Exemples de construction d’extension de feuilletage

Proposition 2.1.4. Etant donné un feuilletage (M ,F) de variété transverse modèle T , soit T0 une variété de dimension q’>0. Si les di¤éomorphismes locaux de transi-tion de F préservent les …bres d0une submersion de T sur T0; alors le feuilletage F admet une extension de codimension q’ et de variété modèle transverse T0:

Démonstration. Soit (Ui)_i2I un recouvrement de M formé d’ouverts distingués pour F de sorte que la structure de feuilletage F soit dé…nie par le cocycle (U_i; T; fi; gij)_i2I et considérons la famille des submersions f0

i =  E fi. En remarquant que pour U_i \ U_j 6= ;; T g_ji(KerT _jfi(Ui\Uj)) = KerT _jfj(Ui\Uj); on note alors que les dif-féormorphismes locaux de transition g_ij préservent les …bres des restrictions de la submersion  aux ouverts fi(Ui\Uj); par conséquent chaque gij dé…nit un di¤éomor-phismes g0

ij de f0

j(Ui\Uj) sur f0

i(Ui\Uj) de sorte qu’on a pour tous i; j; g0

jiE = Egji. Le diagramme commutatif suivant :

Ui\ U_j ^fi ! f_i(Ui\ U_j) ! f^ 0 i(Ui \ U_j) Id_Ui\Uj # #gji #^gji⁰ U_i\ U_j ! f^fj _j(U_i\ U_j) ! f^ 0 j(U_i\ U_j)

permet de voir que 0

Ui; T0; f0 i; g0

ij

1

i2I est un cocycle dé…nissant un feuilletage F0

extension du feuilletage F.

Exemple 2.1.5. (de construction d’extension de feuilletage)

1) Si T et T0 sont des groupes de Lie, F un feuilletage de Lie et s’il existe un morphisme surjectif de groupes  de T sur T0, alors il existe une extension de Lie F0 de F:

2) Si F est un G=H0 feuilletage transversalement homogène et si H0 est un sous-groupe de Lie fermé de G contenant H alors l’inclusion H  H0 dé…nit une submersion canonique  de G=H sur G=H0 et F admet alors une G=H00extension transversalement homogène.

3) Si F est un G0feuilletage de Lie sur une variété M , alors à tout sous-groupe fermé (resp. sous-groupe normal) propre de G correspond une extension transversa-lement homogène (resp. de Lie ) de F.

4) Si F est un G0feuilletage de Lie d0une variété compacte, à feuilles ni fermées ni denses, on sait par le théorème de structure des feuilletages de Lie [14], que les adhérences des feuilles de F forment un feuilletage simple. Ce feuilletage des adhérences est alors une extension transversalement homogène de F.

5) Soit F un (G; T )0feuilletage sur une variété M , avec T = T12 T2 et

G = G1 2 G2 où chaque Gi est un groupe de di¤éomorphismes de Ti opérant ana-lytiquement sur Ti , i = 1; 2. Si D est une développante de F sur le revêtement universel fM de M , alors le feuilletage simple dé…ni par priE D passe au quotient et dé…nit un (G_i; T_i)0extension de F.

6) Ici, nous construisons un exemple concret de (G0; T0)0feuilletage extension d0un (G; T )0feuilletage. Avec les résultats du paragraphe suivant on pourra établir un lien entre les groupes d’holonomie de ces (G; T )0structures transverses.

En s’inspirant de la construction du ‡ot de Morse-Smale [5], considérons la variété compacteS2p+2q2 S1 obtenue comme le quotient deR2p+2q+10 f0g par l’homothétie h de rapport 2. Le groupe ₁(S2p+2q 2 S1) est cyclique. Soit c0 un générateur de ₁(S2p+2q2S1) qui agit surR2p+2q+10f0g par l’homothétie h et soit la représentation de ₁(S2p+2q 2 S1) dans le groupe des similitudes Sim(Cq) de Cq qui à c0 associe l’homothétie de rapport 2. En écrivant R2p+2q+1 sous la forme Cp 2 Cq2 R et en considérant la restriction D à R2p+2q+10 f0g de la projection pr2 de Cp 2 Cq 2 R sur Cq, D est une submersion h- équivariante. Elle dé…nit donc sur S2p+2q 2 S1 un feuilletage F de codimension 2q qui est un (Sim(Cq), Cq)0feuilletage transverse ; ce feuilletage a une seule feuille compacte isomorphe à S2p 2 S1 si p 6= 0, et deux feuilles compactes si p = 0 (‡ot de Morse-Smale).

Si nous supposons que q > 2, et si q0 est un entier tel que q > q0  1 alors, comme toute application linéaire L deCq surCq0

commute avec l’homothétie de rapport 2 , le feuilletage simple sur R2p+2q+10 f0g dé…ni par L E D où L est surjective, permet par passage au quotient, d’obtenir sur S2p+2q 2 S1 une (Sim(Cq0

), Cq0

)0feuilletage F0 extension du (Sim(Cq),Cq)0feuilletage précédent.

7) Cet exemple nous permettra au paragraphe 2.3 de donner un exemple d’ex-tension non riemannienne d’un feuilletage de Lie non minimal.

Soit R nAR² le groupe de Lie (résoluble) obtenu en mettant sur l’espace R³ =R 2 R² le produit

(t; u) (t⁰; u⁰) =

t + t⁰; A^tu⁰+ u

où A est un automorphisme unimodulaire (A 2 SL (2;Z)) à coe¢cients entiers du plan R² ayant pour valeurs propres  et 1

signi…e que la trace trA9 2 (par exemple l’automorphisme d’Anosov 0 B @ ^{1 1} 1 2 1 C A): Si v₁ et v₂ sont les vecteurs propres associés respectivement à  et ¹_; l’algèbre de Lie du groupe de Lie R nAR² est engendrée par les champs de vecteurs

X =  1 log   @ @t^{; Y = } t v₁; Z = ^0tv₂

avec les crochets :

[X; Y ] = Y ; [X; Z] = 0Z; [Y ; Z] = 0:

Z nAZ² est un sous-groupe discret uniforme deR nAR² ayant pour quotient la variété compacte T3

A appelé tore hyperbolique de dimension 3.

Le sous-groupe à un paramètre engendré par Y c’est-à-dire la direction “propre” engendrée par v₁ est un sous-groupe fermé et normal deRnAR² ayant pour quotient le groupe a¢ne Af f+(R) des transformations a¢nes croissantes de la droite réelle. Af f+(R) = R3

+n R est identi…é au groupe de Lie obtenu en considérant sur R3 +2 R; la loi de groupe

(t; x) (t⁰; x⁰) = (tt⁰; tx⁰+ x) :

Le ‡ot engendré par v₁ est invariant par l’action de Z nAZ²: On en déduit que v₁ détermine sur T3

A un ‡ot ₁ de groupe Af f+(R); appelé “‡ot propre” du tore hyperbolique T3

A dé…ni par :

La direction “ propre” engendrée par v₂ détermine également surT3

A un ‡ot ₂ de groupe Af f+(R); appelé “‡ot propre” du tore hyperbolique T3

A dé…ni par 1 : Soit F un des deux “‡ots propres” du tore hyperbolique T3

relevé sur le rêvetement universel fT3

A =R nAR² deT3

A; ce ‡ot est un feuilletage de Lie homogène [5]. Il en résulte que sa développante D est un morphisme de groupes. Ainsi, le diagramme suivant

f T3 A D 0! Af f+(R) = R3 +n R 0! R ^pr2 = ^{Af f}_R⁺3^(R) + # T3 A

montre que la submersion pr2E D dé…ni une extension de fF sur fT3 A . Soit D 2 1(T3 A) = Z nAZ2 et x 2 fT3 A: On a pr₂E D (D.x) = pr₂(D (D) :D (x)) : Comme ^{Af f}_R⁺3^(R)

+ est l’espace a¢ne R considéré comme espace homogène du groupe Af f+(R) des transformations a¢nes croissantes de la droite réelle par le sous-groupe R3

+ des homothéties ayant l’origine pour centre, l’action à gauche de D (D) sur Af f+(R) passe au quotient. Ainsi,

8D 2 1(T³_A) et 8x 2 fT3

A; pr2E D (D.x) = D (D) :pr2E D (x) :

Il résulte de l’équivariante de pr2E D par rapport au morphisme de groupes de Lie D que le feuilletage dé…ni par pr₂E D sur fT3

A passe au quotient en une extension transverslement homogène de F.

8) Soit F0 une extension d’un feuilletage F sur une variété M , B une variété, ' une réprésentation de 1(B) dans un groupe de di¤éomorphismes de M préservant les feuilletages F et F0: Alors sur la variété suspension B'; le feuilletage suspension F0

' de F0 est une extension de la suspension F' de F. En e¤et, si U est un ouvert de trivialisation locale de la …bration p :B' ! B; les restrictions respectives de F_' et F0

' à p01(U ) sont respectivement di¤éomorphes à U 2 F et U 2 F0. En particulier F_' et F0

' sont des extensions du feuilletage suspension de '.