s´erie n◦ 2 : Equations diff´erentielles

Universit´e Antilles–Guyane DEUG MIAS 1^e ann´ee UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 D´ept Scientifique Interfacultaire 2^e semestre 2003–2004

Math´ematiques 2 / Analyse — T.D. s´erie n^◦ 2 : Equations diff´erentielles.

´equations diff´erentielles du premier ordre

Exercice 1. En s´eparant les variables, r´esoudre les ´equations diff´erentielles

(a) (1 +x²)y⁰ =x(1−y) , (E₁)

(b) (1 + tan²x)y⁰+ (1 +y²) sinx= 0 . (E₂) Donner la solution en fonction de y₀ ∈R, valeur de la solution enx= 0.

Pour quelles valeurs de y₀ la solution `a (E₂) est-elle d´efinie sur tout R? Exercice 2. R´esoudre, surI =

−^π₂,^π₂

, l’´equation diff´erentielle

(cosx)y⁰ + (sinx)y = 1 +x . (E₃) (Rappeller le type de (E), la structure de l’ensemble des solutions ; r´esoudre l’´equation homog`ene, puis (E) avec second membre (variation de la c^te).

Exercice 3. R´esoudre, surI =

0,+∞

, l’´equation diff´erentielle

x y⁰+ (x−1)y−x² = 0 . (E4) Exercice 4. R´esoudre, `a l’aide du changement de variable indiqu´e, les ´equations

(a) de Ricatti : y⁰ = (y−1)(x y−y−x) sur R, en posant y= 1 + 1/u . (b) de Bernoulli : y⁰cosx+ysinx+y³ = 0 sur I = ]−1,1[ , u= 1/y² .

´equations diff´erentielles lin´eaires du 2^nd ordre Exercice 5. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :

(a) y⁰⁰+y⁰−6y =e^x (b) y⁰⁰−4y⁰+ 4y =xchx (c) y⁰⁰−9y = sin(3x) (d) y⁰⁰−2y⁰+ 2y =e^xcosx

Exercice 6. Chercher une solution particuli`ere `a l’´equation diff´erentielle y⁰⁰+b y⁰+c y=P(x)e^αx

sous la forme y_p =Q(x)e^αx, pour b, c∈R et P ∈R[X] donn´es.

(Traiter d’abord le cas b = −2, α, c = α², puis c = −b α−α²; trouver les coefficients b_n, bn−1, ...du polynˆome Qen fonction de ceux de P.)