L'effet Zeeman des raies multipolaires en théorie classique du rayonnement

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L’effet Zeeman des raies multipolaires en théorie

classique du rayonnement

Émile Durand

To cite this version:

L’EFFET ZEEMAN DES RAIES MULTIPOLAIRES EN

THÉORIE

CLASSIQUE

DU RAYONNEMENT

Par ÉMILE DURAND.

Sommaire. 2014

On commence _{par calculer l’intensité des raies multipolaires} en l’absence de _champ dans l’hypothèse d’une répartition isotrope d’oscillateurs _harmoniques.

On calcule ensuite la _{décomposition} en _présence de champ, dans toutes les directions d’observation

pour les raies dipolaires, quadrupolaires, octopolaires; la somme des intensités des raies de la

décom-position est toujours égale à l’intensité de la raie _unique en l’absence de _champ.

Dans le cas _général d’une raie _{multipolaire,} on se borne à l’observation dans la direction du champ

et dans la direction _{perpendiculaire;} la _{décomposition} est la même pour toutes les raies d’un rang

polaire déterminé 2q+1 et elle est d’autant plus complexe que q est plus grand; l’aspect n’est pas le même suivant que q est pair ou _impair.

Bien _entendu, ces résultats de la théorie _classique ne _{peuvent s’appliquer qu’à} des raies de _singulets pour lesquelles les effets de _{spin n’interviennent pas.}

1. Les raies

_{multipolaires}

en l’absence de

champ. --

En l’absence de

_champ

_magnétique,

on _{suppose que la}

_{charge électrique (négative}

et

égale

à celle de

_{l’électron)}

oscille sinusoïdalement de M

en M’

_{( fig.}

_i).

Fig. 1 é

On a

avec

Le mouvement de la

_charge

a _pour

_expression

Soient les vecteurs unitaires de la direction d’observation. On ne _{diminue pas} la

_{généralité}

du

problème

en faisant oc, =

oc2 = _o,

oc, =1, car l’oscil-lateur a une

_{position quelconque}

_par

_rapport

aux axes.

Nous avons donné ailleurs

_[i],

_{l’expression}

dés

termes

_{multipolaires}

_{pour les}

_potentiels

Au et

_A4

d’une

_charge

en

_mouvement;

_pour le terme 2q+1

polaire,

on a

(Il y

a une sommation sur l’indice v de i à _3;

on a au lieu T ₌₌ 2013

x3.)

on a écrit

_d4

ou

x-

au lieu

de ’-

-;

’r = _X4

- X3’)

* 4 c t " "" On

_peut

en déduire le

_champ

_électrique

E,,

(vecteur

de Fresnel de l’onde

_lumineuse)

_par les formules habituelles : -.

Comme

avec

on en

déduit,

_{pour le}

_{champ électrique}

2’7+1

_{polaire :}

(on

trouve aussi

_E~

= _o,

puisque

les ondes

lumi-neuses sont

_{transversales).}

Les

_équations

₍₄₎

_peuvent

encore

_s’écrire,

suivant

364

que q est

pair (q

=

21)

ou

_impair

_(q

= 21 ₊

_i).

/ r 1/

Il y a

_donc,

_pour un terme

_polaire

_déterminé,

(1

+

_i)

raies de

_fréquences

_{p v,} avec _p = _1, 3,

5

_{... (q ~ I)}

ou _p = 2,

4, 6,

... (q -~

1)

suivant que q est

_pair

ou

impair;

c’est ce

_qu’indique

le

Tableau I

TABLEAU I.

Chaque

raie est caractérisée _{par les deux nombres} entiers 1 et l~. Pour calculer l’intensité J

_{(1, k)}

de

chacune

_d’elles,

nous allons _supposer

_qu’il

_y a ers

tout N oscillateurs

_harmoniques

du

_{type précédent}

répartis

d’une manière

_iotrope,

de même

ampli-tude 1), mais

ayant

des

phases

distribuées au

hasard;

il y en a donc

( N

_{sin d}

_{dy qui}

ont une

. . .

4 7r

direction

_comprise

entre _{q et q +}

_{dq, §}

_et

+

_{d ;}

comme les intensités sont

_{proportionnelles}

aux carrés

des

_amplitudes,

comme il y a deux vibrations

rectan-gulaires El

et

_E2

et,

comme l’on a

on en déduit facilement

En toute

_rigueur,

il _{n’est pas}

_possible

d’étudier

séparément

les termes

_polaires

des différents

ordres;

on doit

_d’abord,

conformément au Tableau

I,

faire

la somme des

_amplitudes

de tous les termes

_qui

ont

une même

_fréquence

_pv; cette somme _fait

appa-raît,

dans

_{l’amplitude}

du terme de

_fréquence

p v,

une fonction de Bessel _{d’ordre p}

_(voir

_[2]

de la

bibliographie);

c’est

_{l’intégrale}

du carré de cette

amplitude qu’il

faud,ait calculer pour avoir l’inten-sité de N oscillateurs.

Mais,

pratiquement,

pour une _{valeur de p, c’est la}

raie

_ayant

la

_{plus petite}

valeur de _q

_qui

a une

prépon-dérance énorme et

_qui

_donne, à la

_fréquence

_{p v,}

ainsi

_qu’à

sa

_{décomposition}

en

_présence

de

_champ,

son caractère _propre.

On

_peut

donc se borner à étudier les raies situées

sur la

_diagonale

_principale

du Tableau 1

_(on

se

limite

à k =: 1 et l’on a _{p = q +}

_i);

on a

_alors,

au lieu de

₍₈₎

et

_(9),

_pur l’intensité de la raie laire de

_fréquence

p v,

On a, par

exemple,

pour les raies

dipolaires (p ~

i),

quadrupolaires (p

=

2),

octopolaires

(p

==

3) :

i

L’intensité des raies

_2n-polaires

va

_rapidement

en

décroissant

_quand

_p

croît;

on a, par

exemple,

v,,,, vitesse maximum de la

_charge

dans son

mou-vement

d’oscillation;

si

Vm ==

_{-31 comme}

dans la

_première

orbite de

e ₁₃₇

Bohr

De

_même,

ce

_qui

" est très

faible;

mais il suffirait que "

v’?,1

c 10

pour que les raies

octopolaires

deviennent aisément observables.

2.

_Équations

du mouvement en

_présence

de

champ

magnétique. -

En

_présence

du

_champ

magnétique

H,

que nous _supposerons

_dirigé

suivant l’axe des

_~~,

le mouvement reste

_inchangé

dans un

système

d’axes tournant autour de

_0~;

avec la

fréquence

~ de la

_précession

" de Larmor v o =

1

’

les

_équations

du mouvement

_rapportées

aux axes

fixes s’obtiennent donc en

_remplaçant,

dans les YJU,

la lettre 7:’) _par

2 ~ o t

+ _{cp; elles s’écrivent}

On ne _{diminue pas la}

_{généralité}

du

_problème

en

supposant

que la direction d’observation se trouve

dans le

_plan

_{a2 = o,} a =

Fi 2.

car le

_système

_possède

la

_symétrie

de

révolution

autour de

_0~;;;

nous _{considérerons les deux}

compo-santes 6’ et 6" du

_{champ électrique}

de

_rayonnement;

comme il se

doit,

elles sont normales à la direction

d’observation,

6’ est dans le

_plan

6" est

normal à ce

_plan

_(fig.

_a).

On a

Posons

(L’indice v

étant

_répété

haut et

bas,

on convient

de faire une

sommation,

de i à

_3);

Les coordonnées retardées et leur

par

rapport

s’écrivent

avec B =

2 ;v;

dans le calcul des

_~~,l~T,

on a

_négligé

la dérivation des termes contenant on

intro-duirait dans

_{l’amplitude}

la

_{fréquence v,’qui}

est

toujours

très

_petite

_par

_rapport

à v.

3.

_{Expression générale}

du

_champ

_électrique

de

_{rayonnement. --}

De

_{(13), (3),}

_(2),

on

_tire,

D’après (14)

et

_(15),

on a

.

En

_portant

ces

_expressions

₍₁₇₎

dans

₍₁₆₎

et en

négligeant toujours

la dérivée des termes conte-nant

_0,,

on obtient _pour les

_composantes

du

champ

2q+1

_{polaire :}

4. Effet Zeemann

_dipolaire.

- On

fait q

= _o

dans

_(18);

le résultat

_peut

se mettre sous la

_forme

r T B

Il y a donc les trois

_{fréquences j}

_{+ m ’Jo} avec m=o,

qui

forment le

_triplet

normal.

Pour avoir l’intensité d’une raie de

_fréquence

déterminée,

on

_prend

le carré de

_{l’amplitude}

et

l’on

fait la somme _pour les N

oscillateurs;

chaque

vibration

_peut

se mettre sous la forme

366

fonction linéaire du

_temps;

on a donc à calculer des

intégrales

du

_type

qui

sont

_simples;

on trouve

On _{remarquera que}

la somme des intensités des

_composantes

est

égale

à l’intensité de la raie en l’absence de

_champ

et ceci pour toutes les directions d’observation. La

figure

3

Fig. 3.

indique

les

intensités

relatives,

les

_fréquences

et les

états de

_polarisation

des

_composantes

_pour les trois directions _{as == 0,}

_{Xg= 2013}

_{as = 1.}

2

5. Effet Zeeman

_{quadrupolaire.}

- On

_{fait q === 1}

dans

_(18);

il vient

Pour les

intensités,

on est

_toujours

conduit à des

intégrales

du

_type

_(20);

on trouve

la somme des intensités des raies de la

décomposition

est encore

_égale,

dans une direction

_quelconque,

à l’intensité de la

raie

en l’absence de

_champ.

La

figure

4

donne le schéma de la

_{décomposition}

_pour les trois directions

_remarquables

Fig. 4. ,

Ces résultats de la théorie ont été vérifiés d’une _{Pour les raies autres que les raies de}

_singulets,

manière

_remarquable

sur la raie aurorale

₅₅₇₇

Á il faut faire

_appel

à la

_Mécanique

ondulatoire

_{[4], [5].}

(raie

de

_{singulet 1D2 -+}

_1S0

de

_{l’oxygène)}

_par Frerichs Une étude très

_complète

des radiations

quadru-et

_{Campbell [3].}

_polaires

_{et de leur}

par Rubinowicz et Blaton

[6], [7].

Enfin,

Mrozowski

et Jenkins ont étudié la structure

_hyperfine

des

raies

_{quadrupolaires}

et leur effet Zeeman

_[8].

6. Effet Zeeman

_octopolaire

_[gJ,

- On

fait q

== 2

dans

_(18),

il vient

Pour les intensités des

_composantes

de la raie de

fréquence

3 v,

qui

se trouve sur la

diagonale

du Tableau

I,

on trouve

On a

_toujours

....

La somme des intensités est donc

_{toujours égale}

à l’intensité

_~3

de la raie de

_fréquence

3 v en l’absence

de

_champ.

La

_{figure 5}

donne le schéma de la

_{décomposition}

pour les trois directions

remarquables

Fig. 5.

M. J.

_{Yvon [Io]}

a étudié l’effet’ Zeeman

octo-polaire

pour une raie

_singulet

de

l’hélium;

dans le cadre de la

_Mécanique

ondulatoire sans

_spin;

il s’est

borné à l’observation transversale =

o).

7. Effets Zeeman

multipolaires.

-- En

exami-nant la formule

_(18),

on voit _que la

_{décomposition}

sera la même pour toutes _{les raies d’un rang}

_polaire

déterminé

_(q

=

const.);

par contre, le nombre maximum de raies croît avec _{q; il} est

_égal

à

_(2q

+

3)

(voir

le Tableau

II).

TABLEAU ~I,

décom-368

posée

au maximum en

_{(2p +}

₁₎

raies de

fré-quences p v + mvo, avec m = _{o, + il +2, ... , _ ~}

p .

Quelques-unes

de ces

_{composantes peuvent}

être

nulles pour certaines directions d’observation. Nous allons étudier la

_{décomposition}

des raies

multipolaires

pour a3 = 1

(observation

dans la

direction du

_champ)

et _{pour x3 = o}

_(observation

₁

au

_champ);

il

_n’y

aurait d’ailleurs aucune difficulté

à étudier avec la formule

_{[18) l’aspect}

de la

décom-position

pour une direction

_quelconque.

1. OBSERVATION DANS LA DIRECTION DU CHAMP

(a3

= 1,

a1= o).

- Pour les raies

2’/+1-polaires,

les

équations (18)

se réduisent à

En

_{comparant (23)}

à

_(4),

on voit _que toutes les raies

_{2,/-’-polaires}

se dédoublent en deux raies

d’égale

intensité,

polarisées

circulairement en sens

inverses,

de

_{fréquence v}

± _vo; c’est bien ce

_qu’on

a

déjà

observé pour les raies

dipolaires, quadrupolaires

et

_{octopolaires.}

2. OBSERVATION DANS LA DIRECTION

PERPENDI-CULAIRE AU CHAMP

MAGNÉTIQUE

_-- _{o, 0:1} 1 =

1 ).

-Pour les raies

_{211-1-polaires,}

les

_{équations (18)}

donnent

Les formules ne _{sont pas} tout à fait les mêmes pour q

impair (q ~

21 +

i) et q

pair

(q

~

2l);

on a, en

_effet,

.

.

Pour les

intensités,

il faut calculer les

_intégrales

des carrés des

_amplitudes;

on trouve

Pour _{comparer l’intensité} des raies de la

décom-position

Zeeman

_multipolaire

à l’intensité de la

raie en l’absence de

_champ,

il suffit de

_porter

son

attention sur les formule

_{(25), (26),}

(27),

(28)

d’une

_part,

et

₍₇₎

d’autre

_part;

l’examen des for-mules

₍₂₄₎

conduit alors aux résultats suivants :

a. q = 21 + 1.

- Si

f

est la

_fréquence

de la raie en l’absence de

champ,

il y a

₍₂₁

₊

₂₎

compo-santes

1S’,

de

_{fréquences f}

-~-

_{(2m + 1)}

_Vo, avec

m = _{o, 1, 2, ... ,}

1;

il y a aussi

₍₂₁

+

₂₎

compo-santes

6" de

_fréquences

_{f ± {2m}

₊

_{2) vo,}

soit en

tout

₍₄₁

+

4)

composances.

Les intensités des

_composantes

6’ et el sont

respectivement

les fractions P’

_{(1, m)}

et P"

_{(l, m)}

des intensités 6’ et 6" en l’absence de

_champ,

avec

On

_peut

vérifier _que l’on a

c’est-à-dire que la somme _{des intensités des}

compo-santes est

_{toujours égale}

à l’intensité de la raie en

l’absence de

_champ.

Exemple

d’application

des

_formules

_(29).

-Quand 1

= _{o, on} retrouve l’effet Zeeman

quadru-polaire (fig.

4);

quand 1

= _1, c’est-à-dire _{pour une}

raie 16-polaire,

on a

D’où le schéma de la

_figure

6.

b. q

= 21. - Si

f

est la

_fréquence

de la raie

en l’absence de

_champ,

il y a

_(zl

₊

₁₎

compo-santes 6’ de

_fréquences

avec m = o,

i, 2,

..., 1;

il y a aussi

₍₂₁

₊

_{2) composantes}

S" de

fréquences f ± (2m

+

1)

V 0’ soit en tout

_{41 + 3}

raies. Les intensités des

_composantes

6’ et sont

369

intensités 6’ et ~" en l’absence de

_champ,

avec

, _{Fig. 6.}

On a encore

’

La somme des intensités des

_composantes

est

donc

toujours égale

à l’intensité de la raie en l’absence

de

_champ.

,

Exemple

d’application

des

_formules

_(30).

- Elles

redonnent la

_{décomposition}

_{dipolaire quand}

t = o

(fig. 3),

la

_{décomposition octopolaire}

_quand

1 =1

(fig.

5);

pour la raie

_32-polaire,

c’est-à-dire

_{pour 1}

~ _2,

on a

Fi g. 7.

d’où le schéma de la

_figure

_7.

Manuscrit reçu le 16 janvier 1947.

BIBLIOGRAPHIE.

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p.

584-586.

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l’oscil-lateur linéaire sinusoïdal. C. R. Acad. Sc., 1946, 222,

p. 68-70.

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Quadru-pollinien bei den alkalien. Z. für Physik., 1931, 72

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der Diracschen Theorie. Z. _{für Physik,} 1932, 74, p. 810 et 825.

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classique du rayonnement. C. R. Acad. Sc., 1946,

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[10] J. YVON, Calcul de l’effet Zeeman transversal d’une raie