = TxF+evx( (Lie (H))) (cette somme est en fait directe).

Le module de champs correspondant étant

X (P) = X (F) 80

A0(M ) A  (Lie (H))1

et  étant un isomorphisme d’algèbres, il est facile de voir que le système di¤érentiel P ainsi dé…ni est complètement intégrable, et le feuilletage F0 qu’il dé…nit est bien sûr une extension de F puisque pour tout x 2 M; on a

TxF  P (x) = TxF⁰:

Et la correspondance biunivoque est ainsi établie.

2- Soit FH une extension de F et H la sous-algèbre de Lie de G correspondant à H; soit 0

e₁; :::; eq

1

une base de l’algèbre de Lie G telle que

e_{q0 +1}; :::; eq  engendre H et ! = q P i=1

!i A e_i la 1-forme de FEDIDA de F: Puisque en tout point de M les 1-formes scalaires !1; :::; !q sont linéairement indépendantes, alors les 1-formes scalaires !1; :::; !q0

de Maurer-Cartan (3) assure que le système di¤érentiel !1 = ::: = !q0

= 0 est complètement intégrable et dé…nit donc un feuilletage F0 de codimension q0 qui n’est rien d’autre que le _H^G0feuilletage dé…ni par !:

Par ailleurs, encore comme 01(X) = ! (X) si X 2 eH= (H) alors pour tout X 2 eH; ! (X) 2 H: Ce qui permet alors de voir que pour tout k; 1 k  q0; et pour tout X 2 eH; !k(X) = 0; i.e. X est tangent à F0: Ce qui montre que pour tout x 2 M; TxFH = TxF 8 evx  e H  TxF⁰

et à cause d’égalité des dimensions, on a en fait TxFH = TxF0; FH est bien le

G

H0feuilletage associé à F:

- Réciproquement si F0 est un _H^G0feuilletage dé…ni par ! et si D est une déve-loppante de FEDIDA de F dé…nie sur le revêtement universel fM de M , et si eF et f

F0 sont les feuilletages relevés sur fM respectifs de F et F0, alors l’application D étant aussi une développante du G

H0feuilletage F0; par la proposition 3.2.4, on a

f

F0 = D³FG;H:

Comme

e

F = D³F_G;feg et F_G;feg  FG;H;

alors eF  fF0 et F0 est une extension de F:

Montrons maintenant que le feuilletage FH est riemannien.

vec-toriels de V (F) sur V (FH) tel que

T M !^Id T M

 # # _H

V (F) ! V (F^B _H)

est un diagramme commutatif où  et _H sont les projection canoniques. Soit g une métrique quasi-…brée relativement à F:

Avec cette métrique, on a les identi…cations

(T F)^? = V (F) = (KerB) 8 (KerB)^? (33)

et

(KerB)^? = V (FH) = (T FH)^? (3 3 3)

de sorte qu’on peut regarder V (F_H) comme un sous-…bré de V (F) : Ainsi, tout champ normal à FH est normal à F.

Par ailleurs, F étant un G0feuilletage de Lie à feuilles denses, ` (M; F) et l’al-gèbre de Lie de G sont isomorphes de dimension la codimension de F: Il en résulte d’après la proposition 1.6.12 qu’il existe en tout point x de M un ouvert U conte-nant x tel que la restriction à U de tout champ de ` (M; F) soit un champ de Killing transverse local pour F.

Pour montrer que la métrique g est quasi-…brée pour F_H; il su¢t d’après la proposition 1.6.3 d’établir, quelques soient des champs de vecteurs Y et Z sur un ouvert U de M feuilletés pour la restriction de FH à U et normaux à FH; que

pour tout champ de vecteurs X_FH tangent à FH: C’est-à-dire, pour tout x 2 U;

X_FHg (Y; Z) (x) = 0:

Le problème étant local on peut supposer que l’ouvert U contenant x est tel que la restriction à U de tout champ de ` (M; F) est un champ de Killing transverse local pour F.

Soient U un tel ouvert de M , X_FH un champ de vecteurs tangent à FH, Y et Z deux champs de vecteurs sur U feuilletés pour la restriction de FH à U et normaux à F_H: Comme X (FH) = X (F) 8 A0(M ) A eH ; il existe XF 2 X (F), X H 2 eH et f 2 A0(M ) tels que X_FH = XF + f X_H: Ainsi

X_FHg (Y; Z) = XFg (Y; Z) + f X_Hg (Y; Z) :

La restriction de X_H à U étant un champ de Killing transverse local pour F et les champs de vecteurs locaux Y et Z étant normaux à F on a nécessairement

X Hg (Y; Z) = g02 X H; Y3 ; Z1 + g0 Y;2 X H; Z31 = 0 car X

H tangent à FH et Y , Z feuilletés pour la restriction de FH à U alors2 X

H; Y3 et 2

X

H; Z3

Ensuite comme Y , Z sont normaux à F et la métrique g est quasi-…brée pour F, alors

XFg (Y; Z) = g ([XF; Y ] ; Z) + g (Y; [XF; Z]) = 0

pour les mêmes raisons que précédemment.

Dans le document SUR LES EXTENSIONS DES FEUILLETAGES (Page 42-76)